平面的基本性质空间两直线的位置关系

1、 10.3平面的基本性质 空间两直线的位置关系【知识网络】1、平面的概念及平面的表示法,理解三个公理及三个推论的内容及作用,初步掌握性质与推论的简单应用。2、空间两条直线的三种位置关系,并会判定。3、平行公理、等角定理及其推论,了解它们的作用,会用它们来证明简单的几何问题,掌握证明空间两直线平行及角相等的方法。4、异面直线所成角的定义,异面直线垂直的概念,会用图形来表示两条异面直线,掌握异面直线所成角的范围,会求异面直线的所成角。 【典型例题】例1:(1在空间四边形ABCD 各边上分别取E 、F 、G 、H 四点,如果EF 、GH 交于点P ,那么 ( A.AC P B.BD P C.AB P

2、 D. CD P 答案:A 。解析:P EF 面ABC ,又P G H 面ACD ,由公理2知,P AC =面ABC面ACD 。 (2在正方体AC 1中,M 为DD 1的中点,O 为正方形ABCD 的中心,P 为棱A 1B 1上的任意一点,则OP 与AM 所成角为 ( A 、30B 、45C 、60D 、90答案:D 。解析:取AD 中点Q ,在正方形ADD 1A 1中,A 1Q AM ,从而易证AM 面A 1B 1OQ ,又OP 面A 1B 1OQ ,AM OP 。(3异面直线b a ,成80°角,P 为b a ,之外的一个定点,若过P 有且仅有两条直线与b a ,所成的角相等(都

3、等于,则 ( A 、 400|<<B 、5040|<<C 、9040|<< D 、9050|<<答案:B.解析:当040<< 时这样的直线不存在,当=40°时仅有一条,当=50°时有三条,当5090<< 时有四和。(4正方体的12条面对角线所在的直线中,互相异面的直线共有 对。 答案:30。解析:面对角线中,与AC 相交的有5条,平行的有1条,(自身为1条故与AC 异面的直线有12-5-1-1=5(条,则共有12×5×21=30(对。(5空间四边形ABCD 中,AD=BC=2,E ,

4、F 分别是AB 、CD 的中点,EF=3,则AD 、BC 所成的角为 。答案: 60。解析:异面直线所成角的范围(90,0。例2:已知直线a b ,ca=A ,cb=B.求证:a 、b 、c 在同一平面内. Rt PAD 为等腰直角三角形。 取PD 的中点E ,连结NE 、AE ,NE ,21DC 又AM ,21DC NE AM ,即四边形ENMA 为平行四边形。AE/MN 。 于是PAE 是异面直线PA 与MN 所成的角。PAD 为等腰直角三角形,AE 为斜边PD 上的中线, PAE=45°,即PA 与MN 所成角的大小为45°。 【课内练习】1.下列推理中,错误的个数为

5、 ( l B l B A l A ,; AB B B A A = ,;A l A l ,; C B A C B A ,且A 、B 、C 不共线与重合。 A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 答案:B 。解析:正确。2.垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是 ( A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能 答案:D 。BC AD M N Pl E /=/=/= AD=1,点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点,则异 面直线A 1E 与GF 所成的角是 ( A 、30°B 、45°C 、60°D 、90°答案:D 。解析:A

6、1E/B 1G ,易求B 1G F=90°。 4.判断下列命题的真假:(1 如果平面与平面相交,那么它们只有有限个公共点;(2 过一条直线的平面有无数多个;(3 两个平面的交线可能是一条线段;(4 两个相交平面有不在同一条直线上的三个公共点;(5 经过空间任意三点有且仅有一个平面;(6 如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面就重合为一个平面。其中真命题序号是 (把你认为正确的命题序号都填上。答案:(2和(6。解析:(2和(6为真命题,其余皆为假命题。5.如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有 对。答案:24对。解析:每条侧棱对应于底面

7、的4条棱成异面直线,故有64=24对。 6.在正方体AC 1中,表面的对角线与AD 1成60°角的有_条。 答案:8。7.若角与的两边分别平行,则=70时,_=。 答案: 11070或。解析:由等角定理及其推论知。8.空间四边形ABCD 中,已知AD=1,BC=3,且AD BC ,对角线BD=213,23=AC ,求异面直线AC 与BD 所成的角。答案:解:如图分别取AB 、BD 、CD 、DA 的中点E 、F 、G 、H ,连结EF 、FG 、GH 、HE ,EF AD 21,FG BC 21,GH ,21AC HE BD 21, EFG 为异面直线AD 与BC 所成的角,EFG=

8、90°, GHE 为AC 与BD 所成角,EG=1,02cos 222=-+=HGEH EG HG EH GHE异面直线AC 与BD 所成的角为90°9.在一块长方形木块的面上有一点P ,木匠师傅要用锯子 从P 和CD 将木块分成两块,问怎样画线.1A 1B 1C 1D E G /=/=/=/=BCAD GFHE 答案:过P 作C 1D 1的平行线EF ,连DE 、CF 即可。 10.已知ABC 三边所在直线分别与平面交于P 、Q 、R 三点,求证:P 、Q 、R 三点共线。. 答案:A 、B 、C 是不在同一直线上的三点 过A 、B 、C 有一个平面 又,AB P AB

9、= 且,P 既在内又在内, ,.l P l =同理可证:,Q l R l P 、Q 、R 三点共线.。 【作业本】A 组1.若A 表示点,a 表示直线,、表示平面,则下列各项中,表述错误的是( A 、a ,A a A B 、a ,A a A C 、A ,A ,=a A aD 、a A a A , 答案:B 。解析:由公理一知。2.两条直线异面是两条直线不平行的 ( A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 答案:A 。解析:两条直线不平行包括平行与异面。3.异面直线b a ,成60°角,直线a c ,则直线b 与c 所成的角的范围是 (

10、A 、30°,90° B 、30°,60° C 、60°,90° D 、30°,120° 答案:A 。4.在正方体ABCD-ABCD中,与棱AA异面的直线共有_条。 答案:4。5.在空间四边形ABCD 中,E ,H 分别为AB ,AD 的中点,F BC ,G CD ,且CF :CB=CG :CD=2:3,那么四边形EFGH 是_,若BD=6cm ,四边形EFGH 的面积为28cm 2,则EH 与FG 间的距离为_。答案:梯形;8cm 。解析:由已知12/,/,/23EH BD FG BD EH FG ,但EHFG

11、,四边形EFGH 是梯形,由梯形面积公式知3428,82. (1=1,a ,b ,ab=A (2=a ,b ,b a 答案: 7.如图,在正方体ABCD 1111D C B A 中, E 、F 分别是棱11C D 、11C B 的中点, 求证:EF BD ,且BD EF 21=. 答案:连结11D B . 1BB 1DD , 四边形D D BB 11是平面图形,又1BB =1DD , 四边形D D BB 11是平行四边形, BD 11D B ,在111B D C 中, E 、F 分别是11C D 与11C B 的中点, EF1121D B , 由公理4有EF BD ,且有BD EF 21=。

12、8.已知空间四边形ABCD 中,各边长均为a , 且对角线AD=BC=a ,如图所示,E 、F 分别为AD 、 BC 的中点,连结AF 、CE ,求异面直线AF 与CE 所成的角。答案:解:连结FD ,取FD 的中点O ,连结EO 、OC ,E 、O 分别为AD 、FD 的中点,EO/AF ,则CEO 或其补角即为所求的角。在CEO 中,CE=a a a FO CF CO a AF EO a 47432,4321,232222=+ =+=, 32432324743232cos 222222=- + =-+=a a a a a EO CE CO EO CE CEO AF 与CE 所成角为32ar

13、ccos 。B 组BDEFAC铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构 1分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 A.平行 答案：D. 2空间四点A、B、C、D共面但不共线，则下列结论中成立的是 A、四点中必有三点共线 C、AB、BC、CD、DA四条直线中总有两条直线平行 B.异面 C.平行或异面 D.相交或异面 ( （ ） B、四点中必有三点不共线 D、直线AB与CD必相交 答案：B。解析：选项 B 是一个存在性命题，反设“四点中任意三点共线”，则四点共线与已知矛 盾。 3由正方体的八个顶点中的两个所确定的所有直线中，取出两条，这两条直线是异面直线的概 率为 （ ） A 29 18

14、9 B 29 63 C 34 63 D 4 7 174 29 。 = 2 63 C28 答案：B。解析：由题意知直线只有 C82 = 28 条，其中是异面直线的共有 (C84 - 123 = 174 对。（因为 不共面四点构成三棱锥，其中有 3 对异面直线故所求概率为 P = 4在正方体 ABCDA1B1C1D1 中， M、N 分别为棱 AB、BC 的中点，试判断截面 MNC1A1 的形 状_。 答案：截面 MNC1A1 是等腰梯形。解析：连接 AC，因为 M、N 分别为棱 AB、BC 的中点， 所以 MN/AC，MNAC 又 AC / A1C1 , MN / A1C1 , 且MN ¹

15、; A1C1 , MNC1 A1 是梯形， = 易证 RtDAMA1 RtDCNC1 , A1 M = C1 N MNC1 A1 是等腰梯形。 5设 a ， b ， c 是空间的三条直线，下面给出四个命题： 若 a b ， b c ，则 a / c ； 若 a 、 b 是异面直线， b 、 c 是异面直线，则 a 、 c 也是异面直线； 若 a 和 b 相交， b 和 c 相交，则 a 和 c 也相交； 若 a 和 b 共面， b 和 c 共面，则 a 和 c 也共面 其中真命题的个数是_个 答案：0。 6如图，O 是平面 ABC 外一点， A1 、 B1 、 C1 分别在线段 OA、OB、O

16、C 上，且满足 OA1 = OB1 ， OA OB OA1 OC1 = OA OC 求证：ABC A1B1C1 铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构 答案： OA1 OB1 OB1 OC1 ， ， = = OA OB OB OC OA1 OB1 ， = OA OB OA1 OC1 . = OA OC 在AOB 中，由 A1 B1 AB， 同理 B1C1 BC， ÐA1 B1C1 与ABC 方向相同， ÐA1 B1C1 ABC，同理 ÐB1 A1C1 BAC， A1B1C1 ABC。 7如图，在正方体 E、F 分别是 BB1 、CD 的中点 （）证明 ADD1

17、 F ； （）求 AE 与 D1 F 所成的角。 A A1 D1 B1 E D F B C C1 ABCD - A1 B1C1 D1 中， 答案：（1）证明：因为 AC1 是正方体，所以 AD面 A1 D1 B1 E C1 DC1 又 DF1 Ì DC1，所以 ADD1F. （2）取 AB 中点 G，连结 A1G，FG， 因为 F 是 CD 的中点，所以 GFAD， 又 A1D1AD，所以 GFA1D1， 故四边形 GFD1A1 是平行四边形，A1GD1F。 设 A1G 与 AE 相交于 H，则A1HA 是 AE 与 D1F 所成的角。 因为 E 是 BB1 的中点，所以 RtA1AGABE, GA1A=GAH,从而A1HA=90° , 即直线 AE 与 D1F 所成的角为直角。 8 如图所示， 在空间四边形ABCD中， AB=BD=AD=2。 BC=CD= F为BD中点，求：异面直线AF与DE所成角。 7 3 , AC = ， 延长BC到E使CE=BC， 2 2 D A F B C A D F