O0010,向量共线定理的几个推论及其应用

1、向量共线定理的几个推论及其应用人教版数学（必修）第一册（下）P115面介绍了一个定理：向量与非零向量共线有且仅有一个实数，使=。谓之“向量共线定理”。以它为基础，可以衍生出一系列的推论，而这些推论在解决一些几何问题（诸如“三点共线”“三线共点”等）时有着广泛的应用。以下通过例题来加以说明。一、定理的推论推论一：向量与向量共线存在不全为0的实数，使，这实质是定理的另外一种表述形式。推论二：三个不同点A、B、C共线存在一组全不为0的实数，使。注意推论（二）与推论（一）的区别：推论（二）中均不为零向量，而推论（一）中，向量可能含。推论三: 设O、A、B三点不共线，且，（x，yR），则P、A、B三点共

2、线x+y=1。这实质是直线方程的向量形式。推论四: 设O为平面内任意一点，则三个不同点A、B、C共线存在一组全不为0的实数使且=0证： 当O点与A、B、C三点中任一点重合，则推论（四）即为推论（二）； 当O点与A、B、C三点均不重合，则三点A、B、C共线存在s，tR，且s·t0，使得，此时，s-t，否则，从而B点与C点重合，这与已知条件矛盾，故有：，即：。显然s+t+-(s+t)=0令,故得证。推论五： 设O为平面内任意一点，则三个不同点A、B、C不共线若存在实数，使且则=0。推论五实质是推论四的逆否命题。推论六：点P在ABO的内部（不含边界）存在正实数，使得，BN1NP1AM1MO

3、P且。证：如图，必要性：若点P在ABO的内部（不含边界），则，延长OP交AB于P1，过P作OA、OB的平行线，分别交OA，OB于M，N点，过P1作OA，OB的平行线，分别交OA，OB于M1，N1点，显然，。其中显然。由于.而充分性由上述各步的可逆性易知。事实上，我们可以将推论三与推论六整合在一起，导出推论七：推论七：已知平面内不共线向量，且。分别记过点A且与BC平行的直线为，直线BC，AB，AC分别为.则：P点在直线上；P点在直线不含A点一侧；P点在直线与之间；P点在直线上；P点在直线不含直线一侧；P点在直线不含C点一例；P点在直线含C点一侧；P点在直线不含B点一侧，P点在直线含B点一侧。l3

4、l4l2l1P3AP1BCP2证：设直线AP与直线BC相交于点，则设，则故P若在直线BC上，则,又共线，则,故：,则,AB、AC不共线，则.（1）若P在区域内，则0<k<1，即0<，且均为正实数，即;（2）若P在区域内，则0<k<1，t>1，则，且;（3）若P在区域内，则k<0，且;（4）若P在区域内，则k<0，且;（5）若P在区域内，则k<0，且;（6）若P在区域内，则0<k<1，则;（7）若P在区域内，则k>1，则，;（8）若P在区域内，则k>1，则，;（9）若P在区域内，则k>1，则，.综上：当P点位于上

5、方，;当P点位于下方上方，;当P点位于下方;当P点位于左边，右边，;当P点位于左边，右边从而得证。注：推论（七）的相关结论还可以分得更细，它对解决“区域”问题很有重要的作用。二、应用举例AMBCND例1 如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上。BN=，求证：M、N、C三点共线。证：设，（与不共线），则.N为BD的三等分点，,而,，且m+n=1，且B、M、C三点不共线，则点M、N、C三点共线。BCDEFAPMN例2 设M，N分别是正六边形ABCDEF的对角线AC、CE的内分点，且，若B、M、N三点共线，求的值。分析：要求的值，只需建立f()=0即可，而f()=0就隐含在直线

6、方程的向量形式中。解：延长EA，CB交于点P，设正六边形的边长为1,易知ECP为Rt，AE=AP=AC=，PB=2,A是EP之中点，,又，；B、M、N三点共线.由推论（三）知，即为所求例3 （06年江西高考题）已知等差数列an的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线，（设直线不过点O），则S200=A100B101C200D201解：易知a1+a200=1,故选A。例4 （06年湖南高考题）如图OMAB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则实数对（x，y）可能的取值是ABCDAOMPQB解：由P点所处的区域，利用推论（七）的结论我们不难判定中的线性组合

7、系数对（x，y）应满足0<x+y<1，且x<0，y>0。从而应选C。AQPCBLR例5 （梅涅劳斯定理）若直线l不经过ABC的顶点，并且与ABC的三边BC、CA、AB或它们的延长线分别交于P、Q、R，则=1证：如图，设P、Q、R三点分有向线段BC、CA、AB，所成的比分别为，则，又P、Q、R三个分点中有一个或三个外分点，所以，因而只需证明。任取一点O，则由定比分点的向量公式得：,P、Q、R三点共线,由推论4知存在全不为0的实数k1，k2，k3使即,且,而A、B、C三点不共线，由推论5得,，原命题得证。例6 （塞瓦定理）若P、Q、R分别是ABC的BC、CA、AB边上的点，则，AP、BQ、CR三线共点的充要条件是。BRAMQCP证：必要性：如图，设P、Q、R分有向线段BC、CA、AB所成的比分别为，则.在平面ABC内任取一点O，令AP、BQ、CR三线交点为M，则A、M、P三点共线，由推论4知，存在实数k1使同理存