江苏省南师附中、天一中学等五校2013届高三下学期期初教学质量调研数学试题

1、2012-2013学年第二学期期初高三教学质量调研数学试卷2013. 02注意事项：1 .本试卷共4页，包括填空题（第1题第14题卜解答题（第15题第20题）两部分.本 试卷满分为160分，考试时间为120分钟.2 .答题前，请务必将自己的姓名、学 校、班级、学号写在答题卡的密封线内.试题的答 案写在答题卡.上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题卡.一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置 上.1,已知集合 A=1,0,1,2, B=x|x2-x<01则 ACB= .2 .设a为实数，若复数 （1 + 2i）（1+ai）是纯虚数，则a的值是

2、 3 .某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：g）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间96, 106,样本中净重在区间96, 100）的产品个数是24,则样本中净重在区间98, 104）的产品个数是.4 .如图所示的流程图的输出S的值是 （第3题）（第4题）17 / 131, 2, 3, 4, 5, 6个点的正方体玩具）， 5 .若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有 先后抛掷两次，则两次点数之和为偶数的概率是TTf ff -6 .设k为实数，已知向量a = （1,2）, b =（3, 2）,且（ka+b），（a3b）,则k的值是7 .在平面直

3、角坐标系 xOy中，若角”的始边与x轴的正半轴重合，终边在射线y=-V3x （x>0）上，则 sin5 a=x8.已知实数x, y满足约束条件22, 2°,， 则z= 2x+ y的最小值是 A9.已知双曲线a2b2= 1 (a>0, b> 0)的焦点到渐近线的距离是a,则双曲线的离心率的值是10 .在 4ABC 中，角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c.已知 a = 2, 3bsinC 5csinBcosA= 0, 则ABC面积的最大值是.11 .已知定义在实数集 R上的偶函数f(x)在区间0, +8止是单调增函数.若 f(l)vf(lnx),则 x的取

4、值范围是.12 .若点P、Q分别在函数y=ex和函数y=lnx的图象上，则P、Q两点间的距离的最小值是.1，一.113 .已知一个数列只有 21项，首项为 ,末项为赤，其中任思连续二项 a, b, c满足b = 2_,则此数列的第15项是 .a+ c14 .设a1，a2,，an为正整数，其中至少有五个不同值.若对于任意的i, j(1Wvj珀)，存在k, l (k由 且异于i与j)使得ai+aj = ak+al,则n的最小值是.二、解答题：本大题共 6小题，共90分.请在答题卡指定区域内 作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.15 .(本小题满分14分)如图，摩天轮的半径为 50 m

5、,点。距地面的高度为60 m,摩天轮做匀速转动，每 3 min 转一圈，摩天轮上点 P的起始位置在最低点处.(1)试确定在时刻t (min)时点P距离地面的高度；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85 m?(第15题)16 .(本小题满分14分)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PDL面 ABCD, AD / BC, CD=13, AB=12, BC=10, AD1=2 BC.点E、F分别是棱 PB、边CD的中点.(1)求证：AB上面 PAD;CB(2)求证：EF/面 PAD.(第16题)17 .(本小题满分14分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位

6、：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y= + 10(x-6)2,其中3vxv6, a为常数.已知销售价格为 x 35元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a的值；(2)若该商品的成品为 3元/千克，试确定销售价格 x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.18.(本小题满分16分)在平面直角坐标系 xOy中，如图，已知椭圆 C: x-+y2=1的上、下顶点分别为4P在椭圆C上且异于点 A、B,直线AP、PB与直线l: y= 2分别交于点M、(1)设直线AP、PB的斜率分别为k1, k2,求证：k1k2为定值；(2)求线段MN长的最小值；A、B,点N.(3)当点P运动时

7、，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论.(第18题)19.(本小题满分16分)设非常数数列 an满足an+2="粕1 + 3 n, n C N*,其中常数% 3均为非零实数，且(x+ 3十产0.(1)证明：数列an为等差数列的充要条件是“+ 2 3= 0;15(2)已知 a= 1, 3= 4， a1=1, a2=2，求证：数列| an+1 an i| (n N* , n> 2打数列1n + 2 (nC N*)中没有相同数值的项.20.(本小题满分16分)设函数f(x)的定义域为 M,具有性质P:对任意xCM,都有f (x)+f (x+ 2)wf (x+1).(1)若M

8、为实数集R,是否存在函数f (x)=ax(a>0且awi, x R)具有性质P,并说明 理由；(2)若M为自然数集 N,并满足对任意 xC M,者B有f (x)CN.记d(x)=f (x+ 1)-f (x).(i )求证：对任意 xC M,都有d(x+ 1)(x)且d(x) >p(ii)求证：存在整数0逸;匈(1)及无穷多个正整数 n,满足d(n)=c.2012- 2013学年第二学期期初高三教学质量调研数学(附加题)2013.0221、【选做题】在 A、B、C、D四小题中只能选做 2题，每题10分，共计20分.请在笞题纸 指定区域内 作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A

9、、(几何证明选讲选做题)如图，已知AB为圆。的直径，BC切圆O于点B, AC交圆。于点P, E为线段BC的中 点.求证：OPPE.AB、（矩阵与变换选做题）F,1 02,设曲线y=sinx在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线0 1求F的方程.x=3+¥ty=- 3+率（t为参数）；在以O为极C、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系 xOy中，直线m的参数方程为点、射线Ox为极轴的极坐标系中，曲线 C的极坐标方程为 n2仁8cos 0,若直线m与 曲线C交于A、B两点，求线段 AB的长.D、（不等式选做题）设x, y均为正数，且 x>y, 求证:1一2x+x2-2xy+y2&

10、gt;+3-22、【必做题】如图，在直三棱柱 ABCAiBiCi 中，/ BAC=90°, AB=AC=2, AAi=6,点 E、F 分别在11梭 BB、CC1 上，且 BE=-BB1, CF = 0CC1. 33（1）求异面直线 AE与A1 F所成角的大小；（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值23、【必做题】在数列Jan (nCN*)中，已知 ai=1, a2k= ak, a2k i=(- 1)k+1ak, kC N*.记数列an 的前n项和为Sn.(1)求S5, S7的值；(2)求证：对任意 nCN*, Sn>0.2012-2013学年第二学期期初高三教学质量调研数

11、学参考答案一"、填空题：,11. 0, 12. 23. 604. 205.9,亚 10. 211.(0,揖(e, +8)二、解答题：15. (1)解：设点P离地-面的距离为y,则可令 由题设可知A =50, b=60.1 32 6. 197. -21012. . 213. 1007y= Asin( wt+ + b.8. 214. 13又T=2= 3,所以w3=学 从而 y=50sin(23t + + 60.即 co看lv 一8分FN/AD.W12分14分12分14分再由题设知t=0时y=10,代入y = 50sin（察十回+60,得sin（）= - 1,从而 ON 盼2兀 因此，y

12、= 60 50cost （t > 0）.8 分o(2)要使点P距离地面超过85 m,贝U有 y=60-50co4>85,o于是由三角函数基本性质推得 斗< 室亨，即1vt<2. 12分O O O所以，在摩天轮转动的一圈内，点P距离地面超过85 m的时间有1分钟.14分16.证明：(1)因为PDL面ABCD, 所以PDXAB.2 分在平面 ABCD中，D作DM/AB,则由AB=12得 DM =12.1又 BC=10, AD = -BC,贝U AD=5,从而 CM=5.于是在CDM 中，CD=13, DM =12, CM= 5,则由52 122 13?及勾股定理逆定理得 D

13、MLBC.X DM/AB, BC/AD ,所以 AD± AB.又 PDAAD=D,所以 AB上面 PAD.(2)证法一取AB的中点N,连结EN、FN.1因为点E是棱,PB的中点，所以在zABP中，EN/-FA.又PA 面FAD,所以EN面FAD.因为点F分别是边CD的中点，所以在梯形 ABCD中， 又AD面PAD,所以FN/W%D.又 ENAFN=N, PAADA = A,所以面 EFN面 ¥D.又 EF 面 EFN,则 EF面 PAD.证法二延长CD, BA交于点G.连接PG, EG, EG与PA交于点Q.1由题设 AD II BC,且 AD = - BC,所以 CD =

14、 DG , BA= AG,即点A为BG的中点.又因为点E为棱PB的中点，所以EA为4BPG的中 位线，即 EA/PG,且 EA:PG=1:2,故有 EA:PG = EQ:QG= 1:2. 1 吩又F是边CD的中点，并由 CD = DG ,则有FD:DG = 1:2.在 4GFE 中，由于 EQ:QG=1:2, FD:DG = 1:2,所以 EF / DQ. 又EF 面PAD,而DQ 面FAD ,所以EF /面用口 .17.解：(1)由题设知 乂=5时丫= 11,则 11=居 + 10(5 6)2,解得 a=2. 5 33分2(2)由(1)知该商品每日的销售量y=-+ 10(x-6)2,所以商场

15、每日销售该商品所获x 3得的利润为f(x)=(x3) 2+10(x6)2 = 2+10(x 3) (x 6)2, 3vxv 6. 6 分X 3对函数 f(x)求导，得 f'x)= 10(x6)2+2(x 3)(x-6) =30(x-4)(x-6).令 f 'x)=0 及 3vxv6,解得 x=4.10分当3vx<4时，f'x0>0,当4vxv 6时，f 'x)V0,于是有函，数f(x)在(3, 4)上递增，在(4,6)上递减，所以当x=4时函数f(x)取得最大值f(4)=42.答：当销售价格x=4时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.

16、149"x218.解：(1)由题设+y = 1 可知，点 A(0, 1), B(0, - 1).令P(xo, yo),则由题设可知xow 0.所以，直线AP的斜率k1=PB的斜率为-*.2分又点P在椭圆上，所以x°- y02 1 (xow。，从而有42yo 1 yo+ 1 yo 11k1k2= xo . xo = xo2 =4.(2)由题设可以得到直线 AP的方程为y1=k1(x o),直线 y-(-1) = k2(x-o).4分PB的方程为I ； 21 k2 .2所以，直线AP与直线l的交点N( , 2),直线PB与直线 k1,、1l的交点M ( , 2).k27分311

17、于是MN | | ,又k1 k2= 一 ，所以k1k24333.MN | 一 4kli 41k11A21 41kl |=4M, k1|k1|k1 |等号成立的条件是 41kli，解得k1.|k1|2故线段MN长的最小值是4g.1防则QM Gn = 0,故有(x)(x ) (y 2)(y 2) 0.又kik2K k21-,所以以4MN为直径的圆的方程为(y2)2123(k14 k1)x0.x令2x(y2)2122 2.3所以，以MN为直径的圆恒,过定点(0,2 2/3)(或点(0, 22<3).(3 )设点 Q(x,y)是以MN为直径的圆上的任意一点，注：写出一点的坐标即可得分19. (1

18、)解:已知数列an ， aln充分性：若,则有a,'nan 1an2 an 1anc2an 1an 2 an 1 an 1an ,所以an为等差数列.必要性：若an为非常数等差数列，可令 an kn b (kw 0).代入an 2an 1 ank(n 1) b (kn b)，得 k(n 2) b 化简得2k k ,即 20 .因此，数列an为等差数列的充要条件是好2 3= 0.8分1(2)由已知信 an 2 an 1 一an1 an . 1吩5一 E、，3 又因为a2 a1 - 0 ,可知数列an 1an (n N*)为等比数列，所以21 n 131 n 1an 1 an (a2 &a

19、mp;)(一)(一)(nC N*).52531 n 131 n 2从而有 n*时， an 1 an 一(一)，aa01 一(一).2525于是由上述两式，得 | an 1 an 1 | 6 (1)n 2 ( n 2 ) . 1纷55由指数函数的单调性可知，对于任意n" | an+1-an 1|=6-)n 2 f (-)2 2=6.5 55 55所以，数列| an1 an 1 |( n N*, n 2)中项均小于等于£而对于任意的e时，n+X + 2>6,所以数列n+次nCN*)中项均大于6因此，数列|ani an 1 |( n N*, n 2)与数列n+g( n C

20、N* )中没有相同数值的项.1盼20.证明：(1)因 f (x)=ax(a>0且 aw 1)所以 ax 为x+2,即 f (x) f (x+ 2).2 分由题设以及算术平均与几何平均不等式，得f (x)+f (x+ 2) = ax+ ax+2>2.axax+2 = 2 ax+1 = 2 f (x+1), 这与 f (x) + f (x+2)<f (x+1)矛盾.故不存在函数f (x)=ax(a> 0且aw端足性质P.4 分(2) (i)由题设对任意 x N,f (x)+f (x+2)<f (x+1),所以f(x+ 2)-f(x+1)款x+1)f(x).于是对任意x

21、CN, d(x+1)9(x).6 分下面用反证法证明：对任意 xCN, d(x) >0.假设存在某个非负整数k使d(k)0,则由题设对任意 xCN, f(x)C N,得d(x)CZ,于1有 d(k)w 1.8 分由任意 xCN, d(x+1)汨(x),所以一1R(k)设k+1) sd(k+ 2) >-d(k+n) >,这里 n 是自 然数.于是有d(k+n)+d(k+(n1) + d(k+(n 2)+ + d(k) <K+ 1) d(k) <K+1) >(-1).而 d(k+n)+d(k+(n 1)+d(k+(n 2) + +d(k) = f (k+ n+

22、1)-f (k),所以 f (k+n +1) f(k)w (n + 1).取 n=f (k),得 f (k+f (k)+1)f (k)-1 + f (k) = 1,这与 f (k+f (k)+1) N 矛盾.因此，必有对任意 xC N , d(x) >0.r 12分(五)由(1)可知 d(1)弟2)弟3) >- d(n) >> 0.当 d(1) = 0 时，则有 d(1) = d(2)=d(3)= - =d(n)=0,结论成立.当 d(1) w(M,对任意 nC N,有 d(n) C N,且 d(n) 6 0, d(1).因为在区间0, d(1)上的自然数只有有限个，而

23、落在此区间上的自然数d(n)有无数多个，所以，必存在自然数 cC 0, d(1)和无穷多个正整数n,满足d (n)=c. 16分【附加题答案】21.A.解：因为AB是圆。的直径，所以/ APB = 90°,从而/ BPC=90°.2 分在4BPC中，因为E是边BC的中点，所以 BE = EC,从而 BE=EP,因此/ 1 = 7 3.5 分又因为B、P为圆。上的点，所以 OB=OP,从而/ 2 =/4.7 分因为BC切圆。于点B,所以/ ABC =90°,即/ 1 + 7 2=90° ,从而/ 3+/4=90°,于是/ OPE = 90

24、6;.9 分所以 OPLPE. 10>B.1解：由题设得MN0C.D.设所求曲线F上任意一点的坐标为xMNyx,y),解得sin x上任意一点的坐标为（x, y ）,2x 1 - y 2所以,2x1代入2ysin x2 sin 2x.曲线F的方程为y 2sin2x.解：直线m的普通方程为x y曲线C的普通方程为y2 8x由题设直线m与曲线C交于A、联立方程于是AB故AB10分6.B两点,可令 AN yj , B(x2, y2).2y 8x ,解得y2x y 62x1x2 )16,2 .证明：由题设x>0,一一1因为 2x+-2 x2-2xy+ y28( y 6),则有 y1y 8,

25、 y y?48.-2221 )(y1 v£2(y, y2)y>0, x>y,可得 x y>0.c 、1，、，、2y=2(x-y) + -2= (x y) + (x- y) +(x-y)又(x y)+(x y) +1、24 3：，(x y)2(x y) . (x1一所以,2x+xxyT7-2y* 即 2x+22.解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则4YiY216.2.10(x-y)2 .1，一，,一二3 ,等号成立条件是x- y=1 .y）2 Q, 2 A R + 3 .x - 2xy+ y2'A(0,0,0), E(2,0,2), A1(0,0,6) ,F (0,2,4),从而uiruurAE (2,0,2),AF(0,2, 2).分记AE与AF的夹角为则有cos4,8 8ur uurAE A1Fuur Ur|AE|AF|又由异面直线 AE与A1F所成角的范围为(0,)