概率论与数理统计答案

1、习题答案第1章三、解答题1 .设P(AB) = 0,则下列说法哪些是正确的？(1) A和B不相容；(2) A和B相容；(3) AB是不可能事件；(4) AB不一定是不可能事件；(5) P(A) = 0 或 P(B) = 0(6) P(A B) = P(A)解：(4) (6)正确.2 .设 A, B是两事件，且 P(A) = 0.6, P(B) = 0.7,问：(1)在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？(2)在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？解：因为 P(AB) WP(A)+P(B)P(AUB),又因为 P(B) WP(AUB)即 P(B)P(AUb)W0.所以当P(B

2、) =P(AUB)时P(AB)取到最大值，最大值是 P(AB) = P(A)=0.6. P(AUb) =1 时 P(AB)取到最小值，最小值是 P(AB)=0.6+0.7-1=0.3.3 .已知事件 A, B满足 P(AB) = P(AB),记 P(A) = p,试求 P(B).解：因为 p(ab) = p(AB),即 P(AB) =P(A J B) =1 P(AU B) =1 _P(A) - P(B) + P(AB), 所以 P(B) =1 P(A) =1 p.4 .已知 P(A) = 0.7, P(A B) = 0.3,试求 P(AB).解：因为 P(A B) = 0.3,所以 P(A )

3、 P(AB) = 0.3, P(AB) = P(A ) 0.3,又因为 P(A) = 0.7,所以 P(AB) =0.7 0.3=0.4, P( AB) = 1 - P( AB) = 0.6.5 .从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少?解：显然总取法有 n =C：种，以下求至少有两只配成一双的取法法一：分两种情况考虑：k =c5 cj（c2）2+c52121.2其中：C5c4（C2）为恰有1双配对的方法数法二：分两种情况考虑：k =c5 -2!C1 C1其中：c5 6为恰有1双配对的方法数 2!法三：分两种情况考虑：k=C5d -c4） + C5121、其中

4、：C5（C8 C4）为恰有1双配对的方法数. 一 _ 1 _ 2_ 2法四：先满足有1双配对再除去重复部分：k =c5c； -c：法五：考虑对立事件：k =C140-C；（C2）4其中：c；（c2）4为没有一双配对的方法数法六：考虑对立事件：k=C40a1。c8 c6 c44!cl C1 c! c1其中：864为没有一双配对的方法数4!所求概率为p =k 13_ 4_C10213人记录其纪念章的号码.求:6 .在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取（1）求最小号码为5的概率;（2）求最大号码为5的概率.解：（1）法一:clC10。法二：P二萍12A3012法二：pC：C130

5、1 A 21 件一C3 A,法二：p = 120A3。207 .将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1, 2, 3的概率.解：设M1, M2, M3表示杯子中球的最大个数分别为1, 2, 3的事件，则P(Mi)A34338, P(M2)=C32A2432 P(M3)专8 .设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取 2个，求取出的2个中全是合格品,仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少?解：设M2, M1, M0分别事件表不取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则C2c1c1c2P(M2)T =0.3, P(M1)= 0.6,P(M1)=0.

6、1C5C5C59 . 口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率.解：设 M1= "取到两个球颜色相同"， M1= "取到两个球均为白球”，M2= "取到两个球均为黑球”，则 m =m Um 2且M1m2 = aC2 C213所以 P(M) = P(M1 M2) = P(M1) P(M2)= -5 2 = .C8 C8 2810 .若在区间(0, 1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率.解：这是一个几何概型问题.以 x和y表示任取两个数，在平面上建立 xOy直角坐标系，如图任取两个数的所有结果构成样本空间?= (

7、x, y) ： 0 ?x, y ?1事件 A = "两数之和小于 6/5" = (x, y) ?: x + y ?6/5因此P(A)=A的面积的面积1725图？11 .随机地向半圆0 m y < V2ax-x2 ( a为常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与x轴的夹角小于一的概率.4解：这是一个几何概型问题.以 x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标，,糖示原点和该点的连线与x轴的夹角，在平面上建立 xOy直角坐标系，如图随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间2(x, y)： 0<x<2a,0<y<

8、>/ 2ax - x2事件A = "原点和该点的连线与 X轴的夹角小于二”42八二=（x, y）： 0 :二 x ：2a,0 ： y :二.2ax-x ,0 : v ： 4因此A的面积P（A）=的面积1 二 a2412-a 212.已知 P(A) =111-,p(BA)=3,p(AB)=- 432111P(AB)11解：P(AB) = P(A)P(B A), P(B) (-4312P(A|B)12213 .设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少?解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件

9、也是不合格品的概率”应理解为求 已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。设A= "所取两件产品中至少有一件是不合格品"，B= "两件均为不合格品”； C22C22P(A)=1-P(A)=1P(B) = -=-C103C10 1514 .有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第 2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？解：设A= "从第1个箱子中取出的1个球是

10、白球"，B= "从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则C232由全概率公式得P(A) =-,P(A)二Cs 55由贝叶斯公式得15 .将两信息分别编码为 A和B传递出去，接收站收到时， A被误收作B的概率为0.02,而B被误收作A的概率为0.01,信息A与信息B传送的频繁程度为2: 1,若接收站收到的信息是 A,问原发信息是A的 概率是多少？解：设M= "原发信息是A"，N= "接收到的信息是 A”，已知所以由贝叶斯公式得 11116 .三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为，|可二人中至少有一人能将此5 3 4密码译出的概率是多

11、少？解：设Ai= "第i个人能破译密码”，i= 1,2,3.111-4-2-3已知 P(A) =>P(A2)=小P(A3)=:，所以 P(A) = ,P(A2)=,p(A3)=, 534534至少有一人能将此密码译出的概率为17 .设事件 A与B相互独立，已知 P(A) = 0.4, P(AUB) = 0.7,求 P(BA).解：由于A与B相互独立，所以 P(AB)=P(A)P(B),且P(AU B)=P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B) - P(A)P(B)将 P(A) = 0.4, P(AU B) = 0.7 代入上式解得 P(B) = 0.5 ,所

12、以或者，由于A与B相互独立，所以A与B相互独立，所以18 .甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？解：设A= "甲射击目标”，B= "乙射击目标"，M= "命中目标”，已知 P(A)=P(B)=1, P(M A)=0.6,P(M B)=0.5，所以由于甲乙两人是独立射击目标，所以19 .某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3, 0.2,0.1;第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3, 0.2,试问：(1)用哪种工艺加工得

13、到合格品的概率较大些？(2)第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时，情况又如何？解：设Ai= "第1种工艺的第i道工序出现合格品"，i= 1,2,3; Bi= "第2种工艺的第i道工序出现合格品"，i= 1,2.(1)根据题意，P(AI)=0.7, P(A)=0.8, P(A)=0.9 , P(B1)=0.7, P(B2)=0.8,第一种工艺加工得到合格品的概率为P(AA2A3)= P(A1)P(A2)P(A3)=0.7 0.8 0.9 = 0.504,第二种工艺加工得到合格品的概率为p（BiB2）= p（Bi）p（B2）= 0.7 0.8 =

14、 0.56,可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。(2)根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504,而P(B1)=P(B2)=0.7,第二种工艺加工得到合格品的概率为p(BiB2)= p(Bi)p(B2)= 0.7 0,7 = 0.49.可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。11 .设两两相互独立的三事件 A, B和C满足条件ABC = ?, P( A) = P(B) = P(C) < -,且已知P(A B C) = 3 ,求 P(A).16解：因为ABC =:所以P(ABC) =0,因为A, B, C两两相互独立，P(A) = P(B) = P(C),所以由加法公式 P(A

15、U BuC) = P(A) + P(B) + P(C) P(AB) P(BC) P(AC) + P(ABC)得3P(A) -3P(A)2即4P(A) -34P(A) 1 = 01611考虑到 P(A) <-,得 P(A)=-.12 .设事件A, B, C的概率都是，且P(ABC) = P(ABC),证明：2一八八 12P(ABC) = P(AB)十 P(AC)十 P(BC)-.证明：因为P(ABC) = P(ABC),所以P(ABC) =1 -P(A B C) =1 - P(A) P(B) P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) P(ABC)1 一将P(A) = P(B

16、) = P(C) =3代入上式得到整理得3 .设 0 < P(A) < 1,0 < P(B) < 1 , P(A|B) +P(A|B)=1, 试证A与B独立.证明：因为P(A|B) +P(A| B) =1,所以将 P(AU B) = P(A) + P(B) P(AB)代入上式得两边同乘非零的P(B)1- P(B)并整理得到所以A与B独立.4 .设A, B是任意两事件，其中 A的概率不等于0和1,证明P(B|A) = P(B| A)是事件A与B独立的充分必要条件. P(AB) P(AB)证明：充分性，由于 P(B|A) = P(B|A),所以 一) = ( _ ),即P(

17、A) P(A)两边同乘非零的P(A)1-P(A)并整理得到P(AB) =P(A)P(B),所以A与B独立.必要性：由于A与B独立，即P(AB) = P(A)P(B),且P(A)#0, P(A)=0,所以一方面另一方面所以 P(B| A)= P(B|A).5 . 一学生接连参加同一课程的两次考试.第一次及格的概率为p,若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为p2(1)若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率.(2)若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率.p解：设 Ai= “第 i次及格"，i=i, 2.已知 P(A1) = p,P(

18、A2 | Ai) = p,P(A2 | Ai) = p 由全概率公式得(1)他取得该资格的概率为(2)若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率为6 .每箱产品有10件，其中次品从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品为不合格而拒收.由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为2%, 一件次品被误判为正品的概率为10%.求检验一箱产品能通过验收的概率.解：设Ai= "一箱产品有i件次品"，i=0, 1, 2.设M= "一件产品为正品"，N= "一件产品被检验为正 品”.1已知 P(A0) =P(A) =P(A2)

19、 = , P(N |M ) =0.02,P(N |M ) = 0.1,3由全概率公式91P(M ) =1 P(M) =1 =一，又 P(N | M ) =1 P(N |M ) = 1 0.02 =0.98,10 10由全概率公式得一箱产品能通过验收的概率为7 .用一种检验法检验产品中是否含有某种杂质的效果如下.若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8;若真含不有杂质检验结果为不含有的概率为0.9;据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4和0.6.今独立地对一产品进行三次检验，结果是两次检验认为含有杂质，而有一次认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率.解：a= "

20、;一产品真含有杂质"，Bi= "对一产品进行第i次检验认为含有杂质"，i= 1,2,3.已知独立进行的三次检验中两次认为含有杂质，一次认为不含有杂质，不妨假设前两次检验认为含有杂 质，第三次认为检验不含有杂质，即 Bi, B2发生了 ,而B3未发生.又知 P(BJ A)=0.8,P(Bi|A)=0.9, P(A)=0.4,所以所求概率为P(A| B1 B2B3)=P(AB1B2B3) _P(A)P(B1B2B3 | A)P(BiB2B3)- P(A)P(BiB2B3 | A) P(A)P(BiB2B3| A)由于三次检验是独立进行的，所以8 .火炮与坦克对战，假设

21、坦克与火炮依次发射，且由火炮先射击，并允许火炮与坦克各发射2发，已知火炮与坦克每次发射的命中概率不变，它们分别等于0.3和0.35.我们规定只要命中就被击毁.试问(1)火炮与坦克被击毁的概率各等于多少？(2)都不被击毁的概率等于多少？解：设Ai= "第i次射击目标被击毁”，i=1,2,3,4.已知 P(A1) =P(A3)=0.3, P(A2) = P(A4)=0.35,所以(1)火炮被击毁的概率为坦克被击毁的概率为(2)都不被击毁的概率为9 .甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜，r ，一一，一 、什"一口1I, i ，一

22、两次为止，此人即为冠军，而每次比赛双方取胜的概率都是一，现假定甲乙两人先比，试求各人得冠军2的概率.解：Ai= "甲第i局获胜”，Bi= "乙第i局获胜”，Bi= "丙第i局获胜”，i=1,2,.,1已知P(A) =P(B。= P(G) =5/=1,2,.,由于各局比赛具有独立性，所以514在甲乙先比赛，且甲先胜第一局时，丙获胜的概率为P(AQ2c3A1C2B3 A4c5c6A1C2B3 A4c5B6 A7c8c9.)，一， 一，一一 1 同样，在甲乙先比赛，且乙先胜第一局时，丙获胜的概率也为-,7一一一- 1212、丙得冠车的概率为 2M=一，甲、乙得冠军的概率

23、均为 一(1 一)=7727第二章一、填空题:1.px <x, F(x2)-F(x1)2.PX =k =C：pk(1p)i, k = 0, 1,，n3.kPX =k= k!e"；九 下 0为参数，k = 0, 1, 4.5.6.7.8.9.f(x)=ba ： x : bf (x)=-a0,其它(x J2- e 二，-二；x ：一.，/b - , a：()-:'J(-CJ，-二：x ：二一) CTX-112Pi0.40.40.2分析：由题意，该随机变量为离散型随机变量，根据离散型随机变量的分布函数求法,可观察出随机变量的取值及概率。910.64分析：每次观察下基本结果“

24、X01/2”出现的概率为,2 f,2二：f(x)dx= p2xdx1=,而本题对随机变量4X取值的观察可看作是 3重伯努利实验，所以11. Pk c2.2=PX -12.2 -1<,2.2 -1="2)=07257,T).同理，P| X |35 =0.8822.12. G(y)=PY = 3X 1 三 y ；=P X 三1313 ,利用全概率公式来求解:48二、单项选择题:1. B,由概率密度是偶函数即关于纵轴对称，容易推导_a001F(-a)= f(x)dx= f(x)dx- f(x)dx =二二二二-a201 aIaf(x)dx=2-J0f(x)dx2. B,只有B的结果满

25、足F （y） = lim F（x） =1 xT 二3. C,根据分布函数和概率密度的性质容易验证4. D,Y =，2,X ,2,可以看出Y不超过2,所以X,X 二2FY(y) =P W y=4PX <y -2y.：y :二 2口 y"'1,y >2y 1= 三 ,9 > 0.edx,y<2(1_ee,y<2可以看出，分布函数只有一个间断点5. C,事件的概率可看作为事件 A （前三次独立重复射击命中一次）与事件 B （第四次命中）同时发生的概率，即_13 2p=P(AB)=P(A)P(B)=C3p(1-p) 3 p.三、解答题(A)1. (1)X

26、123456P分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共36种，如果X=1 ,则表明两次中至少有一点数为1,其余一个1至6点均可，共有C2 M 6-1 （这里C；指任选某次点数为1, 6为另一次有 116种结果均可取，减1即减去两次均为1的情形，因为C2M6多算了一次）或 C2M5+1种，故cN / C=M6-1 C2M5+111 m 口P X =1 .'=，其他结果类似可得.3636362.X 1-92汪意，这里x指的是赢钱数，X取0-1或100-1,显然px =99 = Ci5o1126二 k4.f(x)。x <-1PX = 1, -1 <x <2j

27、P X = _1+ PX = 2, 2 < x < 31, x _30, x < -11-,-1 <x<2 a一,2 Ex <341 x至31r 11 P 3 X W ，= p(X = -1)=24P1-<X W - 1 = P(X = 2=-、,22,2“3P<2 <X <3)= PX =2儿1/=3»=px =2)+P<X =3 = ；45. (1) PX =偶数=+4+222limiJPC22d 1羽1一工!22(2)pix _5)= 1 -pix 工4)= 1 -15 =16 16QOP'X =3的倍数

28、一、, i =1173. £ a L = ae 一九=1 ,所以 a = e% k 乂 k!6 .(1)X P 0.5t )=P 1.5 P'：X =0； = e,5.（2）0.5t =2.5 Px _1：' = 1 P'：x =01= 1 e'5.7 .解：设射击的次数为 X,由题意知X B（400,0.2 ）P；X -2 ； = 1-P；X 三1 ； = 1Lek。2k0.98400"kK. . 18 字七 1 -Z 一一e =1 0.28 =0.9972 ,其中 8=400x0.02. kf k!8 .解：设X为事件A在5次独立重复实验

29、中出现的次数，X B（5,0.3）则指示灯发出信号的概率=1 -0.8369 =0.1631 ；9 .解：因为 X服从参数为5的指数分布，则 F(x)=1e, px >10=1 F(10) =e/ ,2Y B 5, e则 PY =k =Cs(e-)k(1 -e-)5-,k =0,1,5110 .(i)、由归一性知：1= f (x)dx =acosxdx = 2a ,所以 a = .一二-221.1 .二11.解(1)由F(x)在x=1的连续性可得lim F(x) = lim F(x) = F(1)j1x_1 一即 A=1.(2)、P 0 < X < = j4 cosxdx =

30、 - sin x |0 =2 P10.3 ;X ：二 0.7)= F(0.7)F(0.3) =0.4.f (x) = F (x)=，(3) X的概率密度2x,0 < x <10,.12.解因为X服从(0, 5)上的均匀分布，所以f(x) =50其他22若方程 4x +4Xx +X+2=0有实根，则 =(4X)2 16X 32 2 0 ,即X之2 X < -1 ,所以有实根的概率为13.解：(1)因为XN(3,4)所以PX>01 -PXWcL则pXWc =1=F(c) =G(")=，经查表得2221 c -3G(0)=，即= 0,得c = 3 ；由概率密度关于x

31、=3对称也容易看出。2 2(3) P<X >d1-P<X Wd = 1F(d)=16(呼)之 0.9,d -3d 3则 6(_) <0.1 ,即 9(-_)之 0.9 ,经查表知(1.28) = 0.8997 ,22d -3故-d >1.28,即 d <0.44;"' r ,. k k、14 .解：px >kJ=1 -P<X <k = 1-pLk <X Ek = 1-6()+9() <JCT所以(_k_)=0.95, px <k =F(k)=中(人)=0.95；由对称性更容易解出; aa15 .解 X N

32、(N,。2)则 PX 叶 <o=pN 仃 <XN+仃上面结果与仃无关，即无论仃怎样改变，P（X 耳 仃都不会改变;16 .解：由X的分布律知px-2-10134101921013所以Y的分布律是Z的分布律为,2(xj21 x -：2-F (x) = e 2、- dx12二二17 .解 因为服从正态分布 N（N,。），则Fy (y) "ex 一 y当 y W0时，FY(y) =0,则 fY(y) =0当 y >0时，FY(y)= pU w y= p& <in y(ln y_耳21 1 e 21所以Y的概率密度为f Y ( y) = y 仃10cx <

33、;10 .18 .解 X U (0,1) , f (x) =«Fy( y) = p Y £ y J = p '1 -x 三 y J = 1 - F (1 - y)所以 fY(y) = fx(1y)=1, 0<1-y <10,其他1,0,0 y 1其他19.解:XU(1,2),则 f (x)11 < x :二 20 其他当 y W0 时，FY(y) =P、2X Wy=0,当y >0时,FY(y) = P X M1ln y 2L ，11、F x(5 1n y),20.解：（1）FY (y) = P 旬 < y： P：3X < y)1

34、L ,1、=PX - 3 y1Fx (3 y)因为fx (x)=20Dx2-1 ； x ：二 1其他所以.,、1 ,1 、fY1 (y) = 3 f X (3 y)-1/y ： 13其他-y2, 3：y：3 二180 ,其他 FY (y) =P*2 Wy=P13 X Wy=Px >3-y1=1-FX (3-y),3x2因为 fx(x) = 20L-1 : x ： 1其他所以 fY2(y) = fx (3 - y)3232= 2(3-y)2, -1 <3-y ：1 = 2(3-y)2, 2 ：二 y ：二 40,其他0,其他(3) FY(y) =P，3 MyP。2 My,当 yW0

35、时，FY3(y) =P(X2 M y=0, f% (y) = Fy3(x) = 0当 y >0时，Fy3(y) = p一6 Mx WFx (<y ) Fx (-忖,所以fxy fx(-. y), y 0,yM0因为 fx(x)= |x20一 1 : x ： 1其他所"y)* 0 逆1 四.应用题1 .解：设X为同时打电话的用户数，由题意知X B(10,0.2)设至少要有k条电话线路才能使用户再用电话时能接通的概率为0.99,则kk , iPX <k =£ C100.2i0.810-L 之工e = 0.99,其中九=2, i 0i w i!查表得k=5.2

36、.解：该问题可以看作为10重伯努利试验，每次试验下经过5个小时后组件不能正常工作这一基本结果的概率为i-e.4 ,记x为10块组件中不能正常工作的个数，则_0 4X B(10,1 - e ),5小时后系统不能正常工作，即1X >2),其概率为. 一2、 一3 .解：因为XN (20,40 ),所以设丫表示三次测量中误差绝对值不超过30米的次数，则 XB(3,0.4931), PY _1 =1 -PY =0 =1 -C；0.49310(1 -0.4931)3 =1-0.50693 = 0.8698.(2) PY=1 =C；0.49311M0.50692 =0.3801.4 .解:y1金3e

37、 5 dx =1 - e 51 5当y <0时，丫 <y是不可能事件，知 F (y) = 0 ,当0 My <2时，丫和X同分布，服从参数为5的指数分布，知F (y) = I当y至2时，Y My为必然事件，知F(y) =1 ,因此，Y的分布函数为o ,y<0yF(y) = <1-e 5，0 w y <2；1,广2.115 .解：(1)挑选成功的概率 p =-=C8470511 )设10随机挑选成功的次数为 X,则该XB 10,I, 70设10随机挑选成功三次的概率为：a 1 u 17PX =3 =Cw()k(1-)7 定0.00036, 7070以上概率为随

38、机挑选下的概率，远远小于该人成功的概率 3/10=0.3,因此，可以断定他确有 区分能力。(B)0, x <01-,-X, 0 < x <13 .11.解：由概率密度可得分布函数 F (x)=一，1 < x < 3312+-(x-3),3<x<63 91, x 62_ . .1由于px 2k= ,即 F(k) = ,易知 1 <k £3；332.解：X服从(一1,2)的均匀分布,f(x) = g1 二 x 二 2其他1 ,X >0,-1,X 二 0,则 py=11=PX 之 0 = j f(x)dx=1x0 =-0333.解所以丫

39、的分布律为-1P-FY(y) =P1 -3又 wy =PX >(1-y)3) =1 FX(1 y)3,fy(y) = K(y) i = 1 F(1 y)3 = h (1-y)3 3 y)3 1=3(1-y)2 f* b y)3JI3(1 -y)21 (1 -y)6 1,y/4 .证明：因fx(x)是偶函数，故fx(x)= fx(x),FY(y) =PY - y =P -X y = PX -y =1 - PX -y =1 - Fx(-y)所以 fY(y) =FY(y) = fx(-y)= fx(y).5 .解：随机变量X的分布函数为0 , X <1F(x) =3G-1, 1<x

40、<8,显然 F(x)0,1,1, x 之 8FY(y) = PYMy=PF(X)My,当y<0时，F(X)工y是不可能事件，知FY(y)=0,当0Ey<1 时，FY(y) = P3/X1 Ey = PX E(1 + y)3 = y,当y主1时，F(X) My是必然事件，知FY(y)=1,o,y < 0即 FY(y) =<y,0Ey<1。1，y.,、,、, y -16.(1)FY1(y) = PY wy =P2X+1 wy = PX w,V -1 c,nr 当W0时，即y <1时,2v-1 二八 八Fy1 (y) = PX= 0dx = 0,2-y>

41、;1 时，FY1(y) = PXy1 -y_寸 =7edx.-e万所以fY1 (y)=1er2 20, y 三 1，y 1，其他 Fy2 (y) = pY24y =PeX wy,XX, In yE In y'= J 0dx = 0 ,* *0当yW0时，e w y为不可能事件，则FY2 (y) = Pe Wy=0,当0 <y E1 时，In y E0,则 FY2 (y) = PeX E y = PX当 y >1时，In y >0,则FY (y) = PX w In y)= f e"dx = 1 0y根据 fY2(y) = FY；(y)得。y <1fY2

42、(y) = 2，yH y(3)FY3(y) =PY3 wy =PX2 mH ,当 yE0时，FY(y) = px2 My =0,当 y >0时，FY(y) = PX2 Wy =p。WX W“R=(ye"dx = 1eF'L0, 厂0 y fY(y)=(er；3, y 037. (1)证明：由题意知f(x)=2e“,x 0,x < 0Y =e"，Fy,(y)=PYi Ey = Pe/X My,当 y W0 时，FY1(y) =0 即 fY (y) =0,当0<y <1时，FYi(y) = Pe二X My =px 之ny：=.苣2e、xdx =

43、y , 当 y 21 时，FY1(y) = px 至n_yF= 82e,xdx = 1，,、1,0 <y <1 故有fY|(y) =，0,可以看出Y1服从区间(0, 1)均匀分布； Y2 =e'x, Fy2 (y) =PY21 My =P1-e'X < y = Pe" -1-y2x当 1yW0 时，FY2(y)=pe 4-y=1,当 0 <1 y <1时,一ln(1-y)Fy2(y)= Pe"X -1-y = p X <-ln(1-y).-._2X _当 1y 之1 时，FY2(y)=Pe 之 1-y=P?XM由以上结果，

44、易知 fY2(y)=1,0<y<1，可以看出丫2服从区间(0, 1)均匀分布。0,第三章1解：(X,Y)取到的所有可能值为(1,1),(1,2),(2,1) 由乘法公式:PX=1,Y=1=PX=1PY=1|X=1|=2/3 ”2=/3同理可求得 PX=1,Y=1=1/3; PX=2,Y=1=1/30,1, 2(X,Y)的分布律用表格表示如下:2解：X, Y所有可能取到的值是,i,j=0,1,2, i+j：2(1) PX=i, Y=j=PX=iPY=j|X=i尸一或者用表格表不如下:X|01203/286/281/2819/286/28023/2800(2)P(X,Y) A=PX+Y

45、 ：1=PX=0, Y=0+PX=1,Y=0+PX=0,Y=0=9/14.P P(AB) P(AB)3 解：P(A)=1/4,由 P(B|A)=-=-=1/ 2 得 P(AB)=1/8P(A) 1/4由 P(A|B)= P(AB) =1/2 得 P(B)=1/4 P(B)(X,Y)取到的所有可能数对为(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),则PX=0,Y=0=) P(A B) =P(A)-P(B)+P(AB)=5/8PX=0,Y=1=P(B)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8PX=1，丫=0=P(A)=P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/8PX=1，丫=1=P(AB)=1

46、/84.解：(1)由归一性知：1=,故 A=4(2)PX=Y=0(3)PX<Y=一或F(x,y)=即 F(x,y)=1 25.解：px+y ?= f (x, y)dxdy=(一X y J2 xy65(x- )dydx 二3726解：X的所有可能取值为0,1,2,丫的所有可能取值为0,1,2, 3.PX=0,Y=0=0.5 3=0.125;、PX=0,Y=1=0.5 3=0.12512PX=1,y=1= C20.50.5 =0.25, PX=1,Y=2=_ 12_ _C；0.52 "5 = 0.25PX=2,Y=2=0.5 3=0.125, PX=2,Y=3=0.5 3=0.12

47、57.解:f (x, y)e，0,8.解:f(x, y)-he -he(1)1 二2cx y,0,00.1250.125000.25100.250.2500.52000.1250.1250.25P.j0.1250.3750.3750.1251X0 ： x :其它x2 < y < 1x 二 0_f(x,y)dxdy = x工J_L 入22 cx1ydydx = 2c 0必dx2所以c=21/4 fx(x) = f (x, y)dy =21 1 2Gxydy, |x|<i0,其它21x2(1 -x4)80,|x|：1其它e2 1e29 解：SD = - dx = In x |1

48、=2(X,Y)在区域D上服从均匀分布，故f(x,y)的概率密度为10 解：f(x, y)=«3x, 0<x<1,0<y<x0,其它当0<x?时,即,£丫供(y | x)=-,0<y <x<11x0,其它11 解：f (x, y)= <1,P,0 :二 x ：二 1,| y 卜：x其它当 yQ时，fxY(x|y)f(x, y)fY(x)1_ , 0 :： x ： 1, -x : y : x=1 y0,其它当 y>0时，fx|Y(x|y) =f (x, y)所以，fxY(x|y) =fy(x)f (x, y)fY(x)

49、=1 - y0,=，1-1y0,12解：由 fxY(x| y) = f(x,y)得 fY(x),0 ： x ： 1, -x ： y ： x其它0 <| y 卜：x ： 1其它Pi0.050.150.20.070.110.220.040.070.09(X,Y)(0,-1)(0,0)(0,1)(1,-1)(1,0)(1,1)(2,-1)(2,0)(2,1)max(X,Y)001111222Min(X,Y)-100-101-10113解：Z=max(X,Y),W=min(X,Y)的所有可能取值如下表Z012Pk0.20.60.2W-101Pj0.160.530.31Z=max(X,Y), W=

50、min(X,Y)的分布律为1 W八c14 解：fx (x) = J e ,0, x < 0fY(y)W,0,由独立性得X, 丫的联合概率密度为贝U PZ=1=PX Y= f(x, y)dxdyx£y：iLj x= x：:;y11e - dydx =-PZ=0=1-PZ=1=0.5Z01Pk0.50.5故Z的分布律为122 .xv- 115解： f (x, y)=二 ,y-0,其它同理，fY(y) = (j1y2, 1y |<10,其它显然，fx(x)#O(y),所以X与Y不相互独立.16 解：(1) fx(x) = +1,0,0<x<1其它fY")"1, 0 : y ： 10, 其它利用卷积公式：fZ(z) =be/fx (x) fY