北京林业大学复变函数与积分变换结课论文

1、复变函数与积分变换结课论文题目：拉普拉斯变换及其在解微分方程（组）中的应用指导老师：学号：姓名：班级：学院：复变函数与积分变换论文拉普拉斯变换及其在解微分方程（组）中的应用摘要拉普拉斯变换是一种用来解线性微分方程的较简单的工具。它在电学、力学、控制论等很多工程技术与科学领域有着广泛的应用，由于它对像原函数f(t)要求的条件比傅氏变换要弱， 故研究拉氏变换有极重要的意义。本文将简单介绍拉普拉斯变换的定义以及其性质，并对其在解微分方程（组）中的应用做了简单的归纳总结。关键词 ： 拉普拉斯变换，性质，微分方程一、拉普拉斯变换的概念及其性质1.1 问题的提出我们知道，一个函数当它除了满足狄氏条件外，还

2、在（，+）内满足绝对可积的条件时，就一定存在古典意义下的傅里叶变换。但绝对可积的条件是比较强的，许多函数（如单位阶跃函数、正弦、余弦函数等）都不满足这个条件；其次，可以进行傅里叶变换的函数必须在整个是数轴上有定义，但在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 作为自变量的函数往往在 t0）乘 （ t）就有可能使其变得绝对可积，因此只要 选的恰当，一般来说，任意函数（ t）的傅氏变换是存在的，这样就产生了拉普拉斯变换。1.2 拉普拉斯变换的定义当函数f (t) 满足条件：（ 1）当 t0 有l f ( at )1 f(as ),a3、微分性质导数的像函数设 l f (t )f( s ),则有l

3、 f (t )sf( s)f ( 0),一般地，有l f( n) (t)sn f ( s)sn 1 f(0)sn 2 f(0)f (n1)(0).其中， f( k )( 0) 应理解为limf ( k )(t ) .t0特殊地，有l f (t )s 2 f( s)sf ( 0)f ( 0).像函数的导数设 l f (t )f( s ),则有f ( s )- ltf(t ),一般地，有(f（ n ) s)(n)( -1)ltnf (t).54、积分性质积分的像函数设 l f (t )f( s ),则有tlf (t )01 f( s ),s一般地，有ttldtdt00n次tf (t0)dt 1f(

4、 s ).s n像函数的积分设 l f (t )f( s ),则有f( s )ds dsdsl f (ttf( s )ds),sl f (t).一般地，有ssst nn次5、延迟性质设 l f (t )f( s ),当 t0 时f(t )0,则对任一非负实数有l f (t-)e s f( s ).6、位移性质设 l f (t )f( s ),则有l eat f (t )f( sa)(a 为一复常数 ).7、周期函数的像函数 6设f (t ) 是 0,) 内以 t 为周期的函数，且f (t) 在一个周期内逐段光滑，则l f (t )11e sttf (t )e0st dt .8、卷积与卷积定理

5、7卷积我们已知两个函数的卷积是指f 1 (t)f 2 ( t)f 1( )f 2 (t)d .如果 f 1(t)与f 2(t)满足当t0时， f 1(t )f 2(t )0，则有1f ()f-2(t)df ()f102(t)dt1f ()f02(t)d .即，f 1(t ) *f 2(t )tf 1(0)f 2(t)d ,（t0）.卷积定理设 l f 1(t )f1( s ),l f 2(t )f2( s ), 则有l f 1(t ) *f 2(t )f1( s ) *f2( s ).二、利用拉普拉斯变换求解微分方程（组）利用拉普拉斯变换求解微分方程大致分为三个步骤：（1） 对关于 y 的微分

6、方程（连同初始条件在一起）进行拉氏变换，得到一个关于像函数y(s) 上午代数方程，称为代数方程；（2） 解像函数方程，得像函数y(s) ；（3） 对像函数 y(s) 作拉普拉斯逆变换，得微分方程的解。2.1 解常系数线性微分方程 8（1） 初值问题例：求解初值问题y4 y3yet , y(0)y (0)1. 。解：设y(s)l y(t), 对方程两边同时取拉普拉斯变换，有 s2y (s)sy(0 )y ( 0)4 sy( s)y(0)3y ( s)1,s1结合初始条件，有 s2y (s)s14sy (s)13y (s)1,s1整理展开成部分分式，有y(s)s2(s1)6s62 (s3)714s

7、112(s11) 231,4s3由拉普拉斯变换函数表11l se t , 可知11l s1e t ,11ls3e 3t .由拉普拉斯变换函数表1n!l sn 1 t n ,并结合位移定理l et f (t)f (s),1可 知 l (s11) 2te t ,对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为y(t )l 1 y(s)7 e t41 te t23 e 3t41 ( 742t )e t3e 3t .（2） 边值问题例：求解边值问题y y0 ,y ( 0 )0 , y ( 2)1 .解：设y(s)l y(t), 对方程两边同时取拉普拉斯变换，有 s2y(s)sy(0)y (0)y(s)0,结合

8、初始条件，有 s2y(s)y (0)y(s)0,整理展开成部分分式，有y(s)y (0)2y (0) 1 (11),s12 s1s111t11t11t由拉普拉斯变换函数表l se, 可知 l s1e , le.s1对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为y(t )l 1 y(s)1 y (0)( et2e t )y (0) sinh t.为了确定y (0) ，将条件y( 2 )1代入上式可得y (0)1,sinh 2所以，方程的解为sinh ty(t ).sinh 22.2 解常系数线性微分方程组例：求解常微分方程组x xy 3xyet2y,2etx( 0),y( 0)1.解：设y(s)l y

9、(t), 对方程组的两个方程两边分别取拉普拉斯变换，有sx( s)sy( s)x(0)y(0)x (s)3x ( s)y( s)1,s12y (s)2.s1结合初始条件，整理可得(s1) x ( s)y(s)s, s13x (s)( s2)y( s)s1.s1解该方程组，可得x ( s)1,s1取其逆变换，可得原方程组的解x(t)y(t )et ,et .2.3 解某些变系数微分方程 9例：求解变系数微分方程ty 2 y ty0 , y ( 0 )1, y ( 0 )c 0 ,( c 0 为常数）.解：设y(s)l y(t), 对方程两边同时取拉普拉斯变换，有lty 2l y l ty 0,即

10、 l ty l y 4lty0,亦即d ds s2y (s)sy(0)y (0)2 sy(s)y(0)d y( s)0,ds两边积分可得2 sy( s)s2 d dsy(s)y(0)2 sy(s)y(0)d y( s)0,ds结合初始条件，有2 sy( s)s2 d dsy(s)12 sy( s)1d y(s)0,ds整理可得d y (s) ds1,s21两边积分可得y(s)arctan sc,欲求待定系数c,可利用lim y( s)s0 ，所以从c，即2y (s)arctan s2arctan 1 ，s1a111由拉普拉斯变换函数表l arctanssin at , 可知 ltarctan

11、ssin t.t对方程两边同时求反演，可得方程的解为y(t )l 1 y(s)1 sin t.t2.4 解某些微分积分方程10例：解方程y(t )sin t-2y(0t) cos( t)d .解：将方程两边取拉氏变换，并根据卷积定理得像函数方程为y( s )1ss 212y( s )s 21（12ss 2)y( s ) 11s 21解像函数，可得y( s )1( s1)2取拉氏逆变换，可知y(t )tet.三、总结：由于阅读文献和研究能力有限，这里只简单总结出了常微分方程（组）的一般解题规律。但实际问题中往往会遇到更加复杂的问题，如偏微分方程、二阶微分方程、非线性微分方程 等，而此时我们需要结

12、合上述总结的方法充分利用拉氏变换的优越性来解题。通过对拉普拉斯变换概念的理解和性质的掌握，使我们能更好的的运用拉普拉斯变换来解决实际问题。通过列举拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用，可以看出拉普拉斯变换是一种特别成功的数学方法，较之于一般的解微分方程的方法，它更加的方便，有适应面广、计算量小、准确度高、简单易行的特点。而且它的步骤比较明确、规律性比较强、思路清晰且容易掌握。合理使用拉普拉斯变换，可以巧妙地推出一些复杂问题的答案。参考文献1 :张元林 . 工程数学 . 积分变换 m. 北京：高等教育出版社，2003.12.2 :李红，谢松法 . 复变函数与积分变换 m. 北京：高等教育出版社， 2008.6. 3:王国英 . 工程数学（二） . 北京：清华大学出版社， 2009.9.4:张忠诚 . 拉普拉斯变换的应用研究j .周口师范学院学报 ,2006(02):40-42. 5:王振芳 . 拉普拉斯变换及其应用 j.雁北师范学院学报 ,2001(06):48-49.6:勾丽杰 .laplace变换在求解微分方程中的应用j .辽宁师专学