基于MATLAB的低通滤波器的设计

1、通信系统综合设计与实践基于MATLAB的低通滤波器设计信院通信系通信工程题目院（系）名称 专业名称学生学生学号指导教师2013年5 月25日1 .巴特沃斯低通数字滤波器简介31.1 选择巴特沃斯低通滤波器及双线性变换法的原因41.2 巴特沃斯低通滤波器的基本原理41.2.1 巴特沃斯低通滤波器的基本原理41.2 . 2双线性变换法的原理51.3 数字滤波器设计流程图71.4 数字滤波器的设计步骤72 .巴特沃斯低通数字滤波器技术指标的设置83 .用mat lab实现巴特沃斯低通数字滤波器的仿真并分析93.1 用matlab实现巴特沃斯低通数字滤波器的仿真93.2 波形图分析104 .用Simu

2、link实现巴特沃斯低通数字滤波器的仿真并分析114. 1 Simulink 简介115. 2用Simulink实现巴特沃斯低通数字滤波器的仿真116. 3波形图分析117. 3. 1 Simulink 波形图分析114. 3. 2与mat lab波形的比较14 15.165 .总结与体会6 .附录低通滤波器是让规定频率以下的信号分量通过，而对该频率以上的信号分量抑制的 电容、电感与电阻等器件的组合装置。巴特沃斯滤波器是电子滤波器的一种，特点是通 频带的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏，而在阻频带则逐渐下降为零。可以构成 低通、高通、带通和带阻四种组态，是目前最为流行的一类数字滤波器，经过离

3、散化可 以作为数字巴特沃思滤波器较模拟滤波器具有精度高、稳定、灵活、不要求阻抗匹配等 众多优点因而在自动控制、语音、图像、通信、雷达等众多领域得到了广泛的应用，是 一种具有最大平坦幅度响应的低通滤波器。本文将介绍其中最常用的一种一一巴特沃斯 低通数字滤波器。本文侧重于理论分析、matlab编程和结果分析。（1）本文将先概述巴特沃斯低通数字滤波器的工作原理和特点。（2）设置技术指标；（3）用matlab进行软件编程，将仿真波形与理论值进行比较，分析其中的异同， 并通过一个输入波形来验证设计的巴特沃斯低通数字滤波器的准确性。（4）对实验结果和理论结果进行比较，分析它们的异同点并进行总体分析。（5）

4、用Simulink进行硬件电路仿真，观察仿真结果，并通过一个输入波形来验证 仿真效果。（6）通过对用Matlab软件仿真和Simulink硬件仿真的比较，说明两者的优缺点。 （7）对实验结果进行最后的总结，写出自己的感想。关键字：mat lab低通滤波器 巴特沃斯1 .巴特沃斯低通数字滤波器简介1.1 选择巴特沃斯低通滤波器及双线性变换法的原因（1）由于低通滤波器是组成其它滤波器的基础，故选用低通滤波器;（2）在当今社会，数字信号的应用越来越广泛，故选用数字信号；（3）巴特沃斯滤波器的特点是通频带的频率响应曲线最平滑并且应用围最广，故选巴 特沃斯型滤波器；（4）为了不使数字滤波器在3二乃附近产

5、生频谱混登，故选用双线性变换法。1.2 巴特沃思低通滤波器的基本原理：1.2.1 巴特沃思低通滤波器的基本原理：巴特沃斯低通数字滤波器的幅度平方函数HJjO）用下式表示）1N（jQ）=LF严式中，N称为滤波器的阶数。当Q=0时，| = 1； C = Qc时，|HJjQ） | =Or是3dB截止频率。在。=Cc附近，随C加大，幅度迅速下降。幅度特性与。与N的 关系如图1. 1所示。幅度下降的速度与阶数N有关，N愈大，通带愈平坦，过渡带愈窄, 过渡带与阻带幅度下降的速度愈快，总的频响特性与理想低通滤波器的误差愈小。图L 1巴特沃斯低通数字滤波器图L2三阶巴特沃斯滤波器极点幅度特性与C与N的关系分布

6、图 以s替换jQ,将幅度平方函数风（jQ）广写成s的函数Hfl(s)|Hfl(-5)| =1复变量s = b + 此式表示幅度平方函数有2N个极点，极点与用下式表示:J+妈Sk =(-l)2A (JQc) = Qre 2 2N(攵=0,1,2,3.)2N个极点等间隔分布在半径为。的圆上(该圆称为巴特沃斯圆)，间隔为711N rado例如N=3,极点间隔为；r/3rad,如图1.2所示。为形成因果稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的的N个极点构成 .、,Q jV Ha(s),而右半平面的的N个极点构成Ha(-s),Ha (s)的表达式为Ha(s) =、,_ J 1n() =0为使设计公

7、式和图表统一，将频率归一化。巴特沃斯低通数字滤波器采用对3dB截 止频率Or归一化，归一化后的系统函数为Hr/() = 1n(-) 母 Cc Cc令 = + ，九= Q/Oc,/l称为归一化频率，p称为归一化复变量，这样，巴特 沃斯低通原型系统函数为C,、1Ga(P)= rr(pm) 4=01.2. 2双线性变换法原理双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种 变换方法。为了克服多值映射的缺点，采用把整个s平面频率压缩方法，将整个频率轴上的频率围压缩到-Ji/T冗/T之间，再用Z = e转换到Z平面上。也就 是说，第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-冗/T冗/T

8、 一条横带里；第二步再 通过标准变换关系Z =e将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建 立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象。映射关系如 图1. 3所示。A设Ha (s) ,s = /Q,经过非线性频率压缩后用/(邑)，表示，这里用正切变换 实现频率压缩：21n = Ftan(2O17)图L3双线性变换的映射关系式中，T为采样间隔，当居从-冗/T经过0变化到Ji/T时，。由-8经过o变化到十 8,实现了 s平面上整个虚轴完全压缩到平面上虚轴的+冗”之间的转换。即.2e乱门2_。一乱-2J =亍内2 +产，2 =亍+ /月.代入s = jCl, % =

9、,得到2 1一产S = Tl + eT再通过Z =e针从S平面转换到Z平面，得到二 2 一7 T 1 + z-12+ SZ=T-2sT上式是S平面与Z平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因 此称为双线性变换。双线性变换法与冲激响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现 象，虽然在线性方面有些欠缺，但是可以通过频率的预畸来加以校正且计算比冲激响应 不变法方便，实现起来比较容易，所以，本设计选择用双线性变换法设计巴特沃斯低通 滤波器。L3数字滤波器设计流程图1.4数字滤波器的设计步骤数字滤波器的设计步骤：根据数字滤波器的技术指标先设计过渡模拟滤波器得到系 统函数Ha(s

10、),然后将Ha(s)按某种方法(本实验采用双线性变换法)转换成数字滤波器 的系统函数H (z)0具体为：(1)确定巴特沃斯数字低通滤波器的技术指标：通带边界频率3P，阻带截止频率3S, 通带最大衰减a p,阻带最小衰减a So(2)将数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标。这里指3P和3s的变换 而ap和as保持不变。本题采用双线性变换法，其转换公式为：2 Qs =-tan 2(3)根据技术指标Cp、3P和3s用下面公式求出滤波器的阶数。(4)根据N由表1. 4求出归一化极点处和归一化低通原型系统函数Ga(p)。表L4巴特沃斯归一化低通滤波器参数分母因B(p)=B1(P)B2(p)-B

11、(x/2(p)N/2表示取大于等于N/2的最小整数1(p2+l)2(p2+1.4142p+l)3(p+p+l) (p+1)4(p2+0. 7654p+l) (p+1. 8478p+l)5(p2+0. 6180p+l) (p+1. 6180p+l) (p+1)6(p2+0. 5176p+l) (p+1. 4142p+l) (p2+l. 9319p+l)7(p2+0. 4450p+l) (p+1. 2470p+l) (p2+l. 8019p+l) (p+1)8(p2+0. 3902p+l) (p +1, llllp+1) (p2+l. 6629p+l) (p2+l. 9619p+l)9(p2+0.

12、 3473p+l) (p2+p+l) (p2+l. 5321p+l) (p2+l. 8974P+1) (p+1)(5)将Ga (p)去归一化，将=-代入Ga (p),得到实际的滤波器系统函数： CcHa(s) = G(p) 5片瓦这里Qc为3dB截止频率。(6)用双线性变换法将模拟滤波器Ha(s)转换成数字低通滤波器系统函数H(z)。转换 公式为：2 .巴特沃斯低通数字滤波器技术指标的设置 数字低通技术指标为 cop=30Hz,a p=ldB3 s=60Hza 产30dB采样频率为fs=500 设计要求：输入 x=sin(2* n *20*t)+2*sin(2* . *100*t)+5*sin

13、(2* n *200*t)合成信号，经过滤 波器后滤除30Hz以上的分量，即只保留sin(2*Ji*20*t)分量信号，来验证设计的滤波 器是否达到了设计要求。设计目的： (1)理解低通滤波器的过滤方法。进一步熟悉低通滤波器的基本应用。用仿真工具mat lab和Simulink分别对设计的滤波器进行软件和硬件仿真。(6)将对仿真结果进行比较，从而检验滤波器滤波性能的准确性。3 .用matlab实现巴特沃斯低通数字滤波器的仿真并分析3.1 用mat lab实现巴特沃斯低通数字滤波器的仿真Mat lab程序如下：fs=500；t=O：l/fs：l；x=sin(2*pi*20*t)+2*sin(2*

14、pi*!00*t)+5*sin(2*pi*200*t)；wp=2*30/fs；ws=2*60/fs；Rp=l;?s=30；subplot(311)；plot(t,x)；title(输入信号)；N.wc=buttord(wptws,RptAs)；BtA=butter(N,wc)；HtW=freqz(BtA)；y=filter(B.A,x)；subplot(312)；plot(W.abs(H)；title(低通滤波器)；subplot(313)；plot(t,y)用mat lab滤波前后的信号波形变化如图3. 1所示：10图3. 1用matlab滤波前后的信号波形变化3.2 波形图分析：由技术指标

15、得：设计的巴特沃斯低通数字滤波器为30Hz以的信号能通过，而高于 30Hz的信号将通不过滤波器。因此，我们设计一个输入信号，其为：x=sin(2* n *20*t) +2*sin(2* n *100*t)+5*sin(2* n *200*t)。使其通过设计好的巴特沃斯低通数字 滤波器，来验证设计好的巴特沃斯低通数字滤波器是否准确。如图 3. 1 所示，输入信号为 x=sin(2* n *20*t)+2*sin(2* n *100*t)+5*sin(2* n *200*t),其图形在1秒重复了 20次，故其频率为20Hz,幅度为8,由sin(2* n *20*t)、 2*sin(2* n*100

16、*t)和5*sin(2*n*200*t)三个正弦波合成，从图中可知，输入信号的幅 度与频率与输入信号的理论波形几乎完全相同。而通过低通滤波器后信号只剩下一个， 且在1秒波形重复了 20. 25次，即周期为1/20. 25s,其频率为20. 25Hz,幅度为1,和 输入信号中的sin(2*n*20*t)分量相差不大，但其频率稍微有些失真，说明了设计的 低通滤波器达到了要求。4 .用Simulink实现巴特沃斯低通数字滤波器的仿真并分析4. ISimulink 简介Simulink是Mat lab最重要的组件之一，是MATLAB中的一种可视化仿真工具, 是一种基于MATLAB的框图设计环境，是实现

17、动态系统建模、仿真和分析的一个软 件包它提供一个动态系统建模、仿真和综合分析的集成环境。在该环境中，无需 大量书写程序，而只需要通过简单直观的鼠标操作，就可构造出复杂的系统。 Simulink具有适应面广、结构和流程清晰及仿真精细、贴近实际、效率高、灵活 等优点，并基于以上优点Simulink已被广泛应用于控制理论和数字信号处理的复 杂仿真和设计。同时有大量的第三方软件和硬件可应用于或被要求应用于 Simulinko4. 2用Simulink实现巴特沃斯低通数字滤波器的仿真用Simulink硬件仿真的电路图4. 1如下所示图4. 1用Simulink硬件仿真的原理图4.3波形图分析4. 3.

18、1 Simulink波形图分析图中 Sine Wave 为正弦波，函数分别为 sin (2* n *20*t). 2*sin (2* n *100*t)和 5*sin(2* n *200*t)；三个加号的为求和函数；Digital FiIter Design为巴特沃斯低通 数字滤波器，其设置如图4. 2所示；而Scope为三个信号相加后的波形(如图4. 3、4.4 所示)，用来观察输入信号；Scopel为经过巴特沃斯低通数字滤波器后的波形(如图 4.5所示)，用来观察滤波效果。Digital Filter Design的设置如图三所示，其设置的为巴特沃斯低通数字滤波器, Scope为输入信号，

19、由图4. 3的，其幅度略大于五，其周期为0.01s,频率为100Hz,与输入信号 x=sin(2* Ji *20*t)+2*sin(2* n *100*t)+5*sin(2* 冗 *200*t)的幅度 8,频率 200Hz有较大差距，说明失真较严重存在不小的信号衰减，而Scopel (如图4. 5所示) 为滤波后的信号，其幅度为1.1,在5s到5.5s波形重复了 10次，故其周期为0.05s, 频率为20Hz,与输入信号中的sin(2*Ji*20*t)相当，幅度变大了 0. 1,说明有噪声干扰, 但也基本达到了设计要求。-J Block Parameters: Digital Filter D

20、esignFile Edi t Analysis Targets Window Help口京la昌以r Purr ent Filr 拶巨亡1 E 口国田桔m厂困RMAnmhjriA500C hi irh Pl irarh Ferm 11nrrlpr RFiftnHnil引吊殳SniMCFCaGic/oXo oE-o一Magnitude Response in dB05nuLowpHiahc BandBand, IniHF-rF-nliatc PlAinn_ F% C Specify ET i* MinimunrririhnnI n-Butterw 口出Equiripplei；. . nTher

21、e are no optional parameters for this design method.)RSinn hillH图 4. 2 Digital Filter Design图4.3输入信号的波形Q Scope1巨 一回 雷昌昌q圈/矗睛矗曰a中543210- 2- 3- 4- 54.555.5 G 6.577.58Time offset 0图4.4输入信号的波形H Scopel昌陶叵庐卢AS0日/图4. 5滤波后的信号4. 3. 2用Mat lab与Simul ink仿真结果的比较：输入信号的比较用Simulink出来的信号干扰较大，失真较严重，说明存在外界干扰，导致信号衰 减，而

22、用matlab出来的信号较好，干扰可以忽略。巴特沃斯低通数字滤波器的比较由图3. 1中的低通滤波器和图4.2比较可得可知，用niatlab设计的滤波器过渡带 较窄，而用Simulink设计的滤波器过渡带较大，仿真结果和matlab相比效果较差，用 mat lab设计的滤波器与理论值差距较小，滤波效果更好。输出信号的比较用mat lab滤波后的信号比理论信号在1秒大了 1/4个周期，效果不错，而用 Simulink滤波后的信号周期没变，幅度大了 0.1,但滤波器控制不了幅度，幅度的变化 说明存在外界干扰，说明噪声较大，但从滤波效果来看也达到了设计要求。综述由图4. 4和图4. 5可知，用Simu

23、link设计的滤波器的输入信号与滤波后信号均存 在5s的延迟，说明了加法器的处理速度较慢，而用niatlab设计的滤波器不存在此现象。 从滤波效果来看，用matlab设计的滤波器效果较好，其虽存在频率误差，但影响不大, 而用Simulink设计的滤波器频率虽不失真，但存在较大的外界干扰。个人认为，用 matlab设计的巴特沃斯低通数字滤波器滤波效果较好。对设计结果与理论值的比较，其均存在一定的误差，从侧面说明对于任何实验结果， 在一定围的误差是允许的，其与理论值均有一定的误差，这是不可避免的，其中的原因 多种多样，如实验设计不合理，外界因素的干扰，信号衰减对于这些，我们只能 通过不断改进设计原

24、理、优化设计步骤等措施来减小误差。同时，也告诉我们，任何理 论结果要转换成实际应用，均要进行一定的优化，使其达到实际的应用要求。5 .总结与体会数字滤波器是一种对数字信号进行滤波处理以得到期望的响应特性的离散时间系 统。它能够有效的对数字信号进行过滤，过滤多数字信号中的干扰和多余成分，能够保 证通信过程的正常实现。本次实验设计选择了在通信系统中最常用，也是最基础的巴特沃斯低通数字滤波 器。根据给定的数字数字滤波器的技术指标，先设计过渡模拟滤波器得到系统函数Ha(s), 然后将Ha(s)采用双线性变换法转换成数字滤波器的系统函数H (z)o在这个变换的过 程中避免了频率的混叠现象。然后根据数字滤波器的系统函数，编写程序，分