2014年全国高考试卷导数部分汇编(上)

1、2014年全国高考试卷导数部分汇编（上）1. （2014安徽理18文20）设函数，其中讨论在其定义域上的单调性；当时，求取得最大值和最小值时的的值【解析】 的定义域为令，得，所以当或时，；当时，故在和内单调递减，在内单调递增 因为，所以当时，由知，在上单调递增所以在和处分别取得最小值和最大值当时，由知，在上单调递增，在上单调递减所以在处取得最大值又，所以当时，在处取得最小值；当时，在处和处同时取得最小值；当时，在处取得最小值评析 本题考查利用导数求函数的单调区间和最大（小）值，同时考查分类讨论的思想，分为讨论的关键是确定分类的标准2. （2014安徽理21）设实数，整数，证明：当且时，；数列满

2、足，证明：【解析】 用数学归纳法证明：当时，原不等式成立假设时，不等式成立当时，所以时，原不等式也成立综合可得，当，对一切整数，不等式均成立 证法一：先用数学归纳法证明当时，由题设知成立假设时，不等式成立由易知当时，当得由中的结论得因此，即所以时，不等式也成立综合可得，对一切正整数 ，不等式均成立再由可得，即综上所述，证法二：设，则，并且，由此可得，在上单调递增因而，当时，当时，由，即可知，并且，从而故当时，不等式成立假设时，不等式成立，则当时，即有所以时，原不等式也成立综合可得，对一切正整数 ，不等式均成立3. （2014安徽文15）若直线与曲线满足下列两个条件：直线在点处与曲线相切；曲线在

3、点附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)直线在点处“切过”曲线：直线在点处“切过”曲线：直线在点处“切过”曲线：直线在点处“切过”曲线：直线在点处“切过”曲线：【解析】 直线在处与曲线相切，且曲线位于直线的两侧，对；直线不是曲线在处的切线，错；中，因此曲线在处的切线为，设，则，即是增函数，又，从而当时，当时，即曲线在附近位于直线的两侧，正确；中，因此曲线在处的切线为，设，则，即在上是减函数，且，同得正确；中，因此曲线在处的切线为，设，则，当时，当时，因此当时，因此曲线在附近位于直线的一侧，故错误因此答案为评析 本题考查导数的几何意义及导数在函

4、数中的应用，解题时结合图象可简化运算和推理的过程4. （2014北京理18）已知函数，求证：；若对恒成立，求的最大值与的最小值.【解析】 ，时，从而在上单调递减，所以在上的最大值为，所以 法一：当时，“”等价于“”；“”等价于“”，令，则当时，对任意恒成立当时，因为对任意，所以在区间上单调递减从而对任意恒成立当时，存在唯一的，使得，且当时，单调递增；当时，单调递减所以进一步，“对任意恒成立”当且仅当，即综上所述，当且仅当时，对任意恒成立；当且仅当时，对任意恒成立所以，若对任意恒成立，则的最大值为，的最小值为法二：令，则，由知，故在上单调递减，从而的最小值为，故，的最大值为的最小值为，下面进行证

5、明：，则，当时，在上单调递减，从而，所以，当且仅当时取等号从而当时，故的最小值小于等于若，则在上有唯一解，且时，故在上单调递增，此时，与恒成立矛盾，故，综上知：的最小值为5. （2014北京文20）已知函数求在区间上的最大值；若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围；问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）【解析】 由得.令，得或.因为，所以在区间上的最大值为. 设过点的直线与曲线相切于点则且切线斜率为所以切线方程为，因此.整理得.设则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”.与的情况如下：0100所以，是的极大值，是的极小值当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点

6、，所以至多有2个零点当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以至多有2个零点当且，即时，因为，所以分别在区间，和上恰有个零点.由于在区间和上单调，所以分别在区间和上恰有1个零点.综上可知，当过点存在条直线与曲线相切时，的取值范围是. 过点 存在条直线与曲线相切；过点 存在条直线与曲线相切；过点 存在条直线与曲线相切.：6. （2014大纲理7）曲线在点处切线的斜率等于（ ）ABC2D1【解析】 C7. （2014大纲理16）若函数在区间上是减函数，则的取值范围是_【解析】8. （2014大纲理22）函数讨论的单调性；设，证明：【解析】 的定义域为，（i）当时，若，则，在是增函数；若，则，

7、在是减函数；若，则，在上增函数（ii）当时，成立当且仅当，在是增函数（iii）当时，若，则，在是增函数；若，则，在是减函数；若，则，在是增函数 由知，当时，在是增函数当时，即又由知，当时，在是减函数当时，即下面用数学归纳法证明 （i）当时，由已知，故结论成立；（ii）设当时结论成立，即当时即当时有，结论成立根据（i）（ii）知对任何结论都成立9. （2014大纲文21）函数讨论的单调性；若在区间是增函数，求的取值范围【解析】 ，的判别式（i）若，则，且当且仅当，故此时在上是增函数（ii）由于，故当，有两个根；，若，则当或时，故分别在，上是增函数；当时，故在上是减函数；若，则当或时，故分别在，上

8、是减函数；当时，故在上是增函数 当，时，故当时，在区间上是增函数当时，在区间上是增函数当且仅当且，解得综上，的取值范围是10. （2014福建理14）如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_【解析】11. （2014福建理20文22）已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为求的值及函数的极值；证明：当时，；证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有【解析】 本小题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词与存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归

9、与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想 由，又，得所以，令，得当时，单调递减；当时，单调递增所以当时，取得极小值，且极小值为，无极大值 令，则，由得，故在上单调递增，又，因此，当时，即 理科解法一：若，则又由知，当时，所以当时，取，当时，恒有若，令，要使不等式成立，只要成立而要使成立，则只要，只要成立令，则所以当时，在内单调递增取，所以在内单调递增，又，易知所以即存在 ，当时，恒有综上，对任意给定的正数，总存在，当时，恒有理科解法二：对任意给定的正数，取，由知，当时，所以当时，因此，对任意给定的正数，总存时，恒有 理科解法三：首先证明当时，恒有证明如下：令则由知，当时，从而在上单调递减，所

10、以，即取，当时，有因此，对任意给定的正数，总存在，当时，恒有文科解法一：对任意给定正数，取 所以当时， ，即因此，对任意给定的正数，总存在，当时，恒有文科解法二：令，要使不等式成立，只要成立而要使成立，则只需要，即成立若，则，易知当时，成立即对任意，取，当时，恒有若，令，则，所以当时，在内单调递增，取易知，所以因此对任意，取，当时，恒有综上，对任意给定的正数，总存在，当时，恒有文科解法三：若，取，由的证明过程知，所以当时，有，即若，令，则令得当时，单调递增取，易知又在 内单调递增所以当时，恒有，即综上，对任意给定的正数，总存在，当时，恒有注：对的分类可有不同的方式，只要解法正确，均相应给分12

11、. （2014广东理10）曲线在点处的切线方程为_【解析】 ，切线过点，由点斜式写出直线方程13. （2014广东文11）曲线在处的切线方程为_【解析】14. （2014广东文21）已知函数求函数的单调区间；当时，试讨论是否存在，使得【解析】 函数的定义域为，当时，令，则或，所以的单调递增区间为和；令，可得，所以的单调递减区间为当时，在上恒成立，所以在上是增函数 时，由知，在上是增函数，则，不存在，使得；，存在，使得；，不存在，使得；，不存在，使得；，存在，使得；，在上是单调函数，故不存在，使得综上所述，当时，存在，使得当时，不存在，使得15. （2014湖北理6）函数满足，则称为区间上的一组

12、正交函数，给出三组函数：；其中为区间的正交函数的组数是（ ）A0B1C2D3【解析】 C由得，是奇函数，所以，所以为区间上的正交函数；由得，所以不是区间上的正交函数；由得，是奇函数，所以，所以为区间上的正交函数故选C16. （2014湖北理22）为圆周率， 为自然对数的底数求函数的单调区间求这个数中的最大数与最小数；将这个数从小到大的顺序排列，证明你的结论【解析】 函数的定义域为因为所以当，即，函数单调递增；当，即，函数单调递减故函数的单调递增区间为（0），单调递减区间为（） 因为，所以，即于是根据函数在定义域上单调递增，可得故这6个数的最大数在与之中，最小数在与之中由及的结论，得即由得，所以

13、；由，得，所以综上，6个数中的最大数是，最小数是 由知，又由知，得故只需比较与和与的大小由知，当时，即在上式中，令又，则，从而即得由得，即，亦即，所以又由得，即，所以综上可得，即6个数从小到大的顺序为评析 本题考查了函数和导数的结合应用；考查了不等式求解的能力；考查了分析问题、解决问题的综合能力充分考查了考生的综合素质在平时的学习过程中应充分培养综合解决问题的能力17. （2014湖北文21）为圆周率，为自然对数的底数 求函数的单调区间；求，这个数中的最大数与最小数【解析】 函数的定义域为因为，所以当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减故函数的单调递增区间为，单调递减区间为 因为，所以

14、，即，于是根据函数，在定义域上单调递增，可得，故这6个数的最大数在与之中，最小数在与之中由及的结论，得，即由，得，所以；由，得，所以综上，6个数中的最大数是，最小数是18. （2014湖南理9）已知函数，且，则函数的图象的一条对称轴是（ ）ABCD【解析】 A函数的对称轴为，因为，所以或，则是其中一条对称轴，故选A19. （2014湖南理22）已知常数，函数讨论在区间上的单调性；若存在两个极值点，且，求的取值范围【解析】 对函数求导可得，因为，所以当时，即时，恒成立，则函数在上单调递增；当时，则函数在区间上单调递减，在上单调递增的 由可知，当时，不存在极值点，因而又的极值点只可能是，且由的定义

15、可知，且，所以，解得，此时分别是的极小值点和极大值点而=令，由且知，当时，；当时，记当时，所以，因此在区间上单调减，从而，故当时，当时，因此在区间上单调递减，从而，故当时，综上，满足条件的的取值范围为20. （2014湖南文9）若，则（ ）ABCD【解析】 C21. （2014湖南文21）已知函数求的单调区间；记为的从小到大的第个零点，证明：对一切，有【解析】 令，得当时，此时；当时，此时，故的单调递减区间为，单调递增区间为 由知，在区间上单调递减，又，故，当时，因为，且函数的图象是连续不断的，所以在区间内至少有一个零点又在区间上是单调的，故因此当时，；当时，；当时，综上所述，对一切，22.

16、（2014江苏理11）在平面直角坐标系中，若曲线过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则的值是_【解析】由已知，又，解得，23. （2014江苏理19）已知函数，其中是自然对数的底数证明：是上的偶函数；若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；已知正数满足：存在，使得成立，试比较与的大小，并证明你的结论【解析】 ,，是上的偶函数 由题意，即，即对恒成立令，则对任意恒成立.，当且仅当时等号成立实数的取值范围为 ，当时，在上单调增令，即在上单调减存在，使得，即设，则，当时，单调增；当时，单调减因此至多有两个零点，而当时，当时，当时，综上所述，当时；当时；当时24. （2014江苏理23）已知函数

17、，设为的导数，求的值证明：对任意，等式都成立【解析】 ,两边求导得两边再同时求导得 (*)将代入(*)式得 下证命题：，恒成立当时，成立当时，由(1)知成立当时，由(1)知成立当时，上式两边求导，即假设当时命题成立，下面证明当时命题也成立若，则，由两边同时求导得即，命题成立同理，若，则，由两边同时求导得，命题成立若，则，由两边同时求导得，命题成立若，则，由两边同时求导得，命题成立综上所述，命题对恒成立代入得，两边同时取绝对值得25. （2014江西理8）若则（ ）A B C D1【解析】 B令，则，所以，解得，故选B26. （2014江西理13）若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是_【解

18、析】令，则，令，则，解得，所以，所以点的坐标为27. （2014江西理18）已知函数当时，求的极值；若在区间上单调递增，求的取值范围【解析】 当时，由得或当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减，故在处取极小值，在处取极大值 ，因为当时，依题意，当时，有，从而所以的取值范围为28. （2014江西文11）若曲线上点处的切线平行于直线则点的坐标是_【解析】29. （2014江西文18）已知函数，其中.当时，求的单调递增区间；若在区间上的最小值为8，求的值【解析】 当时，由得或，由得或，故函数的单调递增区间为和 由得或当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增易知，且当，即时，在上的最小值为，由，得，均不符合题意当，即时，在上的最小值为，不符合题意当，即时，在上的最小值可能在或处取得，而，由得或（舍去），当时在上单调递减，在上的最小值为，符合题意综上，30. （2014辽宁理11文12）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD【解析】 C31. （2014辽宁理14）正方形的四个顶点，分别在抛物线和上，如图所示若将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是【解析】32. （2014辽宁理21）已知函数，