2016年天津市高考数学试卷(文科)

1、2016 年天津市高考数学试卷（文科）、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的(5 分)已知集合 A=1, 2，3，B=y|y=2x- 1,条渐近线与直线 2x+y=0 垂直，则双曲线的方程为（D.=1(5 分)设 x 0, y R,贝 U “y ”是 “ | y| ”的()（5 分）已知 f （x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（-%, 0） 上单调递 增，若实数 a 满足 f （2|a-1|）f （-）,则 a 的取值范围是（）113x A，贝 U AH B=()A.1, 3B. 1, 2C. 2, 3D. 1,2, 32. （5 分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率

2、是，甲获胜的概率是 I，则甲不输的概率为（A匚.i.3 .（5 分）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,正视图与俯视图如图所示，贝 U 该几何体的侧（左）视图为（D得到的几何体的B.2 24. （5 分）已知双曲线-=1 （a0, b0）的焦距为a2 匸，且双曲线的一A.- y2=1B. x2-1 =1C.5.A.充要条件B.充分不必要条件C. 必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件6.A. （-x,肓）B.（-x,）u（ ,+x）C（丄丄）C_,）D. ( ,7. （5 分）已知 ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D、E 分别是边 AB BC 的中 点，连接 DE 并延长到

3、点 F,使得 DE=2EF 则五?反的值为（）8.(5 分)已知函数 f (x) =sin2巴垒+2sin3十丄(w0), x R,若 f (x)在区22 2间(n2n)内没有零点，贝 U3的取值范围是()A. (0,B.(0,U , 1)C. (0,S4 S8U848、填空题本大题 6 小题，每题 5 分，共 30 分9.（5 分）i 是虚数单位，复数 z 满足（1+i） z=2,则 z 的实部为_.10.（5 分）已知函数 f（x）= （2x+1）ex,f（x）为f（x）的导函数，贝 Uf（0）的值为_11. （ 5 分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，贝 U 输出 S 的值为_

4、.12._ （5 分）已知圆 C 的圆心在 x 轴正半轴上，点M（0,二）在圆 C 上，且圆 心到直线 2x- y=0 的距离为二 2,则圆 C 的方程为_ .513. （5 分）如图，AB 是圆的直径，弦 CD 与 AB 相交于点 E, BE=2AE=2 BD=ED则线段 CE 的长为_ .x+（4a_3）x+3a,丈0,且 a 1）在 R 上a单调递减，且关于 x 的方程| f （x） |=2-E 恰有两个不相等的实数解，贝 u a 的取L-1值范围是_ .三、解答题：本大题共 6 小题，80 分15. （13 分）在厶 ABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,已

5、知 asin2B=bsi nA.4（1）求 B;（2）已知 cosA=，求 sinC 的值.16. （13 分）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要 A, B, C 三种主要原料, 生产1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：肥料原料ABC甲483乙5510现有 A 种原料 200 吨，B 种原料 360 吨，C 种原料 300 吨，在此基础上生产甲、 乙两种肥料.已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种 肥料，产生的利润为 3 万元、分别用 x, y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮 数.(I)用 x，y 列出满足生产条件的数学关系

6、式，并画出相应的平面区域；(H) 问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此 最大利润.17. (13分)如图， 四边形ABCD是平行四边形， 平面AED丄平面ABCD， EF/ AB, AB=2,DE=3, BC=EF=1 AE6，/ BAD=60，G 为 BC 的中点.(I) 求证：FG/平面 BED(2) 求证：平面 BED 丄平面 AED;(3) 求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值.18. (13 分)已知an是等比数列，前 n 项和为 Sn(n N*)，且丄-丄丄，ala2a3S6=63.(1) 求an的通项公式；(2) 若对任意的 n N*, bn是

7、 log2an和 log2an+1的等差中项，求数列 (- 1)nb -的前 2n 项和.(1)求椭圆的方程;(2)设过点 A 的直线 I 与椭圆交于 B ( B 不在 x 轴上)，垂直于 I 的直线与 I 交于 点M，与 y 轴交于点 H,若 BF 丄 HF,且/ MOA=ZMAO，求直线 l 的斜率.20. (14 分)设函数 f (x) =x3- ax- b, x R,其中 a, b R.(1)求 f (x)的单调区间；19. (14 分)设椭圆=1(a。的右焦点为 F,右顶点为 A,已知其中 O 为原点,e 为椭圆的离心率.(2) 若 f (x)存在极值点 xo,且 f (xi) =f

8、 (xo),其中 xiMxo,求证：xi+2xo=O；(3) 设 a0,函数 g (x) =| f (x) |，求证：g (x)在区间-1, 1上的最大值 不小于1.42016年天津市高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1. (5 分)已知集合 A=1, 2, 3 , B=y|y=2x- 1, x A，则 AHB=()A. 1, 3B. 1, 2C. 2, 3D. 1,2, 3【考点】1E:交集及其运算.【分析】根据题意，将集合 B 用列举法表示出来，可得 B=1 , 3, 5，由交集的 定义计算可得答案.【解答】解：根据题意，集合

9、A=1, 2, 3，而 B=y| y=2x- 1, x A,则 B=1, 3, 5,则 AHB=1, 3,故选：A.【点评】本题考查集合的运算，注意集合 B 的表示方法.-，甲获胜的概率是 I，则O)21 BEC ECB 古典概型及其概率计算公式.根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率 P=+=：故选：A.【点评】本题考查互斥事件与对立事件的概率公式，关键是判断出事件的关系, 然后2. (5 分)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是甲不输的概率为(A 色.!【考点】【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出.【解答】解： 甲不输与甲、 乙两人下成和棋是互斥事件.选择合适的概率公式，属于基

10、础题.3. (5 分)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的【分析】根据主视图和俯视图作出几何体的直观图，找出所切棱锥的位置，得出 答案.【解答】解：由主视图和俯视图可知切去的棱锥为 D-ADiC,棱 CD 在左侧面的投影为 BA, 故选：B.【点评】本题考查了棱锥，棱柱的结构特征，三视图，考查空间想象能力，属于 基础题.2 24.（5 分）已知双曲线 一-=1 （a 0，b 0）的焦距为 2 乙 且双曲线的一条渐近线与直线 2x+y=0 垂直，则双曲线的方程为（）【解答】解：双曲线厂-1=1 （a0, b0）的焦距为 2 二二 c=，双曲线的一条渐近线与直线 2x+y=

11、0 垂直,B. x2=12=1【考点】KC 双曲线的性质.【分析】2 2利用双曲线 一-=1（a0，b0） 的焦距为 2 匸，且双曲线的一条渐近线与直线 2x+y=0 垂直，求出几何量 a，b，c,即可求出双曲线的方程.正视图与俯视图如图所示，贝 U 该几何体的侧（左）视图为（） :,-a=2b,TC=a2+b2, a=2, b=1,2 双曲线的方程为 -1.4v故选：A.【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查待定系数法的运用，确定双曲线的 几何量是关键.5.（5 分）设 x 0, y R,则“Ay ”是“A| y| ”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不

12、必要条件【考点】29:充分条件、必要条件、充要条件.【分析】直接根据必要性和充分判断即可.【解答】解：设 x0, y R,当 x0, y=- 1 时，满足 xy 但不满足 x| y| , 故由 x0,y R,则 “y”推不出 “|y|”， 而 “|y|” “y”故“xy”是“x|y|”的必要不充分条件，故选：C.【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能 力，属于基础题.6.（5 分）已知 f （x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（-%,0） 上单调递增，若实数 a 满足 f （2la-1I）f （-伍），则 a 的取值范围是（）【考点】3E:函数单调性的性质与

13、判断.【分析】根据函数的对称性可知 f （幻在（0, +x）递减，故只需令 2la-11V -即可.【解答】解：f （x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（-%, 0）上单调递增, f （乂）在（0,+%）上单调递减.+x)U- 2la11 0, f （-匚）=f （）,丄 .2a-11v匚=2.丨 a-1 -：,2解得. “二2 2故选：C.【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性的性质，属于中档题.7.（5 分）已知 ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D、E 分别是边 AB BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F,使得 DE=2EF 则帀液的值为（）A.-二B. 1C.丄D. 一8

14、488【考点】90:平面向量数量积的性质及其运算.【分析】由题意画出图形，把“、：都用二 p 表示，然后代入数量积公式得 答案.【解答】解：如图，TD、E 分别是边 AB、BC 的中点，且 DE=2EF -I ?丨、2= i一:-=I “=丁卜心一卜=| 7 -S-!- :故选：C.【点评】本题考查平面向量的数量积运算， 考查向量加减法的三角形法则， 是中档题.8.（5 分）已知函数 f （x） =sin2W+sin3-*（w0），x R，若 f （x）在区厶间（n,2n）内没有零点，贝 U3的取值范围是（）11c：rA. （0，B.（0，U -，1）C. （0，D.（0，U，【考点】52:函

15、数零点的判定定理.【分析】函数 f (x).；，由f(x) =,可得解兀k得 X ?(n2n),因止匕3?(丄，丄)U(色，E)U(9,丄W8484848u *. +,即可得出.【解答】 解：函数 f ( x) = -：+丄 sin 3丄=1-+ sin =3in2 2 2 2 2 2V2 . .71、wx)，由f(x)=0,可得: ., =,3?：丁 屮 f (x)在区间( 3山；:U8 故选：D.【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题.二、填空题本大题 6 小题，每题 5 分，共 30 分9.(5 分)i 是虚数单位，复数 z 满足(1

16、+i) z=2,则 z 的实部为 1 .【考点】A1:虚数单位 i、复数.【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】解：由(1+i) z=2,得 I i， z 的实部为 1.故答案为：1.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.解得x=2n),铮f)Un,2n)内没有零点,丄绪8r10. (5 分)已知函数 f (x) = (2x+1) ex, f(x)为 f (x)的导函数，贝 U f(0) 的值为 3.【考点】63:导数的运算.【分析】先求导，再带值计算.【解答】解：f （x） = （2x+1） ex, f（x）=2ex+（2

17、x+1） ex, f（0）=2e+（2x0+1）e=2+仁3.故答案为：3.【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题.11. （ 5 分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，贝 U 输出 S 的值为.【考点】EF:程序框图.【分析】根据循环结构，结合循环的条件，求出最后输出S 的值.【解答】解：第一次循环：S=8, n=2;第二次循环：S=2, n=3;第三次循环：S=4, n=4，结束循环，输出 S=4,故答案为：4.【点评】本题主要考查程序框图，循环结构，注意循环的条件，属于基础题.12.（5 分）已知圆 C 的圆心在x 轴正半轴上，点M（0,：）在圆 C 上，且圆 心到直线 2x

18、- y=0 的距离为厶 2 ,则圆C 的方程为（x- 2）2+y2=9 .5【考点】J1:圆的标准方程.【分析】由题意设出圆的方程，把点 M 的坐标代入圆的方程，结合圆心到直线 的距离列式求解.【解答】解：由题意设圆的方程为（x- a）2+y2=r2（a0）,由点 M （0,：）在圆上，且圆心到直线 2x- y=0 的距离为二 ,5得2，解得a=2,r=3.圆 C 的方程为：（x-2）2+y2=9.故答案为：（x- 2）2+y2=9.【点评】本题考查圆的标准方程，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题.13. (5 分)如图，AB 是圆的直径，弦 CD 与 AB 相交于点 E, BE=2AE

19、=2 BD=ED 则线段 CE 的长为 汇一 3 【考点】NC:与圆有关的比例线段.【分析】由 BD=ED 可得 BDE 为等腰三角形，过 D 作 DH 丄 AB 于 H,由相交弦 定理求得 DH,在 RtADHE 中求出 DE,再由相交弦定理求得 CE【解答】解：如图，过 D 作 DH 丄 AB 于 H， BE=2AE=2 BD=ED BH=HE=1 则 AH=2, BH=1，DH2=AH?BH=2贝 UDH=_,在 RtADHE中，则 由相交弦定理可得：CE?DE=AE?EB.一 三二一: . 故答案为：工.3【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查相交弦定理的应用，是中档题.14. (5

20、 分)已知函数 f (x)=申（严）斑 a0a，1）在 R 上loga（x+l）+h x0、?单调递减，且关于 x 的方程| f (x) | =2-恰有两个不相等的实数解，则 a 的取3值范围是 r, r .33【考点】5B:分段函数的应用.【分析】由减函数可知 f (x)在两段上均为减函数，且在第一段的最小值大于或等于第二段上的最大值，作出|f (x) |和 y=2-的图象，根据交点个数判断 3aJ与 2 的大小关系，列出不等式组解出.【解答】解：f (x)是 R 上的单调递减函数，二 y=*+(4a-3)x+3a 在(-x.,0)上单调递减，y=loga(x+1)+1 在(0,+%)上单调

21、递减，且 f(刈在(-x,0)上的最小值大于或等于 f(0).0，解得苧木务作出 y=| f (x) |和 y=2-_i 的函数草图如图所示：3由图象可知| f (x) |=2- 在0,+)上有且只有一解,2v|f (x) | =2恰有两个不相等的实数解,3 X2+（4a3）x+3a=2兰在（x,0）上只有 1 解,3即 x2+（4a ）x+3a2=0 在（-x,0）上只有 1 解,38 o（4a-v） （3a-2） =0/ 84a十。解得 a= 1 或 av 36 宀又丄wa03a-203，.故答案为1,：).33【点评】本题考查了分段函数的单调性，函数零点的个数判断,结合函数函数图c,已知

22、 asin2B=【分析】(1)利用正弦定理将边化角即可得出 cosB;(2)求出 sinA,禾 U 用两角和的正弦函数公式计算.【解答】解：(1)vasin2B= :bsinA, 2si nAs in BcosB= si nBsi nA, cosB= ，二 B= .2 6(2)vcosA二丄,sinA= -，33 sinC=sin( A+B)二sinAcosE+cosAsinB= -=32236【点评】本题考查了正弦定理解三角形，两角和的正弦函数，属于基础题.16.( 13 分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C 三种主要原料,生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种

23、原料的吨数如下表所示：肥料原料ABC甲483乙5510现有 A 种原料 200 吨，B 种原料 360 吨，C 种原料 300 吨，在此基础上生产甲、 乙两种肥料.已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种 肥料，产生的利润为 3 万元、分别用 x, y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮 数.(I)用 x，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(n)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此 最大利润.【考点】7C:简单线性规划.【分析】(I)设出变量，建立不等式关系，即可作出可行域.(n)设出目标函数，禾U用平移直线法进行求

24、解即可.f4x+5y0面区域为，(n)设年利润为 z 万元，则目标函数为 z=2x+3y，即 y 二-吕 x+专，平移直线 y=- x ：，由图象得当直线经过点 M 时，直线的截距最大，此时 z【解答】解：(I)由已知 x，y 满足不等式最大，,f4z+5y=200/曰(x=20由*得彳l3x+10y=300 尸 24 此时 z=40+72=112,即分别生产甲肥料 20 车皮，乙肥料 24 车皮，能够产生最大的利润，最大利润为112 万元.【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件建立约束条件，作出可行域， 利用平移法是解决本题的关键.17. (13 分)如图，四边形 ABCD 是平行四边

25、形，平面 AED 丄平面 ABCD，EF/ AB,AB=2, DE=3, BC=EF=1 AE 砸，/ BAD=60，G 为 BC 的中点.(1) 求证：FG/平面 BED(2) 求证：平面 BED 丄平面 AED;(3) 求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值.【考点】LS:直线与平面平行；LY 平面与平面垂直；Ml:直线与平面所成的角.【分析】(1)利用中位线定理，和平行公理得到四边形 OGEF 是平行四边形，再 根据线面平行的判定定理即可证明；(2) 根据余弦定理求出 BD=，继而得到 BD 丄 AD,再根据面面垂直的判定定 理即可证明；(3) 先判断出直线EF与平面BED所成的角

26、即为直线AB与平面BED所形成的角， 再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案.【解答】证明：(1) BD 的中点为 O,连接 OE, OG,在厶 BCD 中， G 是 BC 的中点， OG/ DC,且 OG= DC=1,2又vEF/ AB, AB/ DC, EF/ OG,且 EF=OG即四边形 OGEF 是平行四边形， FG/ OE,vFG?平面 BED OE?平面 BED FG/ 平面 BED(2)证明：在厶 ABD 中，AD=1, AB=2,ZBAD=60 ,，即 M (20, 24)，由余弦定理可得 BD=，仅而/ ADB=90 ,即 BD 丄 AD,又平面 AED 丄平面 ABCDB

27、D?平面 ABCD 平面 AEDA 平面 ABCD=AD BD 丄平面 AED, BD?平面 BED,平面 BED 丄平面 AED.(m)vEF/ AB,直线 EF 与平面 BED 所成的角即为直线 AB 与平面 BED 所形成的角， 过点 A作 AH 丄 DE 于点 H,连接 BH,又平面 BEDA 平面 AED=ED由(2)知 AH 丄平面 BED,直线 AB 与平面 BED 所成的角为/ ABH,在厶 ADE, AD=1 , DE=3 AE=：,由余弦定理得 cos/ ADE=,3 si n/ ADE=,3 AH=AD?-,3在 RtAAHB 中,sin/ ABH =-,AB 6直线 E

28、F 与平面 BED 所成角的正弦值 二【点评】本题考查了直线与平面的平行和垂直， 平面与平面的垂直，直线与平面 所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题.18.(13 分)已知an是等比数列，前 n 项和为 Sn(n N*),且 -=：,ala2a3S6=63.(1) 求an的通项公式；(2) 若对任意的 n N*, bn是 log2an和 log2an+1的等差中项，求数列 (- 1)nb -的前 2n 项和.【考点】8M:等差数列与等比数列的综合.【分析】(1)根据等比数列的通项公式列方程解出公比 q,利用求和公式解出 a1, 得出通项公式；(2)利用对数的运算性质

29、求出 bn,使用分项求和法和平方差公式计算.【解答】解: (1)设&的公比为 q，则 = ，即 1- -alaiQ引 ；)的右焦点为 F,右顶点为A,已知e 为椭圆的离心率.(2)由已知设直线 I 的方程为 y=k(x 2), (20),联立直线方程和椭圆方程，2，化为关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得 B 的坐标，再写出 MH 所在直线方程，求出 H 的坐标，由 BF 丄 HF,得:0，函数 g (x) =| f (x) |，求证：g (x)在区间-1，1上的最大值 不小于1.4【考点】6B:利用导数研究函数的单调性；6D:利用导数研究函数的极值.【分析】(1)求出 f

30、 (x)的导数，讨论 a 0，f (x)在 R 上递增； 当 a0时，由导数大于 0,可得增区间；导数小于 0,可得减区间；(2) 由条件判断出 a0,且 0，由 f(X。)=0 求出刈，分别代入解析式化简f (X0), f (- 2X0),化简整理后可得证；(3)设 g (x)在区间-1, 1上的最大值M，根据极值点与区间的关系对 a 分 三种情况讨论，运用 f (x)单调性和前两问的结论，求出 g (x)在区间上的取 值范围，利用 a 的范围化简整理后求出 M，再利用不等式的性质证明结论成立.【解答】解: (1) 若 f (x) =x3- ax- b，则 f( x) =3- a,分两种情况

31、讨论：1、当 a0 恒成立，此时 f(x)的单调递增区间为(-X,+x),2、当 a0 时，令 f (x) =3x2- a=0,解得 x=_ 或 x= ,当 x冬或 XV-冬时，f(x) =3x2- a 0, f (x)为增函数，当-逅 xv丄珂时，f(x) =3x2-av0, f (x)为减函数，33故 f (x)的增区间为(-,-丄二)，(亠，+8),减区间为3333(2)若 f (x)存在极值点 xo，则必有 a0，且 xoM0， 由题意可得，f(x) =3/-a,则 x02二，3进而 f (xo) =xo3- axo- b=-_xo- b,3又 f ( 2xo) =- 8xo3+2axo- b= - xo+2ax)- b=f (xo),3由题意及(I)可得：存在唯一的实数 X1,满足 f (xi) =f (xo),其中 xi工 xo, 则有 Xi=- 2xo,故有 Xi+2xo=o；(川)设 g (x)在区