广东省佛山市届高三教学质量检测(一)数学理试题

1、.2013年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数 学（理科）本试卷共4 页， 21 小题，满分150 分考试用时120 分钟注意事项：1答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目2选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4请考生保持答题卷的整洁考试结束后，将答题卷和答题卡交回参考公式： 柱体的体积公式VShS为柱体的底面积，h为柱体的高，其中锥体的体积公式 V1 Sh，其中 S 为柱体的底面积

2、， h 为锥体的高3标准差 s1 ( x1x )2( x2x) 2 L(xnx)2 ，其中 x 为样本 x1 , x2 , L , xn 的平n均数一、选择题： 本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设 i 为虚数单位，则复数i等于2iA 12 iB12 iC 12 iD12 i555555552命题 p : xR , x211，则p 是A x R , x21 1B x R , x21 1C x R , x21 1D x R , x21 1223已知 a(1,2) ， b(0,1) ， c( k, 2) ，若 (a 2b)c ，

3、则 k3A 2B 8正视图侧视图C2D 84一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A9B1023C11D 211俯视图第4题图.5为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近的6 次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x甲 ， x乙 ，则下列说法正确的是A x甲x乙 ，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛B x甲x乙 ，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛第5题图C x甲x乙 ，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛D x甲x乙 ，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛yx6已知实数 x, y 满足 xy1 ，则目标函数

4、z 2 xy的最大值为y1A 31C 5D 6B27 已知集合Mx | x4 | x1|5 ， Nx ax6 ,且MIN2,b ,则a bA 6B 7C 8D 98对于函数 yf ( x) ，如果存在区间 m, n ，同时满足下列条件：f ( x) 在 m, n 内是单调的；当定义域是 m, n 时， f (x) 的值域也是 m, n ，则称 m, n 是该函数的 “和谐区间” 若函数 f (x)a11 (a0) 存在“和谐区间”，则a 的取值范围是axC(1,5)A (0,1)B (0, 2)D (1,3)22二、填空题： 本大共 7 小题，考生作答6 小题，每小题 5 分，满分30 分(

5、一) 必做题 (9 13 题)9已知函数 yf (x) 是奇函数，当 x0 时， f (x) = log2 x ，则 f ( f ( 1 ) 的值等于410已知抛物线 x24 y 上一点 P 到焦点 F 的距离是5 ，则点 P 的横坐标是 _11函数 ysin xsin x3的最小正周期为，最大值是0123.12某学生在参加政、史、地P624ab三门课程的学业水平考试中，取得125125A 等级的概率分别为4 、 3、 2，555且三门课程的成绩是否取得A 等级相互独立 . 记为该生取得 A 等级的课程数， 其分布列如表所示，则数学期望E的值为 _.13观察下列不等式： 11； 112； 11

6、13 ； 2262612则第 5个不等式为( 二 ) 选做题 (14 15 题，考生只能从中选做一题)14（ 坐标系与参数方程 ）在极坐标系中，直线l 过点 (1,0) 且与直线（R ）垂直，则直线 l 极坐标方程为3DC15（ 几何证明选讲 ）如图， M 是平行四边形ABCD 的边 AB 的EF中点，直线 l 过点 M 分别交 AD, AC 于点 E, F AMB若 AD3AE ，则 AF : FCl第 15题图三、解答题：本大题共6 小题，满分80 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤16（本题满分12 分）如图，在 ABC 中，C 45o ， D 为 BC 中点， BC 2 .A记

7、锐角 ADB且满足 cos2725（ 1）求 cos ；（ 2）求 BC 边上高的值CDB第16题图.17（本题满分12 分）数列 an的前 n 项和为 Sn2n 12 ，数列 bn是首项为 a1 ，公差为 d ( d0) 的等差数列，且 b1,b3, b11 成等比数列（ 1）求数列a与 b的通项公式；nn（ 2）设 cnbn，求数列c 的前 n项和 Tn ann18（本题满分 14 分）如图所示，已知AB 为圆 O 的直径，点 D 为线段 AB 上一点，P且 AD1 DB ，点 C 为圆 O 上一点，且 BC3AC 3点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点D， PDDB （ 1）求证：

8、PACD ；（ 2）求二面角 CPB A 的余弦值BADOC第 18题图19（本题满分14 分）x （单位：吨）满足函某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量数关系式 C 3x ，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式.3xkx 6)5, (0Sx 814,(x6)已知每日的利润 LS C ，且当 x2时， L 3（ 1）求 k 的值；（ 2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值20（本题满分14 分）设椭圆 x2y21( ab 0) 的左右顶点分别为 A( 2,0), B(2,0) ，离心率 e3a2b22过该椭圆上任一点P作PQx 轴，垂

9、足为 Q ，点 C 在 QP 的延长线上，且 | QP | | PC |（ 1）求椭圆的方程；（ 2）求动点 C 的轨迹 E 的方程；（ 3）设直线AC （ C 点不同于 A, B ）与直线 x2 交于点 R ， D 为线段 RB 的中点，试判断直线 CD 与曲线 E 的位置关系，并证明你的结论21（本题满分14 分）设 g (x)ex ， f ( x) g x (1 )ag (x) ，其中 a,是常数，且 01（ 1）求函数f ( x) 的极值；（ 2）证明：对任意正数a ，存在正数 x ，使不等式ex 1 1 a 成立；x（3）设 1, 2 R+ ，且 12 1，证明：对任意正数a1 ,

10、a2 都有： a11 a221a12 a2 .2013 年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，满分 40 分 题号12345678答案ACBCDCBA二、填空题： 本大共7 小题，考生作答6 小题，每小题5 分，满分 30 分9110411 2（2 分）， 3（3 分）912 51111151361220302sin()1（或2cos()1、 cos3sin1 ）1: 414 21563三、解答题： 本大题共6 小题，满分80 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤16（本题满分12 分）解析： （ 1） cos

11、 22cos 217， cos29，2525(0,2)，3cos-5分5（2）方法一、由（ 1）得 sin1cos24 ，5 CADADBC45o ，sinCADsin() sincoscossin2，44104-9分在 ACD 中，由正弦定理得：CDAD，sinCADsinCCDsinC12AD25，sinCAD210-11分则高 hAD sin ADB 544-12分5方法二、 如图，作 BC 边上的高为 AHCD B在直角 ADH 中，由（ 1）可得 cosDB3第 16题图AD，5AH.则不妨设AD5m,则DH3m, AH4m-8分注意到C =45 o ，则AHC 为等腰直角三角形，所

12、以 CDDHAH，则1 3m4m-10分所以m1，即AH4-12分17（本题满分12 分）解析：（ 1）当 n2 ，时 anSnSn 12n 12n2n ，-2分又 a1S12112 221 ，也满足上式，所以数列an的通项公式为an2n -3分b1a1 2，设公差为 d ，则由 b1, b3 ,b11 成等比数列，得(2 2d)22(210d )，-4分d 0d3解得（舍去）或，-5 分所以数列 bn 的通项公式为bn3n 1-6 分b1b2b3Lbn2 5 8L3n 1，（ 2 ） 由 （ 1 ） 可 得 Tna2a3an2122232na1-7分583n12Tn2L，122n122-8分

13、两式式相减得Tn 233L33n1，21222n12n.-11分31Tn 22(12n 1 )3n 153n 5，112n2n2-12分18（本题满分14 分）解析： （） 法 1：连接 CO ，由 3ADDB 知，点 D 为 AO 的中点，P又 AB 为圆 O 的直径， AC CB ，由 3ACBC 知， CAB60o ， ACO 为等边三角形，从而CDAO -3分点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点D ，ADB PD平面 ABC ，又 CD平面 ABC ，O PDCD ， -5分C由 PDI AOD得，CD平面 PAB ，又PA平面PAB， PACD -6分（注：证明 CD平面 PAB

14、 时，也可以由平面PAB 平面 ACB 得到，酌情给分）法 2： AB 为圆 O 的直径， ACCB ，在 RtABC 中设 AD 1，由 3ADDB ， 3ACBC 得，DB 3 ，AB4，BC 23 ， BDBC3，则BDC BCA ，BCAB2BCABDC，即CDAO -3分点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点D ， PD平面 ABC ，又 CD平面 ABC ，-5分PDCD，由 PDI AOD得， CD平面 PAB，又PA平面PAB， PACD -6分法 3： AB 为圆 O 的直径，ACCB，.在 RtABC 中由 3AC BC 得，ABC30o ，设 AD1，由 3ADDB 得

15、， DB3，BC 23 ，由余弦定理得， CD 2DB 2BC 22DBBC cos30 o3，CD 2DB 2BC 2，即CDAO -3分点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点D ， PD平面 ABC ，又 CD平面 ABC ，-5分PDCD，由 PDIAOD得，CD平面 PAB ，又PA平面PAB， PACD -6分（）法 1：（综合法）过点D作DEPB，垂足为E，连接CE -7分P由（ 1）知 CD平面 PAB ，又 PB平面 PAB ， CDPB，又 DEI CDD ， PB平面 CDE ，又 CE平面 CDE ，E CEPB ， -9分DEC 为二面角 C PBA 的平面角-10

16、分ADB由（）可知 CD3，PD DB3 ，O（注：在第（）问中使用方法1 时，此处需要设出线段的长度，酌情给分）C PB3 2，则PD DB932DE32，PB2在 RtCD36CDE 中， tan DEC3 2，DE32cos DEC15即二面角 CPBA 的余弦值为，515 -14分5uuuruuuruuurx 轴、 y 轴和 z 轴的正向，法 2：（坐标法）以D 为原点， DC 、DB 和DP 的方向分别为建立如图所示的空间直角坐标.系（注：如果第（）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明-8分CDAB ，酌情给分）设 AD1，由 3ADDB，3ACBC得， PDDB3，CD3， D

17、(0,0,0) ， C ( 3,0,0) ， B(0,3,0) ， P(0,0,3) ，uuur( 3,0,uuur(0,3,uuur(3,0,0) ， PC3)， PB3)，CD由CD平面PAB ，知平面PAB的一个法向量为uuur(3,0,0)CD-10 分设平面 PBC 的一个法向量为n( x, y, z) ，则zuuur0Pn PC3x3 y0，令 y1，则 x3 ， z1nuuur0，即，PB3y 3z 0 n(3,1,1) ， -12分设二面角 CPBA 的平面角的大小为，uuur315则 cosn CD， -13分ADuuur535O| n | |CD |By二面角 CPBA 的

18、余弦值为15 -14 分Cx519（本题满分14 分）2xkx 6解析：（）由题意可得：L2,0x 811x, x 6-2分k因为x 2时，L 3 ，所以3 2 2228，.-4分解得k 18.-5分（）当0x 6时， L182 ，所以2x8xL（） 1818=2(8x)18 182（） 18186 -2 x8x8 x2 8xx88-8 分18当且仅当2(8 x)，即x5时取得等8x.号-10分当x6时，L 11 x 5 -12分所以当 x5 时， L 取得最大值6 所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元-14 分20（本题满分14 分）解 析 ： （ 1 ） 由 题 意 可 得

19、 a2c3， c3 ， e2a-2分 b2a2c21，所以椭圆的方程为x2y21-4分4（ 2 ） 设 C ( x, y)xx0x0x， P( x0 , y0 )， 即，由题意得2 y0yy01 x2-6分又 x02y021，代入得 x2(1y)21 ，即 x2y24 442即动点C的轨迹E的方程为x2y24 -8分（ 3）设 C (m, n) ，点 R 的坐标为 (2, t) ，uuuruuur A,C, R 三点共线， AC / AR ，uuuruuur(4, t ) ，则 4nt(m 2) ，而 AC(m 2, n) ， AR t4n，m2(2, 4n为 (2, 2n点R的坐标为) ，点

20、D的坐标) ，m2m2-10分2nn( m 2)n 2nmn直线 CD 的斜率为 km2，m24m 24m2.而 m2n24 ， m24n2 ，kmnmn2n-12分直线CD的方程为m() ，化简得，ynnx mmxny 40圆心 O 到直线 CD 的距离 d442r ，m2n24所以直线CD与圆O切-14分21（本题满分14 分），相解析：（1）f ( x)g x (1)ag ( x)，-1分由 f (x)0 得， g x (1)a g (x) ， x(1)ax，即 (1)( xa) 0 ，解得 xa ， -3分故当 xa 时， f ( x)0 ；当 xa 时， f ( x)0 ；当 xa 时， f ( x) 取极大值，但f (x) 没有极小值 -4分（2