高中数学必修4121任意角的三角函数

1、普通高中课程标准实验教科书必修普通高中课程标准实验教科书必修4 4重庆文理学院附中重庆文理学院附中 苟怀远苟怀远1.复习引入复习引入我们已经学习过锐角的三角函数，如图：我们已经学习过锐角的三角函数，如图：你能在直角坐标系中来表示锐角三角函数吗你能在直角坐标系中来表示锐角三角函数吗? ?sinBCAACcosABAACtanBCAABABC设锐角设锐角的顶点与原点的顶点与原点O重合重合,始边与始边与x轴的正半轴的正半轴重合轴重合,那么它的终边在第一象限那么它的终边在第一象限.的终边上任意一点的终边上任意一点P的坐标为的坐标为(a,b),它与原点的它与原点的距离是距离是_过过P作作x轴的垂线轴的垂

2、线,垂中为垂中为M,则则线段线段OM的长度为的长度为_线段线段MP的长度为的长度为_2.利用平面直角坐标系表示锐角三角函数220rabMyxOP(a,b)abb bMyxOP(a,b)sin,cos,tanMPbOMaMPbOPrOPrOMaP(a,b)MA(1,0)xy1将点将点P取在使线段取在使线段OP的长单位圆的特殊位置。的长单位圆的特殊位置。sin,cos,tanMPbOPOMaOPMPbOMaP(a,b)MA(1,0)xy1以原点以原点O为圆为圆心心,以单位长以单位长度 为 半 径 的度 为 半 径 的圆 称 为圆 称 为 单 位单 位圆圆O即即OP=1锐角三角函数公式3.利用单位圆

3、定义任意角的三角函数利用单位圆定义任意角的三角函数设设是一个任意角是一个任意角,它的终边与单位圆交于它的终边与单位圆交于点点P(x,y)(1) y叫做叫做的的正弦正弦,记作记作sin,即即 sin=y(2) x叫做叫做的的余弦余弦,记作记作cos,即即 cos=xyx(3) (3) 叫做叫做正切正切, ,记作记作tan,即即tan0yxx)(1809000ZkkP(x,y)A(1,0)xy4.三角函数三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。值的函数。的终边上有一点坐标为的终边上

4、有一点坐标为 ，则，则),(yxP)0(tanxxyrysinrxcos022yxr实现了三角函数值的坐标化实现了三角函数值的坐标化5.典型例题典型例题例例1 求求 的正弦、余弦和正切值。的正弦、余弦和正切值。35解解: 在直角坐标系中在直角坐标系中,作出作出35AOB)23,21(yxBA53OM与单位圆交于与单位圆交于B点，求出点，求出B点坐标点坐标2335sin0 y2135cos0 x335tan00 xy解解:5)4() 3(|220 OPr例例2 2 已知角已知角 的终边经过点的终边经过点 , ,求角求角 的正的正弦、余弦和正切值。弦、余弦和正切值。)4, 3(0P54sinry5

5、3cosrx34tanxyyxO)4, 3(0P) 0(tanxxyrysinrxcos方法方法r022yxr知道知道终边上任意一点终边上任意一点P(x,y),就可以求出角就可以求出角的三角函数值的三角函数值.sin,MPxOPrtanMPyOMxcos,OMyOPr22rxy练练yxOMP(x,y)r6.三角函数的定义域三角函数的定义域sin cos tanyyxx三角函数三角函数定义域定义域sincostanRR,2|Zkk根据三角函数的定义,研究三角函数值在各个象限的符号-+sin cos tanyyxx-+sincostanyOxOxyOxy-tantantantan+-coscosc

6、oscos+-+sinsinsinsin+-xy四余弦四余弦一全正一全正二正弦二正弦符号口诀：符号口诀：三正切三正切例例3 3 求证求证: :当且仅当下列不等式组成立时当且仅当下列不等式组成立时, ,角角为第三角限角为第三角限角sin0,tan0.证明证明: :如果如果式都成立式都成立, ,那么那么为第三象限角为第三象限角. . 若若sinsin000, ,那么那么角的终边可能位于第角的终边可能位于第一或第三象限一或第三象限. . 因为因为式都成立式都成立, ,所以所以角的终边只能角的终边只能位于第三象限位于第三象限. .于是于是为第三象限角。为第三象限角。三、四三、四一、三一、三可以把求任意

7、角的三角函数值可以把求任意角的三角函数值.转化为求转化为求0至至360角的三角函数值角的三角函数值.7.终边相同的角的同一三角函数值相等终边相同的角的同一三角函数值相等sin2sincos2costan2tan.kkkkZ其中公式一公式一角角终边每终边每绕原点旋转绕原点旋转一周一周,函数值函数值将重复出现将重复出现例例4 4 确定下列三角函数值的符号确定下列三角函数值的符号, ,简要阐述理由。简要阐述理由。 1 cos250 ; 2 sin;43 tan672; 4 tan3 .解解:(1)因为因为250是第是第_象限角象限角,所以所以cos250 0 (2)因为因为 是第是第_象限角象限角,

8、所以所以 (3)因为因为tan(-670)=tan(48-2360)=tan48而而48是第一象限角是第一象限角,所以所以 tan(-672) 0(4)因为因为tan3=tan(+2)=tan=0三三4sin 04四四练练练习练习利用三角函数的定义求利用三角函数的定义求 的三个三角函数值的三个三角函数值7631,22yxA(1,0)76O解解:如图如图 与单位圆的交点为与单位圆的交点为7631,2271sin62y 73cos62x 73tan63yx返返练习练习已知角已知角的终边过点的终边过点P(-12,5),P(-12,5),求角求角的三的三角函数值角函数值解解:222212513rxy5

9、sin13yr12cos13xr 5tan12yx 返返口答口答 设设是三角形的一个内角是三角形的一个内角,在在sin,cos,tantan(/2)那些可能取负值那些可能取负值?0,0,22sin0,tan022cos0,tan0确定下列三角函数值的符号确定下列三角函数值的符号 1 sin156 162 cos 53 cos450174 tan 845 sin36 tan 5560cos 2cos055cos450720cos270077tan3tan08842sin2sin033tan 360196sin1960练习练习返返填表填表: :角角090180270360角角的弧度数的弧度数sincostan0232201010010010101.1