二次根式基础专题

1、二次根式知识梳理二次根式：形如的式子叫二次根式， 其中叫被开方数，只有当 是- -个非负数时，“才有意义.二次根式的性质1.非负性：.a(a _0)是一个非负数.2. （ a）2 = a（a 丄0）.3. 心相严-°）L（a<0）4. 公式-.a2 =|a|与（、a）2 =a（a亠0）的区别与联系L（a c0）(1) . a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数.(2) (,a)2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数.(3) .a2和(. a)2的运算结果都是非负的.最简二次根式：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式.同类二次根式(

2、可合并根式)：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可 以合并的两个根式。分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互 为有理化因式。有理化因式确定方法如下： 单项二次根式：利用 、a、a = a来确定，如：a与.a，-、a b与.a b , . a - b与a - b 等分别互为有理化因式。 两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a 与a - . b , 、a 与' a - b ,a-、xy与ax -by分别互为有理化因式。例.写出一个无理数，使

3、它与 3返的积为有理数 ；分母有理化的方法与步骤:先将分子、分母化成最简二次根式；将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后结果必须化成最简二次根式或有理式。二次根式的乘除1. 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。Jab = fa y/b （a0, b0）2 二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。yfa 逅=Tab （ a>0，b>0）3 商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根存孚（a > 0, b>0）4 二次根式的除法法则：两个数的算术平方

4、根的商，等于这两个数的商的算术平方根。二次根式的加减需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。二次根式的混合计算与求值1、确定运算顺序；2、灵活运用运算定律；3、正确使用乘法公式；4、大多数分母有理化要及时；5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；根式比较大小1、根式变形法 当a 0,b0时，如果a b，则、.a 、. b ；如果a b，则a ：. b。2、 平方法当a 0,b 0时，如果a2 b2，则a b ；如果a2 : b2，则a ： b。3、 分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、 分子有理化法通过分子有理

5、化，利用分母的大小来比较。5、倒数法6、 媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。7、 作差比较法 在对两数比较大小时，经常运用如下性质：a -b 0= a b二a - b ： 0= a ： ba-：1 ：= a : b&求商比较法它运用如下性质：当 a>0, b>0时，则：b例1 .比较大小：-3 一 2.例1 .比较大小：-3迈 -2逅；例2 .已知a、b为两个连续整数，且 a v ,7 v b，贝U a+b=二次根式的概念形如 2（丄I ）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因

6、为负数没有平方根，所以二】是厂一；为二次根式的前提条件，如J J， !"-'，宀1：等是二次根式，而-等都不是二次根式。例1.下列各式一定不是二次根式的是（）A .、a.下列根式中不是最简二次根式的是（）A. . 10B .,8C., 6D.2 .如果最简二次根式 辰二与/7右是同类二次根式，那么a的值是 ; 取值范围 B 、.5 C 、4x2 - 4x 1 D 、-a2-6例2.下列与2是同类二次根式的是（）A.3B.12C. 8D.2 -11 .判断下列各式哪些是二次根式（）.一16 ； （2） 、一x2 -4x 4; （3）. 3x（x _ 0）;1. 二次根式有意义的

7、条件：由二次根式的意义可知，当要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 一 4x2 .写出下列各等式成立的条件(1) , 4x2 = -2x(2) . (x -2)2 =2 -x(3) 3x2 -9 = x 3 x -3x -2、x - 3（5）、xm例2.下列式子是最简二次根式的是（A、B、-2 m2 n2C、. 0.3xD、a仝0时，二；有意义，是二次根式，所以2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a < 0 时,没有意义。例.若；（x_2）2 =（. x_2）2，则x的取值范围是 1当x 时，.3x5有意义。22 当 xV2 时，.（x - 2）=a23

8、 若1，则a应是（）aA、负数 B 、正数 C 、非零实数D、有理数4 .二次根式,a -1中，字母a的取值范围是（）A、av 1B 、a< 1C 、a> 1D 、a> 1Jx _25 若使代数式有意义，则x的取值范围是（）3A、xm 2B 、x > 2 C 、x> 2D 、x< 46 若化简丨1-x | - . x2 -8x 16的结果为2x-5，则x的取值范围是（）A、x为任意实数 B1< x< 4 C 、x>1 D、x< 47x为何值时，下列各式在实数范围内有意义、x(2)4|x| (4) ,2x 61 v'-2x8 .

9、二次根式.1-a中，字母a的取值范围是A a v 1B a< 1C. a> 1D. a > 19 .已知12-n是正整数，则实数 n的最大值为A 12B 11C 8D 310 .使式子Q -x无意义的x取值的是 ;二次根式E （.）的非负性（一；二I）表示a的算术平方根，也就是说，w （匸I ）是一个非负数，即仁上0 （一；_丨）。注：因为二次根式=（匚二I ）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（左20 ）的算术平方根是非负数，即>0 （让Q ）,这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。例.若'&#

10、39;<11，则 a=,b=1若':_ ，贝H a=,b=2 .若、i3X = T成立，则x满足 ；V 3-x 寸3_x3 .已知x、y是实数，且满足 y=X6 + 二+1（1 ）求x和y的值；（2 ）求x+2y的值。二次根式（卫）一的性质文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式飞&=（广；门）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若二11，则-；一 .&.例.如-,则3二1 .已知一个正数的平方根是2x-6和x+3，则这个数是2.把二次根式中根号外的因数移到根号内，结果是二次根式的性质文字语言叙述为：

11、一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注:1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身,-"；若a是负数，则等于a的相反数-a,即例.中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值,一定有意义;2.化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。3 如果.x2 - 2xy y2| x - 3戶0，求y-2x的算术平方根。4 已知.x2 10x 25 _ . 4 _ 4x x2 = 7 ,求 x 的取值范围。5 .若.(3-b)2 =3-b,则( )A b > 3B b v 3C b> 3D b< 3小丁与二的异同点1、不

12、同点:表示的意义是不同的,v-: |A表示一个正数a的算术平方根的平方,表示一个实数a的平方的算术平方根； 在中而丄:中a可以是正实数，0，负实数。但! -'都是非负数，即（奸2 0,佃20。因而它的运算的结果是有差别的,而a(aO)-a (YO)2、相同点：当被开方数都是非负数,即一.：_ .时，小：='1 ; “ - .11 时，山弋例.若av 0，则 a2b化简为（）A、a . b1当 a 时，, a2 二（、a）2二次根式的乘除法基础知识1. 计算：近咒忑=;（36 X9 =2. 10xy 30xy(x 0, y 0) =3 .计算：3 届 2j10b=4. 使等式.x

13、 1 x -1二山 h 成立的条件是 5. 当 a$0, bY0 时，侮二。6. 若：x3+3x2 = x叮x+3，贝U x的取值范围是 。7 化简二次根式、(一5)3得 ()A. - 5、3 B 5 3 C - 5 3 D 308若 A 二' a2 4 4，U '、A 二()2 2A. a 4 B. a 2 C.9 下列名式中计算正确的是（a22 2 D. a24 2)A. . (/)(_16)=-4,_16= _2_4=8 B., 8a2= 4a a 0二 9 1=9C. . 3242 =3 4 =7 d. 、-412 _402 = 41 40 .,41 _4010.若a叮

14、，则 1 a ' 化简后为（A. a -1、, a -1B. 1 -a 1 -aC.a -1 .D.1 -a、a -111.计算:(1)(2) 3 52,10（3）、32 八2-4.15(- 1 i 5)(4)212.化简:（1） 12(2)72 52( 3)2000( 4)、532 - 282能力提升J 1的根号外的因式移至y根号内等于 14 当 a=(3 时，则(佃 + a $ =15. 把 a16. 已知-x3 3x2 =- x 3，则()(A) xw 0( B) x w 3(C) x >- 3( D17. -2、3和-3.2的大小关系是()A. -2、3>-3 迈

15、B. -2.3Y-3.2 C.-2,3=-3、, 2 D.18. 计算：(1) 2a 8a (a>0)(2)10x 10xy-3w xw 0不能确定(x>0, y>0)2j6xy 丄 v32xy2(3)4(x>0, y>0)19.化简：(1) . 4b ( a> 0, b> 0)324224(2) 1 x xy (x>0, y>0)(3)a b a b(ab>0)能力拓展与探究20. （2006安徽省）计算2 - .、9的结果是（）A. 1 B.-1 C-7 D. 521. （2007芜湖市）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形

16、都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm正方形A的边长为6cm B的边长为5cm、C的边长为5cm,则正方形D的边长为（ ）A. . 14 cm B.4cm C.15 cm D.3cm基础知识11.把下列各式化成最简二次根式：二次根式的加减(1) .8=25a =.80 3.48 =(5) 6:=(6) <1.82.判断正误：对的画“、/”，错的画“X” .(1) .2+、3=、5 ；() '、8- . 3= 5 ;() 2+ 2=2 2 ;() 3 2- ,2=3 ;()(5) 2 2+、2=2 2 ；()(6) 43- 3=3.3.()3.计算:50+, 32,12+

17、6、2x-、8x基础知识21. 填空：二次根式，再将二次根式加减法的法则是：二次根式加减时，可以先将二次根式化成相同的二次根式进行合并2. 计算：(1) ,20-53. 计算：(1) 8020+5.18+98- . 27.、24+厉-；§X+6：2x；基础知识31. 计算：40-54+102. 计算:、:12-3 . 752.3.48+315、33. 计算：,3+2,3+32、2+1 3.2-2、x+ 、y 、x-2 , y基础知识41.计算：(1)2.12- ,6 2,35+、6 5.2-2 ,32. 填空：(1) 平方差公式：(a+b)(a-b)= (2) 完全平方公式：(a+b) 2=，(a-b) 2=.3. 计算：(1)4+.7 4- J.10