(同步辅导)2015高中数学《数列在日常经济生活中的应用》导学案北师大版必修5解析

1、第 11 课时数列在日常经济生活中的应用1.掌握等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式及其应用 .2.了解银行存款的种类及存款计息方式.3体会“零存整取”、 “定期自动转存”、 “分期付款”等日常经济生活中的实际问题.4.感受从数学中发现美的乐趣, 体验成功解决问题的快乐 , 激发学习数学的兴趣 .某人有七位朋友. 第一位朋友每天晚上都去他家看他, 第二位朋友每隔一个晚上到他家去 , 第三位朋友每隔两个晚上去他家串门, 第四位朋友每隔三个晚上去他家做客, 依次类推 ,直至第七位朋友每隔六个晚上在他家出现. 这七位朋友昨晚在主人家中碰面, 请问他们还会在同一个晚上在主人家中碰面吗?我们来

2、分析下, 第一位朋友每天晚上都在; 第二位朋友第2,4,6,8, 天在, 是首项为2, 公差为2 的等差数列, 通项公式为an=2n; 第三位朋友第3,6,9, 天在 , 是首项为3, 公差为 3 的等差数列 , 通项公式为an=3n; 第四、五、六、七位朋友在的时间的通项公式分别为an=4n, an=5n, an=6n, an=7n; 要使他们在同一晚上出现, 这个数应为这六个数列的公共项, 即 2,3,4,5,6,7的公倍数 , 而 2,3,4,5,6,7的最小公倍数为420,因此第 420,840,1260, 天晚上他们会同时在主人家出现.问题 1: 数列应用问题的常见模型(1): 一般

3、地 , 如果增加 ( 或减少 ) 的量是一个固定的具体量时, 那么该模型是等差模型 , 增加 ( 或减少 ) 的量就是公差 , 其一般形式是 : a1-a=d( d 为常数 ) .n+n(2): 一般地 , 如果增加 ( 或减少 ) 的百分比是一个固定的数时, 那么该模型是等比模型 .(3): 在一个问题中 , 同时涉及等差数列和等比数列的模型.(4): 如果容易找到该数列任意一项an+1 与它的前一项 an( 或前几项 ) 间的递推关系式 , 那么我们可以用递推数列的知识求解问题.问题 2: 解题时怎样判断是用等差数列还是等比数列来求解?一般涉及递增率什么的, 用到; 涉及依次增加或者减少什

4、么的, 用到, 或者有的问题是通过转化得到的 , 在解决问题时要往这些方面去联系 .问题 3: 与银行利率相关的几类模型(1) 银行储蓄单利公式 :利息按单利计算, 本金为 a 元 , 每期利率为r , 存期为 x, 则本利和.(2) 银行储蓄复利公式 :利息按复利计算, 本金为 a 元 , 每期利率为r , 存期为 x, 则本利和.1(3) 产值模型 :原来产值的基础数为N, 平均增长率为p, 对于时间 x 的总产值.(4) 分期付款模型a 为贷款总额 , r 为月利率 , b 为月等额本息还款数, n 为贷款月数 , 则 b=. ( 尝试去证明 )问题 4: 数列综合应用题的解题步骤(1)

5、弄清题意, 分析涉及哪些数学内容, 在每个数学内容中, 各是什么问题.(2)把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”, 每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等.(3)分别求解这些小题或这些小“步骤”, 从而得到整个问题的解答.(4)将所求结果还原到实际问题中.具体解题步骤如下框图:1. 夏季高山上的气温从山脚起每升高100 米降低 0. 7 度 , 已知山脚气温为26 度 , 山顶气温为14. 1 度 , 那么此山相对山脚的高度为 () 米 .A.1600B.1700C.1800D.19002. 根据市场调查结果, 预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积

6、的需求量 Sn( 万件 ) 近似n2,12), 按此预测 , 在本年度内 , 需求量超过 1. 5 万件地满足关系式 : S =(21 n-n - 5)( n=1,2,的月份是 () .A. 5、6 月B. 6、7 月C. 7、8 月D. 8、9 月3. 阿明存入5万元定期存款, 存期1 年,年利率为2. 25%,那么 10年后共得本息和为万元.(精确到 0. 001)4. 一件家用电器 , 现价2000 元 , 实行分期付款 , 每期付款数相同 , 购买后一个月付款一次 , 共付 12 次 , 一年后还清 , 月利率为0 8%,按复利计算 , 那么每期应付款多少元(精确到 0 01元)?.等

7、差数列模型2某旅游公司年初用 98 万元购买一艘游艇 , 第一年各种费用 12 万元 , 以后每年都增加 4 万元 , 每年旅游收益 50 万元 .(1) 问第几年开始获利 ?(2) 若干年后 , 有两种处理方案 :年平均获利最大时, 以 26 万元出售该游艇;总纯收入获利最大时, 以 8 万元出售该游艇.问哪种方案合算.分期付款的等比数列模型陈老师购买商品房92 m2, 单价为10000 元/ m2, 首付 432000 元以后向银行申请住房商业贷款 . 经协商住房贷款实行分期付款, 经过一年付款一次 , 共付10 次 ,10 年后付清 , 如果按年利率7.5%,每年按复利计算, 那么每年应

8、付款多少元?(参考下列数据:1 . 07591. 971,1 . 075102. 061,1 . 075112. 216)易错易混点 ( 第几年的中低价房的面积与累计面积)假设某市 :2004 年新建住房400 万平方米 , 其中有 250 万平方米是中低价房. 预计在今后的若干年内 , 该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%. 另外 , 每年新建住房中, 中低价房的面积均比上一年增加50 万平方米 . 那么 , 到哪一年底 ,(1) 该市历年所建中低价房的累计面积( 以 2004 年为累计的第一年 ) 将首次不少于 4750万平方米 ?(2) 哪年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比

9、例首次大于85%?有若干台型号相同的联合收割机, 收割一片土地上的小麦, 若同时投入工作到收割完毕需要 24 小时 . 现在这些收割机是每隔相同的时间顺序投入工作的, 每一台投入工作后都一直工作到小麦收割完 . 如果第一台收割机时间是最后一台的5倍 , 求用这种方法收割完这片土3地的小麦需要多长时间?用分期付款方法购买电器一件 , 价格为 1150 元 , 购买当天先付 150 元 , 以后每月这一天都交付 50 元 , 并加付欠款的利息 , 月利率为 1%,分 20 次付完 , 若交付 150 元以后的第一个月开始算分期付款的第一个月 , 问分期付款的第十个月该交付多少钱 ?全部贷款付清后

10、, 买这件家电实际花多少钱 ?为了建设和谐社会, 我国决定治理垃圾. 经调查 , 近 10 年来我国城市垃圾的年平均增长率为 3%,到 2013 年底堆存垃圾已达60 亿吨 , 侵占了约 5 亿平方米的土地, 目前我国还以年产1 亿吨的速度产生新的垃圾 , 垃圾治理已刻不容缓.(1)问 2004 年我国城市垃圾约有多少亿吨 ?(2)如果从 2014 年起 , 每年处理上年堆存垃圾的, 到 2019 年底 , 我国城市垃圾约有多少亿吨 ?可节约土地多少亿平方米?1. 某放射性物质的质量每天衰减3%,若此物质衰减到其质量的一半以下, 则至少需要的天数是( 参考数据lg 0 . 97=- 0. 01

11、32,lg 0. 5=- 0. 3010)() .A.22B.23C.24D.252. 现有 200 根相同的钢管, 把它们堆放成正三角形垛, 要使剩余的钢管尽可能的少, 那么剩余钢管的根数为 () .A.9B.10C.19D.293. 小王每月除去所有日常开支 , 大约结余 a 元 . 小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来, 每月初存入银行 a 元, 存期 1 年 ( 存 12 次 ), 到期取出本息和 . 假设一年期零存整取的月利率为 r , 每期存款按单利计息. 那么 , 小王存款到期利息为元.4. 某商场今年销售计算机5000 台 . 如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%

12、,那么4从今年起大约几年可使总销售量达到30000 台 ( 结果保留到个位)?1. (2012 年·北京卷 ) 某棵果树前n 年的总产量Sn 与 n 之间的关系如图所示, 从目前记录的结果看 , 前 m年的年平均产量最高, m的值为()A5.B.7C.9D.11考题变式 ( 我来改编 ):2(2011 年·安徽卷 ) 某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备.金, 数目为 a1, 以后每年交纳的数目均比上一年增加d( d>0), 因此 , 历年所交纳的储务金数目a1, a2 , 是一个公差为d 的等差数列 , 与此同时 , 国家给予优惠的计息政策, 不

13、仅采用固定利率, 而且计算复利 . 这就是说 , 如果固定年利率为 r ( r> 0),那么 , 在第 n 年末 , 第一年所交纳的储备金就变为 a1(1 +r ) n- 1, 第二年所交纳的储备金就变为a2(1 +r) n- 2 , 以 Tn 表示到第 n 年末所累计的储备金总额 .(1) 写出 Tn 与 Tn- 1( n2) 的递推关系式 ;(2) 求证 : Tn=An+Bn, 其中 An 是一个等比数列 , Bn 是一个等差数列 .考题变式 ( 我来改编 ):5第 11 课时 数列在日常经济生活中的应用知识体系梳理问题 1:(1)等差模型(2) 等比模型(3) 混合模型(4)递推模

14、型问题 2: 等比数列等差数列等差或等比数列问题 3:(1)(1)(2)(1+r) x(3)(1) xy=a +xry=ay=N +p问题 4:(1)审题(2) 分解(3) 求解(4)还原基础学习交流1. 1700从山脚到山顶气温的变化成等差数列, 首项为 26, 末项为14. 1, 公差为 - 0. 7, 设数列的项数为n,则14. 1=26+( n- 1) ×( - 0. 7), 解 得n=18,所以山的高度为(18-1)×1001700( 米 ).h=2. Cnnn- 1n( -n22+15n- 9) >1. 5, 得 6<n<9.由 a =S -S

15、解得 a =+15n- 9)( n2), 再解不等式( -n3 6.24610 年后的本息和为 :105(10 0225)106 246( 万元 ).a=+ .4. 解 : 设每期应付款x 元 ,则第 1 期付款后欠款2000(1 +0. 008) -x ,第 2 期付款后欠款 (2000 × 1. 008-x ) ×1. 008-x= 2000×1. 0082- 1. 008x-x ,第 12 期付款后欠款 20001 00812-(1.00811 1 008101)x, 因为第12 期付款后欠款为 0,× .+ .+ +所以 2000×1.

16、 00812- (1 . 00811+1. 00810+1) x=0,故 x=175. 46( 元 ), 即每期应付款175. 46 元 .重点难点探究探究一 : 【解析】 (1) 由题设知每年费用构成以 12 为首项 ,4 为公差的等差数列 , 设纯收入与年数的关系为 f ( n) .f( n) =50n- 12 +16+(8 +4n) - 98=40n- 2n2 - 98.6获利即为 f ( n) >0, 即 n2- 20n+49<0,解之得 10-<n<10+, 即 2. 9<n<17. 1.又 nN+, n=3,4, ,17 .当 n=3 时 , 即

17、第 3 年开始获利 .(2) 年平均收入=40- 2( n+ ), 当 n=7 时 , 年均获利最大 , 总收益为 84+26=110 万元 .当 n=10 时 , f ( n) max=102, 总收益为 102+8=110 万元 .比较两种方案, 总收益都为110 万元 , 但第一种方案需7 年 , 第二种方案需10 年 , 故选择第一种 .【小结】建立数列模型与建立函数模型一样, 应抓住数量关系, 结合数学方法, 将文字语言翻译成数学语言, 将数量关系用数学式子表示.探究二 : 【解析】设每年应付款 x 元 , 那么到最后一次付款时 ( 即购房十年后 ), 第一年付款及所生利息之和为 x

18、× 1. 0759 元, 第二年付款及所生利息之和为 x×1. 0758 元, , 第九年付款及其所生利息之和为x× 1. 075 元, 第十年付款为 x 元 , 而所购房余款的现价及其利息之和为10000 ×92- 432000 ×1. 07510=488000×1.07510(元) .因此有x(1 +1. 075+1. 0752+ +1. 0759) =488000×1. 07510(元),所以x=488000 ×1. 07510×488000 ×2. 061×71096(元 )

19、.所以每年需交款71096 元.【小结】分期付款问题 , 实质上是等比或等差数列求和问题, 解题的视角是建立等量关系式 .探究三 : 【解析】 (1) 设中低价房面积形成数列 an, 由题意可知 an 是等差数列 , 其中a =250, d=50, 则 S =250n+222×50=25n +225n, 令25n +225n4750,即 n +9n- 1900, 而 n 是1n正整数 , n10, 即到 2013 年底 , 该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750 万平方米 .(2) 设第 n 年建造的中低价房满足题意 , 则有 400(1 +8%)n- 1·85

20、%<25n2+225n. 解出 n 即可 . 问题 上述解法正确吗? 结论 不正确 . (2) 问中应是第几年的中低价房的面积而不是累计面积.于是 , 正确解答为 :(1) 同错解部分 .(2) 设新建住房面积形成数列 bn, 由题意可知 bn 是等比数列 , 其中 b1=400, q=1. 08, 则 bn=400·(1 . 08) n- 1.由题意可知 an>0. 85bn, 有 250+( n- 1) ·50>400·(1 . 08) n- 1·0. 85. 由于 n 是正整数 , 将1,2, 依次代入可得满足上述不等式的最小正整

21、数n=6, 即到 2009 年底 , 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.【小结】对应用题的审题一定要认真仔细, 否则很容易出错.7思维拓展应用应用一 : 依题意 , 这些联合收割机投入工作的时间构成一个等差数列, 按规定的方法收割,所需要的时间等于第一台收割机所需要的时间, 即数列的首项 .设这 n 台收割机工作的时间依次为a1, a2, ,an 小时 , 依题意 , an 是一个等差数列, 且每台收割机每小时的工作效率为, 则有由 得 a +a + +a =24n, 即=24n,12na1+an=48.由 , 联立 , 解得 a1=40.故用这种方法收割完这片土

22、地上的小麦共需40小时.应用二 : 购买时付 150 元 , 欠 1000 元 , 每月付 50 元 , 分 20 次付清 . 设每月付款数顺次成数列 a ,则n50 1000×1% 60( 元 ),50 (1000-50)1%5956005×1(元),50 (1000-50×2)a = +=a = +×=.=-.a = +123×1%=59=60- 0. 5× 2( 元), ,a10=50+(1000 - 50×9) ×1%=55. 5=60- 0. 5×9( 元 ), an=60- 0. 5( n-1

23、) =- 0. 5n+60. 5(1 n20), a 是 以 60为 首 项 ,-0.5为公差的等差数列,总数n20 150 20 1150 1255( 元),第十个月该交 55.5 元, 全部付清实际花1255 元.=S + = a +×d+ =应用三 :(1)设 2004 年我国城市垃圾约有a 亿吨 , 则有29a+a(1 +3%)+a(1 +3%) + +a(1 +3%)=60,a·=60, a=5.2(亿吨).(2)2014 年底有垃圾60×+1 亿吨 ;2015 年底有垃圾 (60 ×+1) ×+1=60×+ +1;2016

24、 年底有垃圾 (60×1)×1 60×1;+ + =+ + +2019 年底有垃圾 60×( ) 6+( ) 5+( ) 4+ +1=60×( ) 6+36. 6( 亿吨 ) .可节约土地23. 4×2( 亿平方米 ) .8基础智能检测1. B依题意有 (1 - 3%)n<0. 5, 所以 n>22. 8. 故选 B.2. B1+2+3+n<200, 即<200. 显然 n=19时 , 剩余钢管最少 , 此时最多用去=190 根 ,剩余 10 根.3. 78ar依题意得 , 小王存款到期利息为12ar+ 11ar+10ar+3ar+2ar+ar= 78ar.4 解 : 根据题意 , 每年