2012-2018全国卷圆锥曲线(理科)

1、2012-2018全国卷圆锥曲线解答题(理科)1. (2012年全国高考新课标I卷理科第20题设抛物线C :x 4. (2015年全国高考新课标I卷理科第 20题在直角坐标系xOy中，曲线C: y 与直线 y kx a(a 0)交于M,N两点.(I )当k 0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(I) y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有 OPM OPN ?说明理由. 2py(p 0)的焦点为F ,准线 为I， A C 已知以F为圆心，FA为半径的圆F交I于B, D两点.I假设 BFD 90 , ABD的面积为2，求p的值及圆F的方程.U假设A, B , F三点在同一直线m上，直线n与m平

2、行，且n与C只有一个公共点， 求坐标原点到m,n距离的比值.2. (2013全国高考新课标I卷理科第20题已知圆M:(x 1)2 y2 1，圆N:(x 1)2 y2 9，动圆P与M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C .(I )求C的方程；(II )l是与圆P,圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A,B两点，当圆P的半径最长时, 求 | AB|.2 23. (2014年全国高考新课标I卷理科第 20题已知点A(0, 2)，椭圆E :三 %1(a b 0)a b的离心率为 乜，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为 £，o为坐标原点.23(I )求E的方程；I设过点A的直线l与E相交于P

3、,Q两点，当 OPQ的面积最大时，求I的方程.5. （2016年全国高考新课标I卷理科第 20题）（本小题总分值12分）设圆x2寸2x 15 0的圆心为A，直线I过点B（1,0）且与x轴不重合，I交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E .（I）证明|EA |EB为定值，并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线Ci，直线丨交Ci于M,N两点，过B且与 I垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的 取值范围.2 26. （2017年全国高考I卷理科第20题）（本小题总分值12分）已知椭圆C： $ 爲=1 a>b>0，a bJ3四点P1 1,1，P2 0,

4、1，P3-1 ，P4 1，丨中恰有三点在椭圆 C上.2 21求C的方程；2设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。假设直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1证明：l过定点. （2018年全国高考I卷理科第19题）（本小题总分值12分）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为 .当 与 轴垂直时，求直线的方程；设为坐标原点，证明： 巴:陆*-厶逖忍2012-2018全国卷圆锥曲线解答题(参考答案)1. (2012年全国高考新课标I卷理科第20题设抛物线C :x2 2py(p 0)的焦点为F ,准线 为I， A C 已知以F为圆心，FA为半径的圆F交I于B, D两点.I假设 BFD

5、90 , ABD的面积为2，求p的值及圆F的方程.U假设A, B , F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点， 求坐标原点到m,n距离的比值.【解析】(I )由对称性知 BFD是等腰直角三角形，斜边|BD| 2p，点A到准线I的距离d | FA| | FB | 2p，1由 S ABD 2 |BD| d 4、2 得 p 2 .圆F的方程为x2 (y 1)2 8 .2U由对称性设 A(X0 , -) (X0 0)，则 F (0,号).2由点A, B关于点F对称得B( X), - 乂)，从而-2-2X。2-2，所以3-2.因此 AC. 3-,3-)，直线 m:y2 2 x 3-

6、 x又 x22-yy話2，求导得y' i<3，从而切点 P(-,-).又直线n：y f?，即X、.3y_P 二2,3求 | AB |.【解析】由已知得圆M的圆心为M(1,0)，半径ri 1，圆N的圆心为N(1,0)，半径“ 3 .设动圆P的圆心为P(x, y)，半径为R .(I )因为圆P与圆M外切且与圆N内切，所以 | PM | | PN | (R ri) (r2 R) ri a 4，且 4 |MN | .由椭圆的定义可知，其方程为-1(x2).曲线C是以M , N为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，(n )对于曲线C上任意一点P(x,y)，由于|PM

7、 | |PN| 2R 2 2，所以R 2 .当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R 2 .当圆P的半径最长时，其方程为(x 2)2 y24 .当丨的倾斜角为90时，丨与y轴重合，可得|AB | 2“ .当丨的倾斜角不为90时，由ri R知丨不平行x轴.设丨与x轴的交点为Q，则空！ R，可求得Q( 4,0)，|QM | ri设l : y k(x 4)，由丨与圆M相切得|3k | - i，解得k 2 . Ji k24当 k 时，将 y x 2 代入-i (x 2)4443整理得 7x2 8x 8 0.(*)8 8 设 A(n, yj , B(X2, y2)，则 Xi,X2 是(*)方程的两根.所以

8、x?-， %X27.i8当k2时，由对称性知|AB|兰.47综上，| AB| 2、3 或 |AB| 号.【考点分析】本小题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解 能力和方程思想.x22a的离心率为子，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为晋，°为坐标原点.(I )求E的方程；U设过点A的直线I与E相交于P,Q两点，当 OPQ的面积最大时，求I的方程.【解析】(I )设F c,0，由条件知2厶3c又a弓，所以a 2，a22c2 1，故E的方程-y4U由题意知直线I的斜率存在,设直线I的斜率为k，方程为y kx 2，联立直线与椭圆方程：4ykx1，化简得:(1 4k2)X

9、2216kx 120 16(4k2 3)0， k设 P(Xi, yi), Q(X2, y2)，则 X16k x x 122 , X1 X22 ，1 4k1 4k PQ 二 J1 k2x-ix2=.1k24 4k231+4 k2，且坐标原点O到直线I的距离为d "k2k24 4k2 31+4k22k24 4k2 31+4k2'令 t4k2 3(t 0)，则 SOPQ4tt2 44，当且仅当t44，即t 2时,等号成立，I SoPQ故当t2 即 J4k2 3OPQ的面积最大.此时，直线I的方程为y【考点分析】本小题主要考查直线、椭圆、函数和不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算

10、求解能力、创新意识和方程思想.y kx a(a 0)交于M,N两点.(I )当k 0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(II) y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有 OPM OPN ?说明理由.【解析】I由题设可得 M(2、a,a),N( 2、a,a)或 M( 25,a) , N(.a,a).2 又y = X，故y 在x 2 ： a处的导数值为a .24在点(2；a,a)处的切线方程为y a a(x 2 a)，即 ax y a 0 .x2 y在x42、. a处的导数值为.a .在点(2、a,a)处的切线方程为y a a(x 2. a)， 即.ax y a 0 .故所求切线方程为-、ax

11、y a 0和、ax y a 0 .I)存在符合题意的点P .证明如下:设P(0, b)为符合题意的点，M(Xi,yi),N(X2,y2)，直线PM , PN的斜率分别为ki,k2.4a 0，将y kx a代入C的方程，消去y整理得x2 4kx则Xi, X2是该方程的两根.故 x1 x24k, x,x24a.从而kik2Xiy2 bX22kx)x2 (a b)(xi x2)xixk(a b)a当b a时，有k|k2 0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故 OPM OPN .所以点P(0, a)符合题意.【考点分析】本小题主要考查直线、抛物线和导数的几何意义等基础知识，考查推理论证能力、

12、运算求解能力和方程思想.5. (2016年全国高考新课标I卷理科第 20题)(本小题总分值12分)设圆x2寸2x 15 0的圆心为A，直线I过点B(0,1)且与x轴不重合，I交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E .(I)证明EA EB为定值，并写出点E的轨迹方程;(II)设点E的轨迹为曲线G，直线丨交G于M,N两点，过B且与I垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.【解析】(I)因为ADAC，EB / AC，故 EBD ACDADC .所以EBED故 EA EB |EA又圆A标准方程为EDADx 1 2 y216，从而| AD 4，所以EA |EB由题设得

13、A 1,0 ,B 1,0 , AB由椭圆的定义可得点E的轨迹方程为(y0)；(II)法一当l与x轴不垂直时，设l:yM X1,%,N X2,y2y k x 1x2y2 彳得 4k2 3143x2 8k2x4k212x-ix28k2厂，x"24k2124k2 3所以 |mn| Ji k2X1X212 k2 14k2 31过点B 1,0且与I垂直的直线m: ykx 12A到m的距离为 =-V1 k2，所以lPQ十启24k2 32故四边形MPNQ的面积为S1一 MN | PQ121 4k1 3当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ的面积的取值范围为12,8、3当I与x轴垂直时，其方程为x 1M

14、N 3， PQ 8四边形MPNQ的面积12.综上，四边形MPNQ的面积的取值范围为12,8-、3 .2 2 法二v彳1;设 l : x my1,因为PQ丄I，设PQ: y联立I与椭圆Cix2 x4my2y_31得3m216my 9则 |MN |' 1 m2 |yMyN |36m2 36 3m2 43m2 412 m2 13m2 4 ；圆心A到PQ距离d|2m|_rm2，所以 | PQ | 2 JAQ|2 d226芒4、. 3 m24 1 m2S12,8 3 .12 mi2 14 3m2 4.1 m2【考点分析】主要考查直线与圆的位置关系、椭圆的定义、韦达定理、弦长公式等解析几何常用知识

15、，考查推理论证能力、运算求解能力和方程思想.2x已知椭圆C: -ya二中恰有22占=1 a>b>0，四点 P1 1,1，P2 0,1，P3 - 1b三点在椭圆C上.1求C的方程;2设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。假设直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1证明: l过定点.【考点】：圆锥曲线。【思路】：1根据椭圆的对称性可以排除P1 1,1。 2联立方程即可，此时有两种方法联立，第一种,假设直线AB的方程，第二种假设直线P2A和P2B。【解析】：x 2时，y 1，因此直线恒过定点2, 119.答案：1y別2) ；2略解答：定同时在椭圆上，因此可得椭圆经过P2 0,1，P3

16、 -1,代入椭圆方程可得:1b 1, 2aa 2，故而可得椭圆的标准方程为:2丨由题意可得直线P2A与直线 P2B的斜率一定存在，不妨设直线P2A 为：y kx 1 ,P2B 为:kxy 1 k x 1.联立4k21 x28kx0，假设A X"% , B x2, y2此时可得:1 4k24k2 1,B14 1k-，此时可求得直线的斜率为:1141k21 4k2kABy2X2y141k214k2 1x8 1k8k '41k214k2 1kAB 12，此时满足 k - °1 2k2CD当k1严时，2AB两点重合，不合题意。囤当k1时,直线方程为：18k1 4 k2Rny2 x22 ，即 y21 2k4k 1 4k 14k2 4k 1 x2k，当J2，二 A(1,1 21如下图，将x 1代入椭圆方程得2 y2 1,得y二直线AM的方程为：y眷2).2LN2)g-22证明：当丨斜率不存在时，由1可知，结论成立；当丨斜率存在时，设其方程为y k(x 1),A(xi, yi), B(X2, y2)，yk(X1)2 X2,即(2 k2 1)x2 4k2X 2k2 2 0，Ty1联立椭圆方程有4kXi2k21X-|X22k2 22k2 1kAMkBMy1yX12X22k(2x1X23(X1 X2) 4(X12)(X22)k(4k22?12k22k2 14)kBM