大学物理上海交通大学14章课后习题答案

1、习题 1414-1如图所示的弓形线框中通有电流i ，求圆心 o 处的磁感应强度 b 。0ib1解：圆弧在 o 点的磁感应强度：4r0 i6 r ，方向：；0i0030ib20 sin 60sin( 60 )直导线在 o 点的磁感应强度：4rcos602r ，方向：；b总场强：0 i (31 )2 r3，方向。14-2如图所示，两个半径均为r 的线圈平行共轴放置，其圆心o1、o2 相距为 a，在两线圈中通以电流强度均为i 的同方向电流。（ 1）以 o1o2 连线的中点 o 为原点，求轴线上坐标为x 的任意点的磁感应强度大小；（ 2）试证明：当 ar 时， o 点处的磁场最为均匀。i r2b0解：

2、见书中载流圆线圈轴线上的磁场，有公式：i r22232( rz ) 2 。（1） 左线圈在 x 处 p 点产生的磁感应强度：bp102 r2( a23x) 2 2，bp 2i r202a2 3右线圈在 x 处 p 点产生的磁感应强度：2 r(x) 22，bp 1 和bp 2 方向一致，均沿轴线水平向右，i r233220a 2a 2 r(x) 2 r( x) 2 p 点磁感应强度： bpbp1bp 2d b222；（2） 因为bp 随 x 变化，变化率为d x ，若此变化率在 x0 处的变化最缓慢，则o 点处的磁场最为均匀， 下面讨论 o 点附近磁感应强度随x变化情况， 即对对 b 求一阶导数

3、：bp 的各阶导数进行讨论。3i r255d b0( xa ) r2(xa)2 2( xa ) r2( xa)2 2d x22222d b当 x0 时，0d x，可见在 o 点，磁感应强度 b 有极值。对 b 求二阶导数：dd bd2 b()2dxd xdx3i r215( xa ) 215( xa ) 20222 r2(x5a ) 2 2 r2( x7a )2 2 r2( xa5)2 2 r2( xa7)2 22222d 2 b3i r2a2r27a当 x0 时，x 002d xd 2 b r2()2 22，可见，当ar 时，d x2x 00， o 点的磁感应强度b 有极小值，d 2 b2x

4、 00当 ar 时，d x， o 点的磁感应强度 b 有极大值，d 2 b当 ar 时， 强磁场。d x2x 00，说明磁感应强度 b 在 o 点附近的磁场是相当均匀的，可看成匀【利用此结论，一般在实验室中，用两个同轴、平行放置的 n 匝线圈，相对距离等于线圈半径，通电后会在两线圈之间产生一个近似均匀的磁场， 比长直螺线管产生的磁场方便实验， 这样的线圈叫亥姆霍兹线圈】14-3无限长细导线弯成如图所示的形状，其中c 部分是在 xoy平面内半径为r 的半圆，试求通以电流i 时 o 点的磁感应强度。解： a 段对 o 点的磁感应强度可用b d ls0i 求得，ba有：40i0 ibajr ，4rb

5、 段的延长线过 o 点， bb0 ，0 ibc0 i0 ibckc 段产生的磁感应强度为：4r4r ，4r0 i0 iboj +k则： o 点的总场强：4r4r，方向如图。14-4如图所示，半径为r 的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单层线圈均匀覆盖住半个球面。设线圈的总匝数为n，通过线圈的电流为i，求球心 o 的磁感强度。解：从 o 点引出一根半径线，与水平方向呈角，则有水平投影：xr cos，圆环半径：rr sin，取微元 dlrd，有环形电流：d i2 n i d，0i r2利用： b2(r20r 2dix2 )3 2，有：0n ir2 sin2d0 n isin 2ddb

6、2(r 2x2 )3 2( r2 sin 2r2 cos2) 3 2r，0n i2 sin 2d0 n i2 1cos 2d0 n i br0r024 r。14-5无限长直圆柱形导体内有一无限长直圆柱形空腔（如图所示），空腔与导体的两轴线平行，间距为a ，若导体内的电流密度均匀为j ， j 的方向平行于轴线。求腔内任意点的磁感应强度 b 。10，解：采用补偿法，将空腔部分看成填满了j 的电流，那么， 以导体的轴线为圆心，过空腔中任一点作闭合回路，利用b d ls0 jb120i，有：r，2r bjr22同理，还是过这一点以空腔导体的轴线为圆心作闭合回路：2rb20(j)r ，有： b 20 j

7、r2，由图示可知： r(r )aoo p10 j0 jrrja那么，bb1b22220。oao r14-6在半径 r1cm 的无限长半圆柱形金属片中，有电流i5a自下而上通过r，如图所p示。试求圆柱轴线上一点p 处的磁感应强度的大小。解：将半圆柱形无限长载流薄板细分成宽为dlr d的长直电流，dldd i有：r，利用b d ls0i 。0 d idb0i d2在 p 点处的磁感应强度为：0i2 r2r ，dbxdb sin22 r sind，而因为对称性，by0bbdb0 isind0i6.3710 5t那么，xx22 r02 r。14-7如图所示，长直电缆由半径为r1 的导体圆柱与同轴的内外

8、半径分别为r2、r3 的导体圆筒构成，电流沿轴线方向由一导体流入，从另一导体流出，设电流强度i 都均匀地分布在横截面上。求距轴线为r 处的磁感应强度大小（0r）。解：利用安培环路定理b d l0sb1 2ri分段讨论。r 2 i02（ 1）当 0rr1 时，有：r1b0 i rr2121 ；rrr0 ibb2ri22r（2）当12 时，有：20，；rr222rrrb 3 2r0 (ir2r2 i )（3）当23 时，有：32，b30 i2r22rr3rr2232 ；（4）当rr3 时，有： b 4 2r0 ( ii ) ，b40 。0 i rr2210 i2b2rir(0rr1)(r1rr2)

9、r 2032rr2r2(r2rr3)32则：0( rr3)14-8一橡皮传输带以速度v 匀速向右运动，如图所示，橡皮带上均匀带有电荷，电荷面密度为。（ 1）求像皮带中部上方靠近表面一点处的磁感应强度b 的大小；（ 2）证明对非相对论情形，运动电荷的速度v 及它所产生的b21 vec1磁场 b 和电场 e 之间满足下述关系：c（式中00 ） 。解：（1 ）如图，垂直于电荷运动方向作一个闭合回路abcda ，考虑到橡皮带上等效电流密度为： iv ，橡皮带上方的磁场方向水平向外，橡皮带下方的磁场方向水平向里，根据安培环路定理有：b dlabcd0l ib 2lb0 lv ，lb0vac磁感应强度b

10、的大小：（2）非相对论情形下：匀速运动的点电荷产生的磁场为：2；d0qvr?，b4r 2e点电荷产生的电场为：1q0?，4r 2 r1c2 ve00v11q0?4r 2 rc0qvr?，4r 2b 1b2 ve即为结论：c（式中00）。14-9 一均匀带电长直圆柱体，电荷体密度为， 半径为 r 。若圆柱绕其轴线匀速旋转，角速度为， 求：（1）圆柱体内距轴线 r 处的磁感应强度的大小；（ 2）两端面中心的磁感应强度的大小。解：（ 1）考察圆柱体内距轴线r 处到半径 r 的圆环等效电流。d idq2rld rlr drr1il r d rl (r2r 2 )tt，r2，选环路 a b c d 如图

11、所示，labb d l0i由安培环路定理：s，rdc1b l0有：2b02(r2l ( r2r 2 )r 2 )l（2）由上述结论，带电长直圆柱体旋转相当于螺线管，端面的磁感应强度是中间磁感应强度的一半，所以端面中心处的磁感应强度：b端面中心0r24。14-10如图所示，两无限长平行放置的柱形导体内通过等值、反向电流i ，电流在两个阴影所示的横截面的面积皆为s ，两圆柱轴线间的距离的磁感应强度。o1o2d ，试求两导体中部真空部分解：因为一个阴影的横截面积为s ，那么面电流密度为：ii s ，利用补偿法，将真空部分看成通有电流i ，设其中一个阴影在真空部分某点p 处产生的磁场为b1 ，距离为

12、r1 ，另一个为 b2 、 r 2 ，有： r1r 2d 。利用安培环路定理可得：ir 2?drir 20 s10 i r10 s20 i r2?1r?b12r10 i r1b12 s2 s，r1?b2b22r2r0i r2 ?22 sp2rr2 s，12o1o 2d则：，0ibbb(r r?r r? )，d0 i d?2s121 12 20 i d2 s。b即空腔处磁感应强度大小为2 s，方向向上。14-11无限长直线电流i 1 与直线电流i 2 共面，几何位置如图所示，试求直线电流i 2 受到电流i 1 磁场的作用力。解：在直线电流i 2 上任意取一个小电流元i 2dl ，此电流元到长直线

13、的距离为x ，无限长直线电流 i 1在小电流元处产生的磁感应强度为：0 i 1b2x，再利用 d fi bdl ，考虑到 dld xd fcos 600 ，有：0 i1i 2d x2xcos600 ，b0 i1 i 2fd x0i 1i 2b0lna2xcos60a 。14-12在电视显象管的电子束中，电子能量为 12000 ev ，这个显像管的取向使电子沿水平方向由南向北运动。该处地球磁场的垂直分量向下，大小为b5.5 105 t ，问：（ 1）电子束将偏向什么方向？（2）电子的加速度是多少？ （ 3）电子束在显象管内在南北方向上通过 20 cm 时将偏转多远？解：（ 1）根据 fqvb 可

14、判断出电子束将偏向东。南北e（2） 利用1 mv 22，有： v2e m ，电子束方向b而 fqvbama ，qvb mqb2 emm6.281014 ms 1y1 at 21 a( l)23mm（3） 22v。14-13一半径为 r 的无限长半圆柱面导体，载有与轴线上的长直导线的电流 i 等值反向的电流，如图所示，试求轴线上长直导线单位长度所受的磁力。解：设半圆柱面导体的线电流分布为ii 1r ，如图，由安培环路定理，i 电流在 o 点处产生的磁感应强度为：d b0ird2r，bod by可求得：0 ir2 r0y0 i 12sindr ；db又 d fi dlb ，o0 i 1i 2d f

15、bo i 2 dl故2dlr，fd f有：dlfd f0 i1 i 22r ， 而i20i 1i 2 ，所以：dl2r 。14-14 如图 14-55 所示，一个带有电荷q ( q0 ) 的粒子，以速度 v 平行于均匀带电的长直导线运动，该导线的线电荷密度为（0 ），并载有传导电流i 。试问粒子要以多大的速度运动，才能使其保持在一条与导线距离为d 的平行线上？解：由安培环路定律b d ll0 i 知：0 i电流 i 在 q 处产生的磁感应强度为：b2d ，方向；q v0i运动电荷 q 受到的洛仑兹力方向向左，大小：f 洛 qv b2d，同时由于导线带有线电荷密度为，在 q 处产生的电场强度可用

16、高斯定律求得为：e20 d ， q 受到的静电场力方向向右，大小：qf电20 d ；欲使粒子保持在一条与导线距离为d 的平行线，需f洛f电，q v0 i即： 2dqv20 d ，可得00 i 。14-15 截面积为 s 、密度为的铜导线被弯成正方形的三边，可以绕水平轴oo 转动，如图 14-53 所示。导线放在方向竖直向上的匀强磁场中，当导线中的电流为i 时，导线离开原来的竖直位置偏转一个角度而平衡，求磁感应强度。解：设正方形的边长为a，质量为 m， m平衡时重力矩等于磁力矩：as 。由 mpmb ，磁力矩的大小：mbia2 sin(900)bia2 cos；重力矩为：mmgasin2 mga

17、 sin2mga sin 2b2 mgtan2gstan平衡时：bi a2 cos2mga sin，i ai。14-16 有一个 u 形导线，质量为 m，两端浸没在水银槽中， 导线水平部分的长度为l ，处在磁感应强度大小为b 的均匀磁场中，如图所示。当接通电源时，u 导线就会从水银槽中跳起来。假定电流脉冲的时间与导线上升时间相比可忽略，试由导线跳起所达到的高度h 计算电流脉冲的电荷量q 。解：接通电流时有fbildvmbili dt，而d qdt ，qv m dvmv则： mdvbl dq ，积分有：0 blbl；1 mv2mghqmvm2 gh又由机械能守恒：2，有：v2 gh ，blbl。

18、14-17半径为 r 的半圆形闭合线圈，载有电流i ，放在均匀磁场中，磁场方向与线圈平面平行，如图所示。求：（1） 线圈所受力矩的大小和方向（以直径为转轴）；（2） 若线圈受上述磁场作用转到线圈平面与磁场垂直的位置，则力矩做功为多少？ir2解：（ 1）线圈的磁矩为：pmi sn2n ，br由 mpmb ，此时线圈所受力矩的大小为：1mpm b sin22r2 i bi；磁力矩的方向由pmb 确定，为垂直于 b 的方向向上，如图；（2）线圈旋转时，磁力矩作功为：1mbr2 ii ( br20)oaimi2m1m22。b【或：a md2 1r2 i b sind021 r2 i bs2 】思考题1

19、4-1在图（ a ）和（ b ）中各有一半径相同的圆形回路l1 、 l2 ，圆周内有电流i 1、 i 2 ，其分布相同，且均在真空中，但在（b ）图中上的对应点，则：l2 回路外有电流i 3 ，p1 、 p2 为两圆形回路( a)b dlbdl，b pb p( b)b dlb dl，b pb pl1l212 ；l1l 212 ；(c)b dlbdl，b pb p( d)b dlb dl，b pb pl1l212 ；l1l212 。答： b 的环流只与回路中所包围的电流有关，与外面的电流无关，但是回路上的磁感应强度却是所有电流在那一点产生磁场的叠加。所以（c）对。14-2哪一幅图线能确切描述载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的b 随 x 的变化关系？（ x 坐标轴垂直于圆线圈平面，原点在圆线圈中心o ）答：载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的磁感应强度b02( r 2ir 2x 2 ) 3 2b0 i2b0 ir x0 时，2r （ xr ），2x3。根据上述两式可判断（c）图对。14-3取一闭合积分回路l ，使三根载流导线穿过它所围成的面现改变三根导线之间