高中数学学业水平考试(合格考)知识点总结

高中数学学业水平考试(合格考)知识点总结

2020.12.1

第一章集合与常用逻辑

1.常用数集

N：自然数集或非负整数集；N*或N+：正整数集；

Z：整数集；Q：有理数集；R：实数集；C：复数集

2.集合间的运算

并集：A3={x|xwA,或xeB}；交集：A3={x|xwA,且xeB}；

补集：C0A={x|xeU,且xeA}.

3.包含关系

AB=AoA^B；AB=AoB<^A

4.空集(0)是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

5.集合{《,《，，%}的子集个数共有2"个；真子集有(2n-l)个；

非空子集有(2"-1)个；非空的真子集有(2"-2)个.

6.充分、必要条件

若pnq，则”是q的充分条件，4是P的必要条件；

若p=>q，q=>p，则p是q的充分必要条件，简称充要条件；

(1)若〃=>q,q^>p,则〃是4的充分不必要条件；

(2)若pw>q,q=p,则p是q的必要不充分条件；

(3)若〃=>q,q=>p,则p是q的充要条件；

(4)若p工>q,q^>p,则〃是4的既不充分又不必要条件；

7.含有一个量词的命题的否定

全称命题p：VxeM,q(x)；—p：切

特称命题p：Hx0eA/,(7(X0)；—p：VxeA/,—.

第二章一元二次函数、方程和不等式

1.不等式的基本性质

性质1a>bob<a；性质2：a>b,b>cna>c；

性质3a>h<^>a+c>b+c；T生质4：a>h,c>0=>ac>bc,a>b,c<0=>ac<bc；

性质5：a>b,c>dna+c>b+d；性质6：a>b>O,c>d>O=>ac>bdi

性质7：a>3〉0=>a"性质8：a>b>0=>>Ja>\/^(«>2).

2.基本不等式：设a>0,4>0,则

(1)a+b>2y/^b；(2)4《等卜当且仅当。=人时，等号成立.

注：应用基本不等式的条件：一正，二定，三相等

3.二次函数y=or+fer+c(aH0)的性质

(1)开口方向：。>0,开口向上；a<0,开口向下；(2)对称轴：x=--—；

2a

b4ac-b2

(3)顶点坐标:

2。'4。,

2

①当时，在上递减,

4>01-8,—-上递增;

I2a2±r

②当〉时，在［上递增,

a0-00,-2-上递减.

\2a2r

4.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

(a>0)A>0A=0A<0

二次函数V/T/

2

y=ax+Ox+c"X

V

的图象X

(fl>0)X\=X2X

一元二次方程

有两相异实根有两相等实根

ax2+bx+c=Ob无实根

X|,X2(X|<x)…二-五

(a>0的根2

ax2+力x+c>0

(x|x<x1^U>x2}R

(a〉0)的解集l2al

ax1+0x+c<0

{Rx<x<x2}00

(。>0)的解集

第三章函数概念与性质

1.求函数定义域

函数表达式y=/(x)：①含分式：要求分母不为0；

②偶次方根：要求被开方数以；③含对数式：要求真数>0.

2.函数y=/(x)的单调性

增函数：当占<莅时，/(%)</(%)；反映在图像上，从左往右图像上升；

减函数：当再<历时，/(%)>〃王)；反映在图像上，从左往右图像下降.

3.证明函数，(x)在区间。上单调递增或单调递减，基本步骤如下：

①设值：设不马6。，且王<工2；②作差：/(-X1)-/U2)；

③变形：对/(公)-/(々)变形，一般是通分，分解因式，配方等，要注意变形到底;

④判断符号，得出函数的单调性.

4.函数y=/(x)的奇偶性

奇函数：/(-力=-〃力，图像关于原点对称；

偶函数：/(-6=/(力，图像关于y轴对称；

5.奇、偶函数的性质

(1)奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；

偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反；

(2)若奇函数y=/(x)在原点有定义，则/⑼=0；

(3)奇、偶函数的运算

①奇函数土奇函数=奇函数；②偶函数土偶函数=偶函数；

③奇函数x奇函数=偶函数；④偶函数x偶函数=偶函数；

⑤奇函数x偶函数=奇函数.

6.嘉函数

(1)定义：形如y=xa(ewR)的函数叫嘉函数，其中x是自变量;

(2)五个基函数的性质

y=x2-1

y=xy=/y=y=x

定义域RRR[0,+oo)(-00,0)5。，+8)

值域RI。,+8)R[0,+oo)(F,0)50,+8)

奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数

在J00,0］上递减在(-00,0),(0,+00)

单调性增函数增函数增函数

在［0,+OO)上递增上递减

定点(1,1)

第四章指数函数与对数函数

1.分数指数幕

=yja,n；⑵〃"(a>a,m,neN",且〃>1).

a"

2.根式的性质

(1)(折)"=a.(2)当〃为奇数时，曲Qa；当〃为偶数时，标=|。|=卜'"20.

-a,a<0

3.有理指数基的运算性质

rsr+ss

(l)a-a=a(a>0,r,seQ)；(2)=a>~(6?>0,r,5Gg)；

(3)(相)'=a"(a>0,r,seQ)；(4)(而)"=a'br(a>0,匕>0,reQ).

4.指数式与对数式的互化：log“N=boa"=N

5.对数的换底公式

(l)log=="(a>0,且awl,〃z>0,且加工1,N>0)；

log,,,aIgaIna

(2)logb"=—log((a>0，且a>\,m,”>0,且。I,“w1,N>0)；

ama

(3)loga'logi=1；(4)aioSab=b

6.对数的四则运算法则

若a>0,a#4，M>0,N>0,则：(l)loga(A/ZV)=logaM+logaN;

M

⑵log“—=log„M-log„N;(3)log„Mn=nlog,,M(neR).

N

7.指数函数y="(a>0,aHl)的图像与性质

0<。<1a>l

y=q.\7/y=ax

(0,1)

图象(0.1)y=1

三

定义域R

值域(0,+oo)

(1)过定点(0,1),即x=0时,y=l

性质

(2)在R上是减函数(2)在R上是增函数

8.对数函数丫=108“》(。>0,。。1)的图像与性质

定义域(。，+8)

值域R

冲山(1)过定点(1,0),即当x=l时，y=Q.

性质

(2)增函数_(2)减函数

9.反函数

指数函数y=a'(a>0,aHl)与对数函数丁=1。8〃%(。>0,。/1)互为反函数，它们

的图像关于y=x对称

10.函数零点

⑴定义：把使/(x)=0成立的实数尤叫做函数y=7(x)的零点.

(2)函数零点与方程根的关系：方程«r)=0有实根Q函数y=/(x)的图象与x轴有

交点Q函数y=«x)有零点.

⑶零点存在定理：如果函数y=/W在区间3,句上的图象是连续不断的一条曲线,

并且有/（。）"（。）＜0,那么函数yq/a）在区间伍，加内有零点.

第五章三角函数

1.角度制与弧度制的互化：360。=2兀180。=兀

1rad=—°~57.30°=57°18,1°=—rad=0.0174rad

兀180

2.特殊角的弧度与角度互化如下:

0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

717V7T7T2不37r57r3兀

07T2兀

~67~2丁2

3.弧长及扇形面积公式

弧长：/=|a|r,扇形面积：S^-lr=-ar2（a是圆心角弧度数，r是扇形半径）

1122

4.任意角的三角函数_____

设a是一个任意角，它的终边上一点P（x,y）,r=Jx?+旷.

（1）正弦sina=—,余弦cosc=2,正切tana=2.

rrx

（2）各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

5.同角三角函数的基本关系：

平方关系：sWa+cos2a=1；商数关系：*=tana(aM+k兀,keZ)

cosa2

6.诱导公式

(1)sin(2E+a)=sina,cos(2E+a)=cosa,tan(2E+a)=tana(%£Z)

(2)sin(兀+a)=-sina,cos(7r+a)=-cosa,tan(7i+a)=tana

(3)sin(-a)=-sina,cos(-a尸cos。,tan(-a)=-tana

(4)sin(兀-a)=sina,cos(K-a)=-cosa,tan(7c-a)=-tana

JI

(5)sin(—-a)=cosa,cos(-a)=sina

JI

(6)sin(一+a)=cosacos(—+a)—sina

口诀：奇变偶不变，符号看象限

7.特殊角的三角函数值

0°30°45°60°90°120°135°150°180°

11

since0旦正1迫近0

222222

1_j_

cosa1在旦0也—也-1

222222

V3

tana010无意义-10

~T3

8.正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质

三角函数y=sinay=cosay=tana

k

yyUJ

图像35

(\227fVff

Z

0¥0X/\(\

z.TC.7T.

定义域(-00,+oo)(-00,+oo)(Kit---，攵兀+—)

22

值域[-1,1][-1,1](-00,+oo)

最大（小）当户22兀+—时，)max-1；当X=2A兀时，）'max=l；

2

无

值（ZeZ）

当x=2kn--时，Nmin=J当x=2E+兀时，^min=-1

2

奇偶性奇函数偶函数奇函数

周期性T=2兀T=2nT=TI

_,71_.兀

在2k兀—,2ZzrH—上增

单调性.22.在[2E-TT,2E]上增在,gk"])

(k£z)3，在[2lat,2kn+兀]上减内增

在—I4CI上减

2上工■+',2上)+T_

对称性对称中心:（左乃,0）对称中心：（攵］+李0）,

jr对称中心(攵1,0)

（AGz）对称轴：X=kjr+—对称轴：x=k兀

2

注：y=Asin（69x+^）g£y=ACOS（69X+^9）的最小正周期为丁

y=Atan（mr+0）的最小正周期为T

9.两角和与差的正弦、余弦、正切

Sm+夕)：sin(a+/7)=sinacosp+cosasin0；S{a_p)：sin(a-/?)二sinacos£-cosasin^

Cg+伊：cos(<74-/?)=cos<zcos/?-sincrsinp；C的一为:cosa一4)=cosacos夕+sinasin夕

tana+tan07/tana-tanB

T(a+p)：tan(a+尸)=J：tan…

1—tanatan/3

______b

10.辅助角公式：asinx+bcosx=sin(x-i-(p),其中：tan(p=—

11.二倍角公式：S2a：sin2a=2sincrcoscir

2tana

C：cos2a=cos2cr-sin2a=l-2sin2a=2cos2a-\；T：tan2a

2a2a1-tan2a

12.降募公式：sinc^cosa=—sin2«,sin2a=--8s2a,cos2a=1+cos2a

222

13.函数丫=Asin（⑷r+e）的图象变换

由函数丁=sinx的图象通过变换得到y=Asin（@c+⑶的图象，有两种途径:

法一：先平移后伸缩

y=sinx向左”>o）或向右（e<o）>y=sin(x+(p)

平移网个单位

横坐标变为原来的‘倍

舞笛工ising。）

-----------------@——>y=sin（①九+（p）

纵坐标不变

法二：先伸缩后平移

横坐标变为原来的‘倍

向左">o）或向右（*<o）

y=sinx---------------------->y=sincux=sin(媛+9)

,纵坐标不变

平移力|个单位

f^AsinU。)

14.函数y=Asin（mr+e）的物理意义

当函数y=松山（0%+同（4>0,0〉0/€[0,+0）））表示一个振动量时,

振幅A：表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离；

周期7=强：往复振动一次所需要的时间；

CD

频率/=!=生：单位时间内往复振动的次数;

T（D

相位：3C+0；

初相：。（即当尤=0时的相位）.

第六章平面向量及其应用

1.平面向量的相关概念：

（1）平面向量：在平面内，具有大小和方向的量称为平面向量.向量可用一条

有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的

方向.向量。的大小称为向量的模（或长度），记作时.

（2）模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量.

（3）与向量。长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作-a.

（4）方向相同且模相等的向量称为相等向量.

(5)平行向量(或共线向量)：方向相同或相反的两个向量，规定：零向量与任

意向量平行

2.向量的加法运算：

(1)三角形法则：首尾相连，连首尾，如AB+BC=AC；

(2)平行四边形法则：公共起点，对角线

3.向量的减法运算：三角形法则，要求共起点，指向被减向量，如AB-AC=CB

4.数乘向量：实数/I与空间向量a的乘积而是一个向量，称为向量的数乘向量.

当4>0时，义。与。方向相同；当；1<0时，/la与。方向相反；

当4=0时，而为零向量，记为0.的长度是a的长度的日倍.

5.实数与向量的积的运算律：设，〃为实数，那么

(1)X(ga)=(X(i)a;(2)(X+g)a=X5+g5;(3)九(2+6)=入2+入B.

6.共线向量定理：向量a,正N0),a//8o存在实数4,使0=劝.

7.两向量的夹角：已知两个非零向量。和b,在平面任取一点O,作OA=a,

0B=。，则NAOB称为向量a,。的夹角，记作〈。力〉，〈a,。〉e[0,司.

8.向量垂直：对于两个非零向量a和6,若8,b)=；,则a,b垂直，记作

9.数量积：已知两个非零向量a和。，则同Wcos〈a,b〉称为a,。的数量积，记

作即=同人卜05〈4,。〉.规定：零向量与任何向量的数量积为0.

10.投影向量：i在Lh的投影向量等于同cos。£(其中；为与人司向的单位向量)

11.数量积的性质：

(1)a2-a-a-kz|2<=>\a\->Ja-a；(2)aLbd-b\(3)cos(a,b)="

'/徘|

12.向量的数量积的运算律：(1)ab=b-a(交换律)；

(2)(Aa)-b=A(a-b)=Aa-b=a-(Ab);(3)(a+b)-C=a-C+bc；

(4)(a±Z?)=|a|2+2a-/>+|/?|,(a+b)-b)=忖.

13.平面向量基本定理：如果耳、a是同一平面内的两个不共线向量，那么对于

这一平面内的任一向量，有且只有一对实数入I、九2,使得G=Xie,+九2瓦.

不共线的向量不、瓦叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

14.坐标运算：（1）设a=（项，x）,6=（%2,刈），贝”：

fTT/\/\TT

口±/?=（尤1土/，》士丫2），入a=2（内，3）=（而a-b^xlx2+yiy2

（2）设A、8两点的坐标分别为（xi,yi）,（X2,y2）,则e=（&-再,力一片）.（终

点减起点），IA81=NABAB=）2+（%-y）2

（3）向量。的模|a|：\a\2-a-a-x2+y2=y/x2+y2

（4）向量a=（X|，M）,。=（彳2，%）的夹角8，则cos0=/7J?+：i*『.

yl^+y^yjx^+y^

15.向量平行与垂直的坐标表示：

（1）两个向量平行：allboa-Ab（2e/?）>a//bo匹内—%2>1=。

（2）两个非零向量垂直：a_L8。用工2+y%=0

16.向量中一些常用的结论：

（1）在AA8C中，

①若A&，%），8（々,必）,。（七,%），则其重心坐标为G［白+；+.,且士苧❷）;

②PG=g（PA+PB+PC）0G为MBC重心、；

特别地，PA+P8+PC=0oP为AA8C的重心；

③尸428=心，。=尸。2402为八45。的垂心；

④向量旦+^^）（几丰0）所在直线过AABC的内心（是N84C的角平分线所在

|AB||AC|

直线）；

（2）A、B、。共线o存在实数入〃使得APB+R；C且；l+〃=L

17.三角形的四心

垂心.——三角形的三边上的高相交于一点

重心——三角形三条中线的相交于一点

外心.—三角形三边垂直平分线相交于一点

内心——三角形三内角的平分线相交于一点

18.三角形中的重要结论

（1）在三角形中，大边对大角，小边对小角（a>b=A>BosinA>sinB）

⑵三角形内角的正弦值一定大于0,锐角的余弦值大于0,直角的余弦值等于

0,钝角的余弦值小于0.

19.三角形中的诱导公式

sin（B+C）=sinAcos（B+C）=-cosAtan（5+C）=-tanA

sin（A+C）=sinBcos（A+B）=-cosCtan（A+B）=-tanC

sin（A+jB）=sinCcos（A+C）=-cosBtan（A+C）=-tanB

20.正弦定理和余弦定理

定理正弦定理余弦定理

-2-=-5—=-^―=2RQ2=〃+/-2bccosA,

sinXsinfisinC

内容。2=〃2+/-2tzccosB,

(R是△ABC外接圆半径)

c2=a2+h2-2ahcosC

①Q=2RsinA,b=2RsinB,c=2/?sinC；b2^c2^a2

cosAA=

2bc

a2-¥c2~b2

②sinA=—,sinB=—,sinC=—；COSD=

变形2A2Jt2ac

万小+炉一C2

形式(3)asmB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinAcosC=­u

2ab

④a：bxc=sinA：sinB：sinC

21.三角形常用面积公式

S=—absinC=—acsinB=—besinA==—(a+b+c)r(分别为△ABC外

2224R2

接圆，内切圆半径)

第七章复数

1.复数的概念

形如a+4(a,Z?WR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，。叫做实部，8叫做虚

部。全体复数所成的集合C叫做复数集。复数通常用字母z表示.

2.复数的分类

a+5为实数08=0

z=a+Z?i(a,Z?£7?)a+bi为虚数QbWO

a+bi为纯虚数=a=0且8W0

3.复数相等：a+bi=c+dioa=c,b=d(a,b,c,deR)

也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等

4.复数的几何意义：z=a+尻(a,beR)</应->Z(a,b)<小厂>OZ=(a,b)

5.复数的模

向量OZ的模叫复数z=a+次的模，记作同或k+可，\z\=\a+bi\=y]a2+b2

6.共扼复数

实部相等，虚部互为相反数，z=a+沅的共血复数记作2-万

7.复数的运算法则

设zi=〃+/?i,Z2=c+di,。，b,c,d£R

①4±z2=Q+bi±(c+Qi)=(Q±c)+S±d)i

(2)Zj-z2=(«+Z?z)•(c+t/z)=(ac-bd)+(he+ad)i

③Z]_(〃+》，)_(a-hbi)(c-di)_(ac+bd)+(be-ad)i

z2(c+di)(c+di)•(c—di)

8.实系数一元二次方程的复数根

对于实系数一元二次方程加+fot+c=O(awO),其判别式A=/-4",则:

⑴当相。时，方程有实数根：寸土绊逅-b-ylb^-4ac

2a

一b+14cle-b2i-b-y]4ac-b2i

(2)当AvO时，方程有两个虚数根:

^ia，”^

(3)若Z]=。+历是实系数一元二次方程or2+6x+c=0(aH0)的一个虚数根，则

其共轨虚数-为也是它的一个虚数根，即方程的虚数根一定成对出现.

第八章立体几何初步

1.空间几何体的结构特征

(1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公

共边都互相平行.

(2)棱锥：有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形.

(3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分，

棱台侧棱延长线必交于一点.

(4)圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的

几何体

(5)圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旗转轴,其余两边旋转一周形

成的面所围成的旋转体

(6)圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分；

圆台也可以看作是以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转

而形成的曲面所围成的几何体

(7)球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

2.直观图

(1)斜二测画法规则

①在己知图形中取互相重直的x轴或y轴，两轴相交于点O,画直观图时，把它

们画成对应的x'轴与y'轴，两轴相交于点0',且Zx'O'y'=45。(或135。)；

②已知图形中平行于X轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于£轴与y轴

的线段；

③已知图形中平行于X轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线

段，在直观图中长度为原来的一半.

（2）原平面图形与直观图面积之间关系：S直=^S原，S原=2&S直.

3.棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积

（1）表面积：棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.

（2）体积

棱柱：柱体的底面面积为S,高为h,则V=Sh

棱锥：锥体的底面面积为S,高为h,则丫=工助

3

棱台：台体的上、下底面面积分别为S',S,高为/z,则V=；（5'+阿+s）〃

4.圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积

（1）表面积

侧面积底面积表面积

2

圆柱（底面半径厂，母线长/）2m7万广2门（r+/）

圆锥（底面半径r,母线长/）7irlnr14广（厂+/）

圆台（上、下底面半径分别为S上二乃/2,

乃（/+尸）/"4-r2+//+〃）

r；r,母线长/）S上52

（2）体积

圆柱体积：/柱=+〃（r是底面半径，〃是高）

2

圆锥体积：Vmf=^/rrh（r是底面半径，力是高）

圆台体积：/台=3万人（/2+/r+，）（//分别是上、下底面半径，力是高）

5.球的表面积与体积

4

球的表面积：S球=4成\球的体积：V^=—7rr.

6.平面的三个基本事实

（1）过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

（2）如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

（3）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公

共直线.

（4）推论

①经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面

②经过两条相交直线，有且只有一个平面

③经过两条平行直线，有且只有一个平面

7.空间点、直线、平面之间的位置关系

（1）空间中直线与直线的位置关系

相交：在同一平面内，有且只有一个公共点

平行：在同一平面内，没有公共点

异面：不同在任何一个平面内，没有公共点，既不相交又不平行

（2）空间中直线与平面的位置关系

直线在平面内——有无数个公共点

直线与平面相交——有且只有一个公共点

直线与平面平行——没有公共点

（3）空间中平面与平面的位置关系

两个平面平行——没有公共点；两个平面相交——有一条公共直线

8.空间角

（1）异面直线所成的角

定义：经过空间任一点。作直线b'//b,我们把熊与》所成的锐角（或直

角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.

特殊情况：异面直线。与。所成的角为90°时，

称直线。与。垂直，记作a_Lb.

范围：（0°,90°]

（2）直线与平面所成的角心

定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，\

叫做这条直线和这个平面所成的角，如图NA8O=。即/V/年/

为直线AB与平面a所成的角.久一^——

范围：

（3）二面角

定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二

面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.

二面角的平面角：以二面角的公共直线上任意一点为端点，在两个面内分别作垂

直于公共直线的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.二面角的

大小可用平面角表示.

范围：[0；180°]

9.空间直线、平面的平行

（1）线面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

平面外一条直线与此平面内的一条1ea

判定

直线平行，则该直线与此平面平行aua»=>///a

定理

（简记为“线线平行=线面平行”）Z__/Illa

一条直线与一个平面平行，则过这

///a

性质条直线的任一平面与此平面的交

/邙,=l〃b

定理线与该直线平行

anp=i

（简记为“线面平行=线线平行”）

（2）面面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

aua

一个平面内的两条相交直线与另一bua

判定

个平面平行，则这两个平面平行acb=A-=>a//p

定理

（简记为“线面平行=面面平行”）口a//0

z?//p

如果两个平行平面同时和第三个a//p

性质6^7

平面相交，那么它们的交线平行acy=a

定理

（简记为“面面平行=线线平行”）0cy=力

10、空间直线、平面的垂直

（1）线面垂直判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

lla

一条直线与一个平面内的两条相交/

判定lA.b

直线都垂直，则该直线与此平面垂直-=>/±a

定理7anb=O

（简记为“线线垂直=线面垂直”）

aua,bua

ah

性质垂直于同一平面的两条直线平行a-La

定理（简记为“线面垂直=线线平行”）7Z?±a

（2）面面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

一个平面过另一个平面的

判定4/±a

垂线，则这两个平面垂直/>=>a±p

定理

（简记为“线面垂直=面面垂直”）1

两个平面垂直，则一个平面内a_Lp

性质垂直于交线的直线与另一个平ac0=。

/*=>/±a

定理面垂直/up

（简记为“面面垂直=线面垂直”）47lla

第九章统计

1.普查与抽样调查

普查：对每一个调查对象都进行调查的方法，又称普查.

抽样调查：从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出

估计和推断的调查方法.在一个抽样调查中，我们把调查对象的全体称为总体，

组成总体的每一个调查对象成为个体.

2.简单随机抽样

（1）抽签法：①给总体中的N个个体编号；②把所有编号写在外观、质地等无

差别的小纸片（也可以是卡片、小球等）上作为号签；③将这些小纸片放在一个

不透明的盒里，充分搅拌；④从盒中不放回地逐个抽取号签，直到抽足样本所需

要的个数.

（2）随机数法：①对总体中的N个个体编号；②用随机数工具产生编号范围内

的整体随机数；③把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样

本；④重复上述过程，直到抽足样本所需要的个数.如果生成的随机数有重复，

即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并产生随机数，直到产生的不同编

号个数等于样本所需要的个数.

（3）两种方法的优缺点

优点缺点

抽签法简单易行.当总体较小时，号签搅拌均当总体较大时，费时、费力，

匀很容易，个体有均等的机会被抽取且号签很难被搅拌均匀

随机数法很好的解决了抽签法中遇到的当总体当总体较大时，需要的样本

个数较多时制签难的问题容量较大时，不太方便

3.分层随机抽样

一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于

一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取

的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体

称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种

样本容量

样本量的分配方式为比例分配，抽样比，詈.

总体容量

4.频率分布表与频率分布直方图的制作

（1）求极差：极差是一组数据中最大值与最小值的差；

（2）决定组距与组数：确定一个合适的组距，按照组数=黠大致分组，一般

组距

数据的个数越多，所分组数也越多；

（3）将数据分组；（4）列频率分布表:

(5)画频率分布直方图：小长方形的面积=组距x黑|=频率.