数学建模：投资问题

1、投资的收益与风险问题摘要对市场上的多种风险资产和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的设计需要考虑两个目标：总体收益尽可能大和总体风险尽可能小，而这两个目标在一定意义上是对立的。本文我们建立了投资收益与风险的双目标优化模型，并通过 “最大化策略”， 即控制风险使收益最大，将原模型简化为单目标的线性规划模型一；在保证一定收益水平下，以风险最小为目标，将原模型简化为了极小极大规划模型二；以及引入收益风险偏好系数，将两目标加权，化原模型为单目标非线性模型模型三。然后分别使用Matlab 的内部函数linprog ， fminmax， fmincon 对不同的风险水平，收益水平，以及偏好系数求解三

2、个模型。关键词：组合投资，两目标优化模型，风险偏好2 .问题重述与分析3 .市场上有冗种资产（如股票、债券、） SK L尸）供投资者选择，某公司有数额为 M的 一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这几种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买 S的平均收益率为无，并预测出购买团的风险损失率为生。考虑到投资越分散，总的 风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的房中最大的一个风险来度量。购买要付交易费，费率为 Pi，并且当购买额不超过给定值 如时，交易费按购买达计算（不买当然 无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是加 且既无交易费又无风险。（ 皿=

3、5%）1、已知门=4时的相关数据如下：资产出收益率哈.（）风险率 /（）交易费四（%）阀值叫（元）S1282.51103%211.52198S3235.54.552*252.66.540试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M,有选择地购买若干种资产或存银行生息,使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。2、试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。资产&收益率,（）风险率 ft（%）交易费ft （%）阀值如（元）S19.6422.118118.5543.2407&49.4606.0428&23.9421.5549S58.11.27.6270S614393.4397St40.

4、7685.6178Sr31.233.43.1220s933.653.32.747536.8402.92485n11.8315.1195F95.55.7320S、335462.7267Su9.45.34.532815237.6131本题需要我们设计一种投资组合方案，使收益尽可能大，而风险尽可能小。并给出对应的盈亏数 据，以及一般情况的讨论。这是一个优化问题，要决策的是每种资产的投资额，要达到目标包括两方面的要求：净收益最大和总风险最低，即本题是一个双优化的问题，一般情况下，这两个目标是矛盾的，因为净收益越大则风 险也会随着增加，反之也是一样的，所以，我们很难或者不可能提出同时满足这两个目标的决策

5、方 案，我们只能做到的是：在收益一定的情况下，使得风险最小的决策，或者在风险一定的情况下， 使得净收益最大，或者在收益和风险按确定好的偏好比例的情况下设计出最好的决策方案，这样的 话，我们得到的不再是一个方案，而是一个方案的组合，简称组合方案。设购买Si (i=0,1.n;S0表示存入银行，)的金额为Xi；所支付的交易费为Ci(xi),则：0 Xi 0Ci(x)PiUi 0 X Ui i 1,2, L , n, Co(x0) 0Pi X Xi Ui对 Si 投资的净收益为：Ri (Xi) ri Xi Ci(Xi)(i=0, 1,，n)对 Si投资的风险为：Qi (Xi) qiXi (i = 0

6、, 1,，n), q0=0对S投资所需资金(即购买金额Xi与所需的手续费 Ci(Xi)之和)是fi(Xi) Xi Ci (Xi)(i=0, 1,，n)投资方案用X=(X0, X1,，Xn)表示，那么,净收益总额为:R(x)R(xJ总风险为:Q(x) = mjn Qi (xi)所需资金为:nF(x)fi(xi)i 0所以，总收益最大，总风险最小的双目标优化模型表示为:F(x) M,x 0Q(x) minx R(x)但是像这样的双目标模型用一般的方法很难求解出来的，所以经过分析把次模型转化为三种较简单 的单目标模型。3.假设与模型假设该公司在这一时期内是一次性投资；除交易费和投资费用外再无其他的费

7、用开支；在这一时期 市场发展基本上是稳定的；外界因素对投资的资产无较大影响；无其他的人为干预；社会政策无较 大变化；公司的经济发展对投资无较大影响资产投资是在市场中进行的，市场是复杂多变的，是无 法用数量或函数进行准确描述的，因此以上的假设是必要的， 一般说来物价变化具有一定的周期性,社会政策也并非天天改变，公司自身的发展在稳定的情况下才会用额外的资金进行较大的风险的投资,市场与社会的系统发展在一个时期内是良性的、稳定的，以上假设也是合理的。3.1假设投资的风险水平是 k,即要求总风险 Q (x)限制在k内，Q (x)k,则模型可转化为:max R xs.t Q x k,F(x) M,x 03

8、.2 模型 b假设投资的收益水平是h,即净收益总额R(x)不少于 h： R(x)h, 则模型可转化为:min Q(x)s.t R(x) h, F(x) M ,x 03.3 模型 c假设投资者对风险和收益的相对偏好参数为p( 0),则模型可转化为:min Q(x) (1)R(x)s.t.F(x) M ,x 03.4 模型求解及分析由于交易费 Ci(Xi)是分段函数，使得上述模型中的目标函数或约束条件相对比较复杂，是一个非线性规划问题，难于求解.但注意到总投资额 M相当大，一旦投资资产 Si,其投资额Xi 一般都会超过 Ui,于是交易费 Ci(Xi)可简化为线性函数ci(xi) pixi从而，资金

9、约束简化为nF (X)fi (Xi )i0(1 pi )XiMi0净收益总额简化为nnR(X)Ri (Xi)riXii0i0nci(Xi)(ripi)Xii0n)在实际进行计算时，可设M=1 ，此时x = (1 Pi) Xi(i = o, 1,可视作投资Si 的比例 .以下的模型求解都是在上述两个简化条件下进行讨论的1)模型a的求解模型a的约束条件 Q(x)wk即Q(x) maxQi(xi) max(qixi) 0.158192, x1 - 0.2, x2 - 0.333333, x3 - 0.0909091,x4 - 0.192308这说明投资方案为(0.158192, 0.2, 0.333

10、333, 0.0909091 , 0.192308)时，可以获得总体风险不超过0.005的最大收益是 0.177638M.当k取不同的值(00.025),风险与收益的关系见图1.输出结果列表如下：表1模型1的计算结果风险水平k最大收益尻S2S3S.00.05100000.0010.07550.83160.040.06670.01820.03850.0020.10110.66330.080.13330.03640.07690.0030.12660.49490.120.20.05450.11540.0040.15210.32660.160.26670.07270.15380.0050.17760.

11、15820.20.33330.09090.19230.0060.201900.240.40.10910.22120.0070.206600.280.46670.12730.10160.0080.211200.320.53330.127100.0090.215500.360.60.023300.010.21900.40.5843000.0110.222300.440.5447000.0120.225600.480.5051000.0130.228800.520.4655000.0140.232100.560.4259000.0150.235400.60.3863000.0160.238700.6

12、40.3467000.0170.241900.680.3071000.0180.245200.720.2675000.0190.248500.760.2278000.020.251800.80.1882000.0210.25500.840.1486000.0220.258300.880.109000.0230.261600.920.0694000.0240.264900.960.0298000.0250.267300.9901000图1模型1中风险k与收益的关系结合图1,对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择图中曲线的拐点(0.006 , 0.2019 ),这时对&的投资比例见表1的

13、黑体所示。从表1中的计算结果可以看出，对低风险水平，除了存入银行外，投资首选风险率最低的S2,然后是&和S4,总收益较低；对高风险水平，总收益较高，投资方向是选择净收益率(ri-pi)较大的S1和S2.这些与人们的经验是一致的，这里给出了定量的结果.2)模型b的求解模型b本来是极小极大规划：min max(qixi)0 i nnns.t. (I Pi)X h (1 Pi)Xi 1 x0i 0i 0但是，可以引进变量xn+1=max(qixi),将它改写为如下的线性规划：0 i nmin(xn 1)nns.t qixixn 1,i=0,1,2,n,( Pi)xi h, (1 pi)x 1 , x

14、0i 0i 0具体到n=4的情形，按投资的收益和风险问题中题中给定的数据，模型为：min x5X5s.t 0.025x1x5,0.015x2 x5,0.055x3x5,0.026x40.05x0 0.27xi 0.19x2 0.185x3 0.185x4 h,x0 1.01x1 1.02x2 1.045x3 1.065x41, xi0, （i=0, 1,，5）利用matlab7.1求解模型b,当h取不同的值（0.10.25）,我们计算最小风险和最优决策，收益水平h取0.1 。一25,结果如表2所示，风险和收益的关系见图2.从表2看出，对低收益水平，除了存入银行外，投资首选风险率最低的资产S2,

15、然后是S和S4,总收益当然较低。对高收益水平，总风险自然也高，应首选净收益率（ 兀一跖）最大的Si和S?。这些 与人们的经验是一致的。表2模型2的计算结果风险水平k最大收益S。S1S1fS3S40.0020.10.67020.07830.13060.03560.07530.00240.110.60430.0940.15670.04270.09040.00270.120.53830.10970.18280.04990.10550.00310.130.47240.12540.20890.0570.12050.00350.140.40640.1410.2350.06410.13560.00390.1

16、50.34050.15670.26120.07120.15070.00430.160.27450.17240.28730.07830.16570.00470.170.20860.1880.31340.08550.18080.00510.180.14260.20370.33950.09260.19590.00550.190.07670.21940.36560.09970.21090.00590.20.01070.2350.39170.10680.2260.00780.2100.31140.5190.05690.09080.01030.2200.4120.5725000.01340.2300.53

17、410.4515000.01640.2400.65630.3305000.01950.2500.77840.209600图2模型2中风险与收益h的关系结合图2,对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择图中曲线的拐点(0.059 ,这时对&的投资比例见表2的黑体所示。3)模型c的求解类似模型b的求解，我们同样引进变量xn+i = max(qixi),将它改写为如下的线性规戈U：0 i nnmin p n+i (1 p) (n Pi )Xii 0ns.t qiXi Xn i,i=0, 1, 2,，n (1 p“Xi 1 x0i 0具体到n=4的情形，按投资的收益和风险问题题中给定的数据，模

18、型为：min x5 (1)(0.05x。 0.27x1 0.19x2 0.185x3 0.185x4)s.t 0.025xi X5,0.015x2 X5,0.055x3 X5,0.026x4 x5XoI.OIxi 1.02X2 1.045X3 1.065X41,Xi 0 (i=0, 1,，5)利用matlab7.1求解模型c,当p取不同的值(0.750.95),我们计算最小风险和最优决策 输出结果列表如下:表3模型3的计算结果风险水平最大收益率尻S1$3S*0.760.02480.267300.99010000.770.02480.267300.99010000.780.00920.21650

19、0.36930.6147000.790.00920.216500.36920.6148000.80.00790.210700.31510.52180.143100.810.00920.216500.36870.6154000.820.00740.208400.29570.49280.13440.05470.830.00790.210600.31390.52350.142500.840.0060.201700.23860.39730.10820.2260.850.0060.201600.23750.39670.10840.22750.860.00620.202600.24680.41130.07

20、530.23720.870.00660.204500.26530.44220.00880.25520.880.00590.201700.23790.39640.10780.22790.890.0060.201700.2390.39370.10790.22940.90.0060.201800.23920.3980.10290.22990.910.00590.201700.2380.39580.10750.22870.920.00590.201600.23760.39610.1080.22840.930.00590.201600.23750.39630.1080.22820.940.00610.1

21、8470.1350.24360.33090.11060.15570.950.00590.201600.23760.3960.1080.22850.960.00170.09160.72560.06520.10650.03020.06410.970.00540.18480.1140.21410.35640.09740.192从图5可以看出，模型 3的风险与收益关系与模型 1和模型2的结果几乎完全一致。风险图3模型3中风险与收益比的关系偏好系数图4模型3中风险与偏好系数的关系图5模型3中收益与偏好系数的关系四模型评价与推广本文我们建立了投资收益与风险的双目标优化模型，通过控制风险使收益最大，保证收益

22、使风险最小，以及引入收益一一风险偏好系数，将两目标模型化为了单目标模型，并使用matlab7.1求解,所得结果具有一定的指导意义。但是，本文没有讨论收益和风险的评估方法，在实际应用中还存在资产相关的情形，此时，用最大 风险代表组合投资的风险未必合理，因此，对不同风险度量下的最优投资组合进行比较研究是进一 步的改进方向。五总结历经两周的时间终于完成了这次课设，在这次实践课程中，我真的遇到了不少的问题，在同学， 老师的帮助以及在图书馆和网站搜集资料，解决了所有遇到的问题。尤其在问题分析的过程中，是 难度最大也是问题最多的环节，感觉总是把问题分析的不够全面透彻，经常顾及这个方面而忽视了 另一方面，最

23、后我请教了同学，终于完成了问题分析并且建立了模型。在完成这一环节后，接下来 的任务都是我独立完成，也遇到了不少的困难，但都是较易解决的。通过这次实践，我确实学到了 不少，学会了使用 MATLAB ,也知道了分析问题的方法。1MATLAB 程序设计与实例应用。张铮等。北京：中国铁道出版社，2003.102运筹学一方法与应用。吴风平。南京：河海大学出版社，2000.123数学模型及方法。李火林主编。江西高校出版社，1997.104 数学建模教育及竞赛。甘筱青主编。南昌：江西高校出版社。2004.65 萧树铁，面向21 世纪课程教材：大学数学数学实验，北京：高等教育出版社，1999.7.6 赫孝良，

24、 戴永红等编著，数学建模竞赛：赛题简析与论文点评，西安： 西安交通大学出版社，2002.6.7 陈叔平，谭永基，一类投资组合问题的建模与分析，数学的实践与认识，（ 29） 7： 45-49 ， 1999.七 附录function result=qiujie() %data为表格数据data=282.51103211.52198235.54.552252.66.540;data1=9.6422.118118.5 5449.4 6023.9 428.11.2143940.7 6831.2 33.433.6 53.33.24076.04281.55497.62703.43975.61783.1220

25、2.747536.840 2.9 24811.8315.119595.5 5.7 32035462.72679.45.34.532815237.6131;data=5 0 0 0;data./100; %增加存银行r=data(:,1);q=data(:,2);p=data(:,3);% % 模型一求解% result=;% for a=0:0.01:0.5% result=result;moxing1(r,q,p,a);% end% result=round(result.*10000)./10000;% plot(result(:,1),result(:,2)% grid on% xlab

26、el( 风险 )% ylabel( 收益 )% % 模型二求解% result=;% for k=0.1:0.01:0.4% result=result;moxing2(r,q,p,k);% end% result=round(result.*10000)./10000;% plot(result(:,1),result(:,2)% grid on% xlabel( 风险 )% ylabel( 收益 )%模型三求解result=;for s=0.76:0.01:0.97result=result;moxing3(r,q,p,s);endresult=round(result.*10000)./10000;figure(1)plot(result(:,2),result(:,3)grid onxlabel(风险)ylabel(收益)pausefigure(2)plot(result(:,1),result(:,2)grid onx