罗默高级宏观经济学课后习题答案详解

1、罗默 髙级宏观经济学（第3版）课后习题答案详解861“sz.i”6frl.6zi101 2992.惠琺駐wbi妒sw 惠班山®铺湖城明 # ¥ s w.42棚梅?uxofffiew说豁断阽鸪题禾姑识笛芬祺墟尿躲&$以顶&祐wttl王尿掛芬»识率$oi«*6® *8® *a«*9®$s®61抵第1簞索泡墩长横型1.1 w长率的基本性质。利用一个变量的梢长率等丁其对数的时间抒数的事实证明： (a>两个变量乘积的埘长率等于k増长率的和，即z(o-x(/)r(r).则 z(/)/z(/)=.

2、¥(/)/.¥(/) +y(/)/y(i)(b) 两变屋的比率的梢长率等子其堉长率的差，hpz(r)=x(r)/y 0),贝|j2/z(')=尤/x(f)-穸/r 騫島(c)如果 z(r>= jr(o-，kl|z(r)/z(r) = « x (t)/x (r) 证明：(a) w为一个变录的増长率等t对该变黾取対数gw对时间求疔，那么可财下式: 2(i)_dbiz(r) dlnl.v(r)yp) j z(r) " dr dzw为两个变墩的积的对数等于两个变景枰向对数之和，所以冇下式： 2(，)dina +lny(' dlna('

3、;) dlnf z(z) dr dfdr再而化为下曲的结果：/ v(') f(') /('>_、-(') r 则得到(8)的结果.(b) m为一个变虽的増长率等t对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：z(r) dliiz(r) dlnx(r)/jr(o ' t?= -dr二 di "w为两个变最的比率的对数等于两个变ftfta对数之差，所以有下式： 2(/) =driil(r) -hd_dlna dlnr(') z(r)dr df dr冉尚化为下而的结果：7(/) _v(z)r(/)z x(t)(f)则得到(b)的结果。(c

4、) w为一个变堉的増长率等于对该变录取对数c再对时间求导，那么可得下式：(/) dlnz(r) dln ¥(t)a z(t) =dz_= di又屮子inx (,) = « in x(/).其中a是常数.冇下哳的结果： z _ d a ina _ dina _ x z(t)= dr =a d/ =ttiut则得到co的结果*1.2假设某变ft *的堉长率为常数且在°r>时刻等于在'，时刻下降为0,在时刻逐渐由0上升 到a,在'，时刻之c不变11等于(a) 画出作为时间函数的y的堉长率的阁形*(b) 画出作为时间函数的in x的图形。答：(a)

5、w据的规定，x的垧长率的ra形如图11所示.从0时刻到时刻x的増长率为常数11等于、(>0),为阁形中的第一段.的增长率从0上升到、，对 府于图中的®二段。从，2时刻之g，x的坰长率rt次变为a.阁1-1时间函数x的w长率(b)注意到inx关丁时间r的导数(即inx的斜率等丁 x的増长率，即：dln.y .v dt =x(t)w此，inx关t-fl4间的图形如图1-2所示：从0时刻到时刻，inx的斜本为。(a>0),在时刻，x (» ) 的増长率出现不连续的变化，w此in x的斜率出现扭曲.在q时刻至卜时刻，inx的斜率由0逐渐变为、：从卜 时刻之后，injt的

6、斜率再次变为a (a>0).offll-2 in x关于时间的m形1.3描述下ifii的毎一种变化(如果存在的话)怎样影晌索洛模型的基本图中的持y投资与实标投资线。(a) 析旧率下降.(b) 技术进步率上升。(c)生产函数是柯布一坦格拉斯型，/(*)-*-,并11资本份a上升.(d) 工人们发押®大的努力，使得对于单位有效劳动的资本的旣定值.单位有效劳动的产出比以前史岛. 答：(a)折旧率下降的影响屮丁持f投资线的斜氺力当折旧*下阱后，持y投资线的斜卒下降，持t投资线14右转.而 实投资线則不受彭响。从1 3可以看出，t衡増长跗抒的资本仃墩水平从*卜.升到*“胃。13析旧申下降

7、的影吶(b)技术进步中i:升的影响ftl于待平投资线的斜申为+ <+«0. *'1技术进步*< i.升后，会使持平投资线的斜半人.持t投资线向左转，而实际投资线圃不受影响< 从阁1-1可以看出.丁衡埔松路抒的资木存a水t从r下降到阳1-4技术进步+ i.升对稳态人均资本介过的影吶ffli-4技术进步丰h升对稳态人均资木存进的影响(c)生产函数蛙柯布_道格拉斯型的/(*)=*，并且资木价额a l升的影响由于持下 线的斜半为因此。i:升对持下投资线没有影响，由于实际投资线为而 /(*)=r . w此 =a'm*。、资木份额a i:升时，玄际投资线的变化茄

8、要分情况讨论：对于0<<z<l,如 &u果hu>0,或者*>1，hn >0,即丈际ft资线、rka埼加而上升，则新的实际投资线位于旧的玄际投 资线之k:反之，«oljslna<0,或秆0<*<1，«新的实际投资线位于旧的实际投资线之下：对 于i-l .则新的实际投资线勾旧的实际投资线里合.除此之外，上升对于r的影响还受到，和(n + x+<>)的人小的影呐.如米+a的i.升会使r甲.效ffl 1-5资木份數a上升的影响(d) i:人们发择疋人的努力，使得对干小位有效劳动的资木的既定位中ft有效劳动的产

9、出比以w有见a 的影响：如果修a密集形式的生产函数形式为：«e/(*). b>o,则文际投资线为««/(*).i:人们e加努力的劳动.则卟位有效劳动的产出比以lijwft.即表现为a上升，的i.升会使实际投资线 叫上升：符平投资(n4x+a)t并不受影响.此时.*也从广1:升到jllffl 1-6所示.效的资1.4考虑一个具有技术进步但无人口増长的经济.其se处在yftjis长路径上.现在e设t人数发生了一次 跳跃：(a)在跳跃时刻每卟位有效劳动的产出是i:升、下降还是保持不变？为什么7<b)在新工人出现时，每卟位有效劳动的产出发生初始变化(如果存在的

10、话)之e,小位有效劳动的产出 是否存在任m进一少的变化？如果犮生变化，其将匕升还是下降？为什么？(c)一口.经济再次込到平衡増长路径，此时的每吶位有效劳动的产出是ft于、低于还是等于新工人出现之 w的毎中位有效劳动的产出？为什么？答:(a)假定在r,时刻.1:人数珐发生丫一次离»的i.升，这使捋毎单位有效劳动的投资数s从r下k到 . 从ik i al这一式子中可以5出，由于u.升，而a：和a则没有变化，因此.i会下降.m为广>0,所以每中位有效劳动的投资数s的下降会降低毎p位有效劳动的产.在w】7中，y从y下降到(b在*w处，每f位冇效劳动的投资超过/每小位有效劳动的待t投资，

11、即：。在 处，经济中砧萑和投资超过f析旧和技术进步所葙要的投资数黾，w此*开始i.升.阐若毎i丫i位有效劳动的 资木i.升，毎小位有效劳动的产出也会i.升.m此，1从返回到/,(c)毎屮位有效劳动的资木会持续不断的i:升，夷到返0到w先的资木水r-r.在r处，每小位有效劳动 的投资恰好ai符t投资相等.即：每中位有效劳动的投资抵消f折旧和技术进步所葙要的投资数s。一r经济返 0到下衡增长路抒.*便会返回到*处，从而毎屮位有效劳动的产出也会返0到te先的水t，所以，一r经济再 次达到t衡w长路抒，毎中位有效劳动的产出等于新i:人出现之節的产出.1.5设生产函数是柯布一道格拉斯型的.(a) 找出作

12、为模®参数、4、*和。的函数的r、r-ue的表込式.(b) *的金律值是什么？(c)获得典金律资木存货所茄的储番是什么？ 解：(a)下式描述了毎中位有效劳动的资木的动态力程式： a* :寸(k、- (n +g +5)4 定义柯布一道格拉斯生产函数为：/(*)-*'将其代入卜.式，有下式：k = ska - (n + g + 3)a* 在t衡肩长路&处，毎小位有效劳动的投资恰好4毎小位有效劳动持t投资相等，从而*保待不变，則有下 而结光： 、广(w从i:式可以解出：以卜”(1)下而求解下衡；伦路杼处的每小位有效劳动的产出水t / :将方程(1)代入r(*)-r，m可以解

13、hit衡坩k赂抒处的毎叭位有效劳动的产出水丁/ : ，雪，'(” + *“十)下而求解下衡省k路p处的毎|丫i位有效劳动的消费水t，.将方程(2)代入e =(!-)/,则可以求得t衡増松路抒处的毎屮位有效劳动的消费水下为：11综合i.述a程(1)、(2)和<3)可以whu-s /与，关于模b参数、。、4、jt和a的函数表达式.(b) 典金申的资木存坌水t是伤毎中fe有效劳动的消费水t达到j8火化时的资木存蛍水平。考察这一捎标 的®义在干考察朴会的福利水t,这也是经济学一切分析的核心所在，比考察资木、产出等经济变世史有总义、 由方程<d可以解出、，即：叫(4) 将i

14、 .式代入a程(3),有下式：c. = i -+ dw卜+<>) at/(/»” + d ) 卜)i.式可以簡化为:(5)即每屮位有效劳动的消*于毎小位有效劳动的产出去毎屮位有效劳动的文际投资，而均衡状态时，毎单 位有效劳动的实际投资等干毎单位有效劳动的持7投资。下而求。'关子r的磁优化，可以由(5)衔出： etc /dk' 0再简化为： (h + < +<s)(6)方程(6)的定义w含了w金規则的资木水下，其中，a程(6左边，闵为 w'=/» 则，/()= (« wj) 表明生产函数的斜牛等于持t投资的斜申，可以由

15、方程解出叛金规则要求的s佳资木水t.即i的ft金律位： *二 a/(”* j8 *0卜，(c)将方程(7)代入力程(4)即可以得到再金规则所苌求的资木水v:=(n* c*)a/(n + x+<f)p'*>，<，"，> 进一步简化为：fa由方程(8)可以捋出：对干柯布一道格拉斯生产函数.掛金熳则所荽求的钇蓄卒等于产出的资木wm:，也 即资木的产出份额.1.6考虑一个1e处在平衡增长路抒i.的索洛经济.为了简化分析.假设不存在技术进步并且现在人口坩长 韦下降，(a) 每个1：人平均资本、每个r人t均产出与每个r人平均ffl#等的均衡增长路径的值发生f什么变

16、化7 柿述这些经济变s移向其新t衡增长»抒的路抒.(b) 描述人口增长的下降对产出(即总产出而*毎个t人下均产出的)路抒的影响.答，(w由于不存在技术进少.这里可以不考虑技术w索.将每小位有效劳动®化为t均劳动,5e义：y = r / l .由干待t投资线的斜氺为w此，人口坩氏半。的下降会使恃t投资线的斜本变小，wt投资线迈加 平坦.每个i:人下均资木的动态人程为：k- (8 + n)k由于。下降，这会好致i变为t数(在平衡埤长路抒1.，*为0,即资木介s处子珀佳水v),在/处，每个因而，会烟加，移向，如p8所r人t均丈际投资塞f (r)超过了每个x人t均持丁投资，示，ff

17、ll-8人口埼下降对毎个t人y均稳态资木、下均稳态产出的影响 随若毎个丁人下均资木的坩加，由-/(*)可以知道每1：人t均产出会上升.又wc-(l-4)y .由于，不 变,而 i.升.因此每个工人平均消费会上升.如w1-9所示其中，ffl 1-9 (1)为每个i:人平均资木的变化ffi，ffl -9 (2)为毎个丁人t均产出的变化1礼ffl 1-9(3) 为毎个£人t均消费的变化阁.(1匁丁人t灼资本的交化(2)毎丄人妒均产出泌i化(3)毎丄人利姆的，i化ffll 9每个i.人平均资木、产出、消费的变化(b)由®义/£则r的增长中为yiy-ul”fy .在开始的t

18、衡壜长路& i., y/j-0. w此， y/y=ul=nt在ft终的t衡沒长路径i.，y/yuln. n.因此.人口增长的下降会导致总产出的增长* 下降，如w1-10所示h 1 io总产出坩长申的下降y.吹朽c炙级宏现什济:？之阡并上祆爻次迎的标 浪次奴公吒怂洛宇发岈之一.足泶&螭忒弋句艺片f要 參考书，也咬习叫邛兮饮戈&杖介北火幻考矽考寸5 -*5 f： ： t 84-学fl更好g竿：欢 <為饫.宏？4经$ 学c典教n|,氏q崤心姊:k tc於祕乎用书1. 歹欢名级宏屯tt冷学(»3«)汉后幻昂洋柝2. y及夺级丈及妗济？【教材精淤一扑右彳

19、題+许1讲义与从分浞li h?小u i各鸲相.分】丄y?< c筠边戈及抒济亇私套哒泣【渾后习吸十章 节过涔f含考研考博兔超)+棄拟试起1木保后习®详解艽30gm有法要的刖友洁加扫一扫公众平台联系qq: 2642209393网址：http/xbw. looxuexi. com(2)dn_rn+g+gj(3)1.7找出t衡增长路径上每小位有效劳动的产出/关于人口増长申。的弹性.如.（*-）=1/3. t = 以及«3%,，由2%下降至将会/使提冉多少？解：由干所以对该式两边对.求导fi.有下式的结果:dyfcn =而改5、位可以从资木的动态方程式中w找，在t%增长ks上，

20、4.0此有：卜卜对两边关于。求导，得到下式:f(aw )- = (n dntinakdziif (a * ) - ( n + g + )将方程（2）代人（1）式，榑:由!/(*)= jf 4-<5 求解 i，可w:将方程（4）代入（3）式，可得： d） w)k.r（r）r/f（r）求/关于。的殚14.形式:n dy(5)7$(« +4-5) :f(a.)a."u” -1产出的资木弹性为uc（t-）=r（r）r/（r）代入（式:) dn (n +5)lj ak(a e )将«r（r）=l/3s , = 2%以及=,。由2%下降t. 154代入，其巾。取巾位，为

21、0.015,有下式的结果:(>15( 1/3 飞(0.015 »0.02 i (l03)l i 1/3 .)闵此，。由2%下降平1%，下降f議，则产出会i.升6%（12% 50% =6% ）可以发现，人口肩长申的大輞度下降并不会导致产出的人ffi凌増长.i.述结论有苷极其it要的价位。在索洛検进巾，在解籽经济烟长的ki闵时.尜洛从资木的以解科，但 他发现，资木的差w既不能解杆人*历史i:长期的増长.也不能w汗跨s之阏的差ff:在索洛楨型&來i好致经 济增主要的蚣因在于有效劳动.木题则从劳动数埜的沏凌解籽壜氐，发现效果并不明131-8没在焚3,投资所占产出的价额永久件地由0j5 i.升0.】8,并设资木份额为1/3,(a) 相对于投资不上升的怕形，产出摄终人约上升多少？(b) 相对干投资不上升的情形，消费人约上升多少？(c) 投资増加对消的直接影响是什么？消费要恢复到不存在投资增长时的水t，洧要花费多长时间？ 解:(a)投资所占产出的份额永久性地由0.15 1.升5 0.18,上升20%,表明ws率i.升f 20%.由教材(1.27>可以知道产出关于ws的w性公式为：“y. _ au.)y" _i -(r> 产fh的资木种件，这设市场趫完全竞争的.不存在市场扭曲.资木取其边际产品，即产出的 资木邳性近似