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文档简介
1、第五章 平面向量一、向量的相关概念:1.向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量注意:1数量与向量的区别:数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;向量有方向,大小,双重性,不能比较大小2、向量的表示方法:几何表示法:用有向线段表示;用字母a 、b 等表示;用有向线段的起点与终点字母:AB ;坐标表示法:,(y x yj xi a =+=3、向量的模:向量AB 的大小长度称为向量的模,记作|AB |.4、特殊的向量:长度为0的向量叫零向量,记作0的方向是任意的长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.说明:零向量、单位向量的定义都是只限制大小,不确定方向.5、相反向量:与a 长度
2、相同、方向相反的向量记作 -a6、相等的向量:长度相等且方向相同的向量叫相等向量.向量a 与b 相等,记作=b a ; 7、平行向量(共线向量:方向相同或相反的向量,称为平行向量记作b a /平行向量也称为共线向量8、两个非零向量夹角的概念:已知非零向量a 与b ,作=a ,OB =b ,则(=0AOB 叫a 与b 的夹角说明:(1当0=时,a 与b 同向;(2当=时,a 与b 反向;(3当2=时,a 与b垂直,记a b ;规定零向量和任意向量都垂直。(4注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的01809、实数与向量的积:实数与向量a 的积是一个向量,记作a ,它的长度与方向规定如下:(=
3、a a ; (当0>时,a 的方向与a 的方向相同;当0<时,a 的方向与a 的方向相反;当0=时,=0a ,方向是任意的10、两个向量的数量积:已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角为,则cos |=b a b a叫做a 与b 的数量积(或内积 规定00=a11、向量的投影:定义:|b |cos 叫做向量b 在a 方向上的投影,投影也是一个数量,不是向量;当为锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;当为直角时投影为0;当 = 0时投影为 |b |;当 = 180时投影为 -|b |R a b a b =|cos ,称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影二、重要定理、公
4、式:1、平面向量基本定理:1e ,2e 是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有且仅有一对实数21,使+=2211e e a 如图,在直角坐标系内,我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x 、y ,使得+=j y i x a 1 我们把,(y x 叫做向量a 的(直角坐标,记作,(y x a =2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标,2式叫做向量的坐标表示与.a 相等的向量的坐标也为.,(y x特别地,0,1(=i ,1,0(=j ,0,0(0=(2 若,(11y x A
5、,(22y x B ,则(1212,y y x x -=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标2、两个向量平行的充要条件向量共线定理:向量b 与非零向量a 共线的充要条件是:有且只有一个非零实数,使=a b 设,(11y x a =,(22y x b =,则0/1221=-=y x y x b a b a 3、两个向量垂直的充要条件设,(11y x a =,(22y x b =,则 002121=+=y y x x b a b a4、平面内两点间的距离公式(1设,(y x a =,则222|y x a +=或|a = (2如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别
6、为A ,(11y x 、B ,(22y x ,那么(221221|y y x x AB -+-=(平面内两点间的距离公式5、两向量夹角的余弦(0 222221212121|cos y x y x y y x x b a ba +=三、向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量(内积及其各运算的坐标表示和性质 11(,a x y = ,22(,b x y = 特别注意:(1结合律不成立:c b a c b a ( ;(2消去律不成立=ca b a 不能=c b(30=b a 不能得到a =0或b =0乘法公式成立:2222|(-=-=-+b a b a b a b a 22222|2|2
7、(+±=+±=±b b a a b b a a b a线段的定比分点公式: 设点P 分有向线段21P P 所成的比为,即P1=2PP ,则+=+=.1,12121y y y x x x (线段定比分点的坐标公式当=1时,得中点公式:=21(1+2OP 或+=+=.2,22121y y y x x x平移公式: 设点P (x ,y 按向量a =(h ,k 平移后得到点P (x ,y ,则P O '=+a 或+='+='.,k y y h x x曲线y =f (x 按向量a =(h ,k 平移后所得的曲线的函数解析式为:y -k =f (x -
8、h 正弦定理其中R 表示三角形的外接圆半径: (12sin sin sin a b cR A B C= (2a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC (3sin ,sin ,sin ,222a b c A AB C R R R= 余弦定理(12b =222cos a c ac B +-(2bca cb A 2cos 222-+=(312a S a h =;1sin 2S bc A =B ac C ab sin 21sin 21=;附:ABC 的判定:+=222b a c ABC 为直角A + B =22c <+22b a ABC 为钝角A + B <22c >+2
9、2b a ABC 为锐角A + B >2附:证明:abc b a C 2cos 222-+=,得在钝角ABC 中,22222200cos c b a c b a C <+<-+< 在ABC 中,有下列等式成立C B A C B A tan tan tan tan tan tan =+. 证明:因为,C B A -=+所以(C B A -=+tan tan ,所以C BA BA tan tan tan 1tan tan -=-+,结论!三角形的四个“心”;重心:三角形三条中线交点.外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形
10、三边上的高相交于一点.非零向量a有关系是是a 方向上的单位向量 练习题:一、平面向量的概念及其运算1、若向量a 、b 满足b a b a +=+,则a 与b 必须满足的条件为 b a ,方向相同2、若c b =,则等于( B A .c b -B .b c -C .c b +D .c b - 3、正六边形ABCDEF 中,=+EF CD BA ( D A .B .C .D .4、在边长为1的正方形ABCD 中,设c b a =,则c b a +-= 25、在ABC 中,已知3=,则等于( A A .2(31+B .2(31+ C .3(41AB AC +D .2(41+6、在ABC 中,E 、F
11、 分别是AB 和AC 的中点,若b a =,则等于( C A .(21b a + B .(21b a - C .(21a b - D .(21b a +-7、已知:向量b a , 同向,且7,3=b a ,则=-b a 2 1二、平面向量的基本定理及坐标表示8、若115,3e e -=,则四边形ABCD 是( C A .是平行四边形B .菱形C .等腰梯形D .不等腰梯形9、已知4,3(,1,3(,4,2(-C B A 且CB CN CA CM 2,3=,试求点、N M 和MN 的坐标 199页(答案:18,9(,2,9(,20,0(-=N M 10、已知向量4,3(-=a ,则与a 同向的单
12、位向量是( A A .54,53(-B .54,53( C .4,3(- D .4,3(11、已知0,8(,2,3(=-A ,则线段AB 中点的坐标是 (1,2 12、若三点9,(,4,2(,1,1(-x B A P 共线,求x (答案:3=x 13、若向量43,3(2-=x x x a 与AB 相等地,已知2,1(,2,1(B A -,则x 的值为( A A .-1 B .-1或-4 C .4 D .1或4三、线段的定比分点14、已知A 、B 、C 三点在同一条直线上,且A (3,-6,B (-5,2,若点C 的横坐标为6,求点C 分所成的比及点C 的纵坐标(答案:9,113-= 15、若线
13、段AB 的端点3,6(,lg ,(lg -B y x A ,中点0,2(-M ,则=x 100 、 16、已知0,0(O 和A (6,3两点,若点P 在直线OA 上,且PA OP 21=,又P 是OB 的中点,则点B 的坐标为 (4,217、已知直线l 与x 轴,y 轴分别交于点A 、B ,AOB 的重心为(-1,3,则AB 中点坐标为29,23(-18、已知三个点3,4(,4,1(,1,2(-D B A ,点C 在上,且=2,连结DC 并延长至E ,使41=,则E 点的坐标为( D A .(0,1 B .(-8,35-C .(0,1或311,2( D .(38-,311 19、已知点A 5,
14、(x 关于,1(y P R 对称点是3,2(-B ,则点,(y x 到原点的距离是( D A .13B .15C .4D .17四、平面向量的数量积20、已知,33,3,2=b a b a ,则a 与b 的夹角等于 o 30 21、已知ABCD 为菱形,则(-+的值为 0 22、已知5=b ,且12=b a ,则向量a 在b 方向上的投影为 51223、已知向量a 与b 的夹角为o 120,且2,4=b a , (1求a 在b 方向上的投影 (2求b a 43+(3若向量kb a +与b a +5垂直,求实数k 的值 (答案:(1-2,(274,(341924、已知a 、b 满足1,1=b a
15、 且3(2=-b a ,则=b a 21- 25、若b a b a -=+,且a 与b 不共线,则a 与b 的夹角为 o 90 26、已知 3,2(,132-=b a ,且b a ,求a 的坐标27、已知1,(,1,2(=-=b a ,若a 与b 的夹角为钝角,则 的取值范围是( A A .,2(2,21(+- B .,2(+ C .,21(+- D .21,(-28、已知5,5(,0,6(-=b a ,则a 与b 的夹角为 o 13529、已知1,1(,2,3(-B A ,若点21,(-x P 在线段AB 的中垂线上,则x = 47五、平移30、把点A (3,4,按 2,1(=a 平移,求对
16、应点A ' 的坐标,(y x '' (答案(4,6 31、把函数312-=x y 的图象l 按2,1(-=a 平移得到l ',求l '的函数解析式(答案372+=x y 32、一个向量把点(2,-1平移到(-2,1,它把点(-2,1平移到( A A .1,2(-B .(-2,1C .(6,-3D .(-6,333、若向量a 使点(3,-9平移到点(1,1,则将函数21232+-=x x y 的图象,按a 平移后的解析式为( A A .23x y =B .22(3-=x yC .102(32-=x yD .102(32+=x y 34、已知A (5,7、B
17、 (2,3,将按向量1,4(=a 平移后的坐标为 (-3,-4六、解斜三角形35、在ABC 中,已知22,30,45=a A C o o ,求b ( 答案:232+ 36、在ABC 中,已知1,2,45=c b B o ,求a (答案226+ 37、在ABC 中,已知2,33,150=c a B o ,求b (答案7 38、在ABC 中,(15,3,120=c b A o ,求C B sin sin + (2ab c b a c b a 3(=-+,求C (答案:(1734(2o C 60= 39、若三角形的三边长分别为,5,6,则此三角形一定是( A A .锐角三角形B .直角三角形C .钝
18、角三角形D .锐角或钝角三角形 40、在ABC 中,若C b a cos 2=,则ABC 为( B A .直角三角形B .等腰三角形C .等边三角形D .等腰三角形或直角三角形 41、在ABC 中,1,60,3=b A S o ABC ,则a 的值为( C A .13 B .13 C .3 D .9 42、已知三点A (1,2,B (3,1,C (-1,0 (1若ABCD 为平行四边形,求D 点坐标; (2若P 在直线AB =,求P 的坐标 (3求A 的大小(用反三角表示(答案:(1(-3,1;(245,25(P 或21,4(P ;(31010arccos -=A 43、已知 D ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边的长分别为 a 、 b 、 c
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