杨辉三角与二项式定理导学案

1、1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质主讲：泉州中远学校高二数学组朱坤城-可编辑修改-【三维目标】1. 使学生建立“ 杨辉三角” 与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律；2能运用函数观点分析处理二项式系数的性质；3. 理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用。4. 引导学生发现、欣赏数学中的美，弘扬民族文化。【教学重难点】教学重点：二项式系数的性质及其应用；教学难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。【教学过程】【问题探究1 】 。杨辉三角的来历及规律早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的详解九章算法一书中说明了表里“一 ”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；指出这个方法出于释锁算书

2、，且我国北宋数学家贾宪(约公元11 世纪)已经用过它.这表明我国发现这个表不晚于11 世纪；在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡(1623-1662 )首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右.认识杨辉三角：III1211331151010511615201561你能发现这个三角数阵的几个规律：从以上的数阵，想想我们学过的哪些知识和它有联系？【问题探究2】二项式定理与杨辉三角的联系。问题1 :二项式展开式是：试把(a+b) n(n=0 ,1,2,3 , 4, 5 ,6)展开式的二项式系数填入课本P32的表格。问题2 :为了方便，我们将上表改写成如下

3、形式.(a+b) 0 1(a+b) 1 11(a+b) 2 121(a+b) 3 1331(a+b) 4 14641(a+b) 5 15101051(a+b) 6 1615201561【问题探究3、从函数角度分析二项式系数:问题 1 ： ( a+b) n 展开式的二项式系数为 ,从函数角rr度看，C n可看成是以r为自变量的函数f(r),令f(r)= C n ,定义域为 问题2：当n=6时，作出函数f (r)的图象如下，其图象是七个孤立的点。你能作当 n=7时函数f (r)的图象吗?布）1035302520问题3:当n=7时，函数f (r)的图象是对称的吗？对称轴在哪儿？【问题探究4】通过图象

4、归纳二项式系数的重要性质问题1 :(对称性)与首末两端 等距离”的两个二项式系数相等吗？由公式怎么表示?知识对接考查1:1,在（a b）6展开式中，与倒数第三项二项式系数相等的是：（）A.第2项 B.第3项C.第4项D.第5项2,若（a b）n的展开式中，第三项的二项式系数与第七项的二项式系数相等，则n=问题2:（增减性与最大值）（1）由函数f （r）的图象知，二项式系数的前半部分是逐渐（增大，减小）的，由对称性知它的后半部分是逐渐 的。如何证明？（2）二项式系数在中间处取得最大值，那么当n是偶数时，中间最大的一项二项式系数是 ,是二项式展开式的第几项？当n是奇数时，中间最大的两项二项式系数是

5、 和,是二项式展开式的第几项？知识对接考查2 ：1 .在（1+x） 10的展开式中，二项式系数最大为 ; 在（1-x） 11的展开式中，二项式系数最大为2 .指出（a+2b ） 15的展开式中哪些项的二项式系数最大？ （1+x） n=C n + C n X+问题3 :各项二项式系数的和Cn2 X2+-+C； xr+ +CnnXn»那公+ Cn例1试证：在（a+b ） n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。知识对接考查3 :1.Ci10Ci20 LC10727变式提升： 已知(12x)a0axa?x.a?x(i (1) aa2 a3a4a5a6a7(2) ai

6、a3 a5a7(3) a° a2 a4a6【课堂小结】1 .二项式系数的性质：2 .数学思想：3 .数学方法：【课后检测】一，.C 59 9C 101、已知 C 15 =a , C 15 =b ,那么 C 16 =;2、(a+b ) n的各二项式系数的最大值是 C 13113、C 11 + C 11 + -+ C 11 =;4、0 1 2Cn1 Cn1 Cn 1Cn 1n 1假定一并且以后每个月年内可5、证明：C： + C； + C：+ Cnn=2n-1 （n 是偶数）； 课后探究题: 中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作算术之法中提出了一个饶有趣味的问题:对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过