沪教版九年级数学第二学期中考复习：等腰、直角三角形的存在性问题讲义设计(无答案)

1、直角，等腰的存在性问题一.直角三角形1 .直角三角形基本定理2 .存在性问题的基本两法(两点之间距离公式；两线一圆)3 .简化图形，几何标图类型一：在平面直角坐标系内的直角三角形21、在直角坐标平面内， 。为原点，二次函数y x bx c的图像经过A (-1, 0)和点B (0, 3),顶点为P。(1)求二次函数的解析式及点 P的坐标；(2)如果点Q是x轴上一点，以点 A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形，求点Q的坐标。y6 -5 .4 .3，B2 A.- ' ' 1 ' 1 * 1 1 1-4 -3 -2-1 01 2 3 45 67 x- 1 “- 2，- 41(x

2、>0)图像于点 x请说明理由12、已知点P是函数y x (x>0)图像上一点，PAXx轴于点A,交函数y 21 ,M, PB,y轴于点B,交函数y (x>0)图像于点 N.(点M、N不重合)x(1)当点P的横坐标为2时，求4PMN的面积；(2)证明：MNI AB;(如图 7)(3)试问：4OMN能否为直角三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能,(图7)(备用图)m与y轴交点为2，. 33、如图所示，抛物线 y x <3m (m>0)的顶点为A,直线l： y x3B.(1)写出抛物线的对称轴及顶点A的坐标(用含 m的代数式表示)；(2)证明点A在直线l上，并求/

3、 OAB的度数；(3)动点Q在抛物线对称轴上，问抛物线上是否存在点P,使以点P、Q、A为顶点的三角形与力OAB全等？若存在，求出 m的值，并写出所有符合上述条件的P点坐标；若不存在，请说明理由类型二：三角形和四边形中的直角三角形存在性问题4、已知 ABC 中， B 90 , BC 3 , AB 4 , D 是边 AB 上一点，DE/ BC交 AC于点 E,将 ADE 沿DE翻折得到A'DE ,若AEC是直角三角形，则 AD长为 .4 _ , 一 _ _5、如图，在梯形 ABC由，AD=BC1=), tanD=- , E是腰 AD上一点，且 AE： ED= : 3.3(1)当AB： CD

4、= : 3时，求梯形 ABCD勺面积;(2)当/ABE=/BCE寸，求线段 BE的长；(3)当 BCE直角三角形时，求边 AB的长.6、 ABC和 DEF的顶点 A 与 D 重合，已知/ B=90 % / BAO30 BC=6, / FDE=90 , DF=DE=4(1)如图，EF与边AC AB分别交于点G、H,且FG=EH设DF a ,在射线DF上取一点P,记:DPxa ,联结CP设4DPC的面积为V,求y关于X的函数解析式，并写出定义域;(2)在(1)的条件下，求当x为何值时 PC / AB；(3)如图,先将 DEF绕点D逆时针旋转，使点 E恰好落在AC边上，在保持 DE边与AC边完全重合

5、的条件下，使 DEF沿着AC方向移动.当 DEF移动到什么位置时，以线段 的长度为边长的三角形是直角三角形AD、FG BC7、在4ABC中，AB=AC=10, cosB=-(如图11), D、E为线段BC上的两个动点，且 DE=3 (E在 5D右边)，运动初始时 D和B重合，运动至E和C重合时运动终止.过E作EF/ AC交AB于F,联结DF(1)若设BD=x, EF=y,求y关于x的函数，并求其定义域；(2)如果4BDF为直角三角形，求 4BDF的面积；8、在 ABC中，/ BAC=90° , ABvAC, M是BC边的中点，MNBC交AC于点N.动点P从点B出发，沿射线BA以每秒t

6、3个长度单位运动，联结 MP ,同时Q从点N出发，沿射线 NC以一定的速度运动，且始终保持 MQXMP,设运动时间为x秒(x>0).(1)求证： BMPANMQ;(2)若/ B=60° , AB=4,设 APQ的面积为y,求y与x的函数关系式;(3)判断BP、PQ、CQ之间的数量关系，并说明理由 .图9、已知 ABC为等边三角形，AB=6, P是AB上的一个动点(与A、B不重合)，过点P作AB的垂线与BC相交于点D,以点D为正方形的一个顶点，在 ABC内作正方形 DEFG其中D、E在BC上，F在AC上，(1)设BP的长为x,正方形DEFG的边长为V,写出y关于x的函数解析式及定

7、义域；(2)当BP=2时，求CF的长；(3) AGDP是否可能成为直角三角形？若能，求出 BP的长；若不能，请说明理由.10、如图，直角梯形 ABCD中，AB/DC, / DAB=90° , AD=2DC=4, AB=6.动点 M 以每秒 1 个 单位长的速度，从点 A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点 C沿折线C-D-A向点 A运动.当点 M到达点B时，两点同时停止运动.过点 M作直线1/AD,与折线A-GB的交点为 Q.点M运动的时间为t (秒).(1)当t 0.5时，求线段QM的长；(2)点M在线段AB上运动时，是否可以使得以 C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形

8、，若可以， 请直接写出t的值(不需解题步骤)；若不可以，请说明理由.(3)若4PCQ的面积为y,请求y关于出t的函数关系式及自变量的取值范围；二.等腰三角形1 .等腰三角形基础知识2 .三线合一3 .存在性问题的基本两法（两点之间距离公式；两圆一线）4 .与锐角三角比不得不说的故事5 .简化图形，几何标图类型一.填空压轴11、在RABC中，Z ACB=90° , AB=2BC,在直线BC或AC上取一点 P,使彳PAB为等腰三角形, 则符合条件的点 P共有 个.12、在 ABC中，AB=AC,把 ABC折叠，使点B与点A重合，折痕交 AB于点M,交BC于点N.如 果 CAN是等腰三角形

9、，则/ B的度数为 .13、如果在 4ABC中，AB=AC= 3, BC=2,那么顶角的正弦值为 类型二：平面直角坐标系中的等腰三角形14、在直角坐标系中，把点 A (1, a) (a为常数)向右平移4个单位彳#到点 A ,经过点A、 A的抛物线y ax2 bx c与y轴的交点的纵坐标为2.(1)求这条抛物线的解析式;(2)设该抛物线的顶点为点P,点B的坐标为(1,m),且m 3,若ABP是等腰三角形，求点 B的坐标。15、如图，已知抛物线 yx2 2x 1 m与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点 C,其中点D,联结CD,抛物线的又称轴与 x轴相交于点E.C的坐标是(0, 3),顶点为点(1

10、)求m的值；(2)求/ CDE的度数；(3)在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P,使得 PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点 P的坐标；如果不存 在，请说明理由.类型三：以三角形为背景的等腰三角形存在性问题16、在 RH ABC 中，/ A 90°, AB 6, AC 8,点 D 为边 BC 的中点，ED，BC 交边 AC于点E,点P为射线AB上一动点，点 Q为边AC上一动点，且/ PDQ 900 .(1)求ED、EC的长；(2)若BP 2,求CQ的长；(3)记线段PQ与线段DE的交点为点F ,若 PDF为等腰三角形，求 BP的长.17、如图 11,在 ABC中，Z A

11、CB=90 , AC=BC=2, M 是边 AC 的中点，CHI± BM 于 H.(1)试求sin/ MCH的值；(2)求证：/ ABM=/CAH;(3)若D是边AB上的点，且使 AHD为等腰三角形，请直接写出AD的长为（图 11）(1)(2 )(3 )(图 13 )类型四：以四边形为背景的等腰三角形存在性问题18、已知：DABCW,对角线 ACL AB AB=15, AC=20,点P为射线BC上一动点，APL PM（点M与 点B分别在直线 AP的两侧），且/ PAM/CAD连结MD当点M在DABC呐时，如图13,设BF=x, AP=y,求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；请

12、在图14中画出符合题意的示意图， 并探究：图中是否存在与 AMDf似的三角形，若存在, 请写出并证明；若不存在，请说明理由；当 AM西等腰三角形时，求 BP的长。19、如图9,矩形ABCD中，AB 反点、E是BC边上的一个动点，联结 AE,过点D作DF AE , 垂足为点F.(1)设BE x, ADF的余切值为y,求y关于x的函数解析式；(2)若存在点E,使得 ABE、ADF与四边形CDFE的面积比是3: 4: 5,试求矢I形ABCD的面积；(3)对(2)中求出的矩形 ABCD,联结CF,当BE的长为多少时，CDF是等腰三角形?4AM20、已知：如图，直角梯形 ABCD中，AD/BC, B 9

13、0 , AB 8 , AD 12, tanC -,3/DC, E、F分别是线段 AD、AM上的动点(点 E与A、D不重合)且 FEM AMB ,设DE x , MF y.(1)求证：AM DM ;(2)求y与x的函数关系式并写出定义域；(3)若点E在边AD上移动时，EFM为等腰三角形，求x的值；(4)若以BM为半径的。M和以ED为半径的。E相切，求 EMD的面积.21、如图 10,在直角梯形 ABCD中，ADBC, C 90 ,BC 12, AD 18, AB 10.动点P、Q分别从点D、B同时出发，动点 P沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q在线段BC上以每秒1个单位长的速度向

14、点 C运动，当点Q运动到点C时，点P随之停止运 动.设运动的时间为t (秒).(1)当点P在线段DA上运动时，联结 BD,若 ABP= ADB,求t的值；(2)当点P在线段DA上运动时，若以 BQ为直径的圆与以 AP为直径的圆外切，求t的值；(3)设射线PQ与射线AB相交于点E , AEP能否为等腰三角形？如果能，请直接写出t的值；如果不能，请说明理由.必写过程)；如果不能，请简要说明理由.请直接写出弧BC的长度(不类型五：以圆为背景的等腰三角形存在性问题22、已知：O O的直径AB=8, O B与。相交于点C、D, O O的直径CF与。B相交于点E,设O B的半径为x, OE的长为y ,(1

15、)如图7,当点E在线段OC上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域;(2)当点E在直径CF上时，如果 OE的长为3,求公共弦CD的长;(3)设。B与AB相交于G,试问 OEG能否为等腰三角形？如果能够,23、在梯形 ABCD中，AD/BC, AB± AD, AB=4, AD=5, CD=5. E 为底边 BC上一点，以点 E为圆心,BE为半径画O E交直线DE于点F(1) 如图，当点F在线段DE上时，设BE x , DF y ,试建立y关于x的函数关系式， 并写出自变量x的取值范围；(2) 当以CD直径的。 。与。 E与相切时，求X的值；(3) 联接AF、BF,当4ABF是以AF为

16、腰的等腰三角形时，求 X的值。24、如图，已知 AB是。的直径，AB=8, 点C在半径OA上(点C与点O、A不重合)，过点C作AB的垂线交。O于点D,联结OD,过点B作OD的平行线交。于点E、交射线CD于点F(1)若ED = BE ,求/ F的度数；(2)设CO x, EF y,写出y与x之间的函数解析式，并写出定义域；(3)设点C关于直线OD的对称点为P,若 PBE为等腰三角形，求 OC的长.三.等腰直角三角形25、在平面直角坐标系中， ABC的顶点分别是A( 1,0) , B(3,0) , C(0,2),已知动直线y m(0 m 2)与线段AC BC分别交于D、E两点，而在x轴上存在点P,使得zDEP为等腰 直角三角形，那么 m的值等于 .126、已知：如图，点 A 2, 0),点B在y轴正半轴上，且 OB -OA.将点B绕点A顺时针万向旋 25 2.转90至点C.旋转前后的点 B和点C都在抛物线y -x bx c上6(1)求点B、C的坐标；I1 i I(2)求该抛物线的表达式；4“(3)联结AC,该抛物线上是否存在异于点B的点D,使y点D与AC构成