(完整)导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

1、导数结合洛必达法则巧解高考压轴题2010 年和 2011 年高考中的全国新课标卷中的第21 题中的第步，由不等式恒成立来求参数2的取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。洛必达法则简介：法则 1若函数 f(x)和 g(x)满足下列条件：(1)lim fx0及 lim g x0 ；x axa(2)在点 a 的去心邻域内， f(x)与 g(x)可导且 g'(x) 0；(3)fxl ，limxx a gf x= limfxl 。那么 limgxxa g xx a法则 2若函数 f(x)和 g(x)满足下列条件：(1)lim fx0及 lim g x0 ；xx(2

2、)A f 0， f(x)和 g(x) 在,A与A,上可导，且 g'(x)0；(3)fxl ，limx g xfx= limfx那么 liml 。xgxxgx法则 3若函数 f(x)和 g(x) 满足下列条件： (1) lim fx及 lim g x；x ax a(2) 在点 a 的去心邻域内， f(x)与 g(x)可导且 g'(x)0；(3)limfxl ，gxx afx= limfx那么 limxgl 。xa gx ax利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：1 将上面公式中的xa，x换成 x +， x - ，xa ， xa 洛必达法则也成立。2洛必

3、达法则可处理0 ，0，0 ，0 ，型。0100 ，3在着手求极限以前，首先要检查是否满足，0，0 ，0 ，型定式，010否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。4 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。二高考题处理1.(2010 年全国新课标理)设函数f (x)ex1xax 2 。（ 1）若 a0 ，求 f (x) 的单调区间；（2） 若当x0 时 f (x)0，求 a 的取值范围原解：（ 1） a0时， f ( x)ex1x ， f '( x)ex 1.当 x (,0) 时， f'(

4、x)0 ；当 x(0,) 时， f'(x)0 .故 f ( x) 在 (,0) 单调减少，在(0, ) 单调增加（ II ） f '(x)ex1 2ax由（ I）知 ex1x ，当且仅当 x0 时等号成立 .故f '( x)x2ax(1 2a)x ，从而当 12a0，即 a1( x0) ，而 f (0)0 ，时， f '(x) 02于是当 x0时， f ( x)0 .由 ex1x( x0) 可得 e x1x( x0) .从而当 a1时，2f '( x)ex12a(e x1)e x (ex1)(ex2a) ，故当 x (0,ln2a) 时， f'(

5、 x)0 ，而 f (0)0 ，于是当 x(0,ln 2a) 时， f ( x) 0 .综合得 a 的取值范围为, 12原解在处理第（II ）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解 :（ II ）当 x0时， f ( x)0 ，对任意实数a,均在 f ( x)0；xx1当 x0时， f ( x)0 等价于 ae2xxxx令g xex1(x>0),则g ( x)xe2ex 2，令23xxxxxxxh xxe 2e x 2 x 0 ，则 h xxe e 1 ， hxxe 0 ，知 hx在 0,上 为 增 函 数 ， h xh 00 ； 知 h x在 0,上为增函数，h xh 00 ；gx

6、0 ， g(x) 在 0,上为增函数。xx1xx1由洛必达法则知， lim elim e2lim e，x0xx02xx 0221故 a2综上，知 a 的取值范围为,1 。22（ 2011 年全国新课标理） 已知函数， 曲线 yf ( x) 在点 (1, f (1)处的切线方程为x 2 y 30 。（）求 a 、 b 的值；（）如果当x 0 ，且 x1时， f (x)ln xk ，求 k 的取值范围。x 1x( x1ln x)b原解：（） f '(x)x1)2x2( x1f (1)1,由于直线 x2 y 30的斜率为(1,1)，故1 即，且过点2f '(1),2b1,ab1 ,解

7、得 a1 ， b1。22（）由（）知 f (x)ln x1 ，所以x1xf ( x)( ln xk )12 (2ln x(k1)(x2 1) 。x1x1 xx考虑函数 h( x)2ln x(k 1)(x2 1)，则(k1)(x21) 2xx( x0)h '(x)x2。（ i ）设k 0，由h '(x)k (x21)( x1)2x1h '(x)0hxh(1) 0知，当时，）递减。而x2， （故当 x(0,1)时， h(x)0 ，可得10 ；12 h( x)x当 x （ 1，+）时， h（ x） <0，可得1h（ x）>01 x2从而当 x>0, 且 x1

8、时， f （ x）-（ ln x+ k ）>0，即 f（ x）>ln x+ k .x 1xx1x（ ii ） 设 0<k<1. 由 于 (k1)( x21)2 x= (k1)x22 xk1的图像开口向下，且44(k1)20 ，对称轴 x=11 当 x（1， 1）时，（ k-1 ）（ x2 +1）+2x>0, 故 h'（ x）>0,1k.1k而 h（1） =0，故当 x（1，1）时， h（x） >0，可得11k1x 2 h（ x） <0,与题设矛盾。（ iii ）设 k1.此时 x212x ， (k1)( x21)2 x0h' （

9、x）>0, 而 h（ 1）=0 ，故当 x（1，+）时， h（ x）>0，可得1h（x） <0,与题设矛盾。1x2综合得， k 的取值范围为（ -， 0原解在处理第（ II ）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解：（II ）由题设可得，当x0, x1 时， k< 2x ln x1恒成立。1x2令 g (x)= 2x ln x1 ( x0, x1 ),则 gx2x21 ln xx21，1x21x22再 令h xx21 ln x x21 (x0, x 1 )， 则 hx 2x ln x1x ，11xhx2ln x1x2ln x1在 0,上为增函数，且 h10 ；故x

10、2 ，易知 hx2当 x(0,1)时， hx0 ，当 x（1， +）时， hx0；hx在0,1上为减函数，在1,上为增函数；故hx> h1=0hx在 0,上为增函数Q h 1 =0当 x(0,1)时， hx0 ，当 x （ 1， +）时， h x0当 x(0,1)时， gx0，当 x（1， +）时， gx0gx在0,1上为减函数，在1,上为增函数Q 由洛必达法则知 lim g2limx ln x2lim1ln x1x1 x212x121 0x 1x 1x 12k0 ，即 k 的取值范围为（ -，0规律总结： 对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中的求分离出来的

11、函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方法。3自编 ：若不等式sin xxax对于x(0,)解：应用洛必达法则和导数当 x(0,) 时，原不等式等价于axsin xx3.2记 f ( x)xsin x3sin xx cos x2xx3，则 f '( x)x 4.记 g ( x)3sin xx cos x2 x ，则 g '( x )2cos xx sin x 2 .因为 g ''(x)x cos x sin xcos x ( xtan x ) ，g '''(x)x sin x0 ，所以 g ''(x) 在 (0,) 上单调递减，且g ''(x) 0 ，2所以 g '( x) 在 (0,) 上单调递减，且 g '(x)0 .因此 g ( x ) 在 (0,) 上单调递减，22且 g ( x)0 ，故 f'( x)g ( x)0 ，因此f ( x)xsin x在 (0,) 上单调递减 .x4x32由洛必达法则有lim f ( x)limx sin xlim1cos xlimsin