二元一次方程组应用题分类

1、二元一次方程组应用题分类精析列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：（ 1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；2）找：找出能够表示题意两个相等关系；3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案一、倍分问题例 1、甲乙二人，若乙给甲10 元，则甲所有的钱为乙的的钱为乙的2 倍多 10 元，求甲乙各拥有多少钱？解：设甲原来有X 元，乙原来有Y 元。X+10=3 （ Y-10）X-10=2 （

2、Y+10 ） +103 倍，若甲给乙10 元，则甲所有1、一块矩形草坪的长比宽的2 倍多10 米，它的周长是132 米，则宽和长分别是多少？提示：设宽为X 米，长为Y 米Y-2X=102（ X+Y）=1322、一批书分给组学生，每人6 本则少 6 本，每人5 本则多5 本，该组共有多少名学生，这批书共有多少本？提示：设有X 名学生， Y 本书，6X=Y+65X+5=YX=11 ， Y=603、某班学生有x 人，准备分成y 个组开展活动，若每个组人，则差5 人 .求全班的人数和所分组数。7 人，则余3 人；若每个组8提示：设全班有7y3xx59x, 所分组数为 y 组，则5；y88 yx4、三年

3、级有学生246 人，其中男生比女生人数的2 倍少 3 人，求男、女生各有多少人？提示：设男生有X 名，女生有 Y 名X+Y=246Y=2X-35、甲乙两条绳共长17 米，如果甲绳子减去五分之一，乙绳增加1 米，两条绳子相等，求甲、乙两条绳各长多少米？提示：设甲绳长X 米，乙绳长 Y 米，则X+Y=17X-1/5X=Y+16、已知长江比黄河长836 千米，黄河长度的6 倍比长江长度的5 倍多 1284 千米， 求黄河、长江各长多少千米？提示：设黄河长度为X 米，长江长度为Y 米，则X-Y=8366Y-5X=12847、甲乙两个商店各进洗衣机若干台，若甲店拨给乙店12 台，则两店的洗衣机一样多，若

4、乙店拨给甲店 12台，则甲店的洗衣机比乙店洗衣机数的5 倍还多 6 台，求甲、乙两店各进洗衣机多少台？X-2=12+125（ Y-12 ）+6=X+128、小红和小华各自购买新书若干本，已知小红买的比小华的2 倍多 6 本，如果小红给小华9 本，则小华是小红的2 倍，小红和小华各买新书多少本？提示：题中有两个未知数- 小红买的新书、小华买的新书；题中有两个相等关系（ 1）小红买的新书2X 小华买的新书=6；（ 2） 2X （小红买的新书9） =（小华买的新书解：设小红买新书X 本，小华买新书Y 本，根据题意得X 2Y=62X（ X 9）=Y+9+9 ）解得 X=16 ， Y=59、把 3 米长

5、的铁丝分成两段，做成一个正方形和一个长方形框，已知长方形的长是宽的2倍，长方形的长比正方形的边长长0。3 米，求两个图形的面积。提示：设长方形框的宽为x，则长为 2x,再设正方形的边长为y 米，根据题意，得 2(x+2x)+4y=32x-y=0.3 解得 x=0.3,y=0.3, 长方面的面积 =0.18正方形框的面积=0。 09。10、有甲、乙两条绳子，其中甲绳长的3/8与乙绳长的1/3叠合后，全长238 厘米，求甲乙两绳长各是多少厘米？提示：设甲绳长是 x 厘米，乙绳长是 y 厘米。则 3/8x=1/3yx+(1-1/3)y=238 解得 x=136 y=153.11、小明春节原有压岁钱若

6、干元，先用去一部分， 剩余的钱为用去的2 倍，后来又用掉1200元，最后剩下的钱为原有的三分之一，问小明原来有压岁钱多少元？提示：设原有X 元，先用去Y 元X-Y=2YX-Y-1200=1/3X。解得X=3600元。12、某化妆晚会上，男生脸上涂蓝色油彩，女生脸上涂红色油彩，游戏时，每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2 倍少 1 人，而每个女生都看见涂蓝色的人数是涂红色人数的3 5，则晚会上男、女生各有几人？分析：每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的倍少人，这里涂蓝色油彩的人数不是题中所有男生的人数，而是除自己之外的男生人数，同理， 女生看到的人数关系也应是除去自

7、己以外的男、女生人数关系。正解： 设晚会上男生有x 人，女生有y 人。把代入，得y 3/52(x 1) 11 ，所以 x12答： 晚会上男生有 12 人，女生有21 人。13、某班有学生 49 人，一天该班一男生因事请假，当天的男生人数恰好是女生人数的一半，男生有 17 人，女生有 32 人二、年龄问题解这类问题的基本关系是抓住两个人年龄的增长数相等。年龄问题的主要特点是：时间发生变化，年龄在增长，但是年龄差始终不变。年龄问题往往是“和差”、“差倍”等问题的综合应用。解题时，我们一定要抓住年龄差不变这个解题关键。例 1、父子的年龄差 30 岁，五年后父亲的年龄正好是儿子的 3 倍，问今年父亲和

8、儿子各是多少岁？解：设今年父亲的年龄为X 岁，儿子的为 Y 岁，则根据（ 1）父子的年龄差30 岁，可列式得： X-Y=30 ；（ 2）五年后，父亲的年龄是X+5 岁，儿子的年龄是Y+5 岁；由五年后父亲的年龄正好是儿子的3 倍，可列式得： X+5=3（Y+5 ）（ 3）联立两式，得今年父亲的年龄是40岁，儿子的年龄是10 岁。X-Y=30X+5=3 （ Y+5 ）例 2：1998 年，甲的年龄是乙的年龄的4倍。 2002 年，甲的年龄是乙的年龄的3 倍。问甲、乙二人 2000 年的年龄分别是多少岁?A 34 岁， 12 岁 B32 岁， 8 岁 C36 岁， 12 岁 D34 岁， 10 岁

9、【答案】 D 。 解析：抓住年龄问题的关键即年龄差，1998 年甲的年龄是乙的年龄的4 倍，则甲乙的年龄差为3 倍乙的年龄， 2002 年，甲的年龄是乙的年龄的3 倍，此时甲乙的年龄差为 2 倍乙的年龄，根据年龄差不变可得3 1998 年乙的年龄 =2 2002 年乙的年龄3 1998 年乙的年龄 =2 （ 1998 年乙的年龄 +4）1998 年乙的年龄 =8 岁则 2000 年乙的年龄为 10 岁1、 学生问老师： “您今年多少岁了？”老师风趣的说：“我像你这样大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经37 岁了”试求老师和学生的年龄各是多少？提示：设老师为 X 岁，学生为 Y 岁，（ 1

10、）老师年龄增加的同时学生的年龄也在增加，“我像你我样大的时候， ”可以得知老师是Y 岁，老师由 Y 岁增加到 X 岁，增加了 X-Y 岁；学生由 1 岁增加到 Y ，增加了 Y-1岁。增加的年份是相等的量。即：X-Y=Y-1；（2）老师由X岁到 37 岁时，增长的量是37-Y ；学生由 Y 岁增加到 X 岁，增长的量是X-Y ，二者相等。X-Y=Y-137-X=X-Y解得 X=25 ； Y=13 。2、甲乙两人在聊天，甲对乙说：当我的岁数是你现在岁数时，你才4 岁。 ”乙对甲说： “当我的岁数是你现在的岁数时，你将 61 岁。 ”你能算出他们两人各几岁吗？提示：设甲乙他们的岁数分别是X、 Y（

11、 1）当我的岁数是你现在的岁时，你才4 岁，由这句话得知，当时甲是Y 岁，乙是4 岁，甲由 Y 岁到 X 岁，增加了 X-Y ，乙增加了 Y-4 ，二者是相等的；（ 2）乙对甲说： “当我的岁数是你现在的岁数时，你将61 岁。 ”这句得知，乙的岁数由 Y 变为 X ，增加了 X-Y ，甲呢由 X 岁变为 61 岁，增加了 61-X 。二者增加的量相等。联立方程可得X=42 Y=233 、现在父亲的年龄是儿子年龄的 3 倍， 7 年前父亲的年龄是儿子年龄的 5 倍，问父亲、儿子现在的年龄分别是多少岁？提示：设父亲和儿子的年龄分别为 X 和 Y，现在父亲的年龄是儿子年龄的 3 倍，由这句话得 X=

12、3Y ，“ 7 年前父亲的年龄是儿子年龄的 5 倍，”由这句话得 7 年前父亲的年龄是 X-7 ，儿子的年龄是 Y-7 ，所以得到 X-7=5 （Y-7 ）解得 X=42 ，Y=14三、数字问题1、 56 十位上的数字5 表示5个10，个位上的数字6 表示6个1，那么 56 可写成5X10+6。2、（ 1）一个三位数百位上的数字是a，十位上的数字是b，个位上的数字是c。请你表示出这个三位数：设百位上的数字为x，则这个百位数可表示为：100 x+10 （ x+3） +（ x+5 ）（ 2）已知：一个三位数十位上的数字比百位上的数字大3，个位上的数字比十位上的数字大 2。请你表示出这个三位数：设百

13、位上的数字为x，则这个三位数可表示为：100 x+10 （ x+3 ） +（ x+5 ）（ 3）若各位上的数字之和不大于11，求这个三位数。x+ （ x+3） +（ x+5 ） 113、326=3210 +6=3100+267321=73100+211234=12100+34abc 表示一个三位数，则abc=a100+bc=ab10+c若 abcd 表示一个四位数，则abcd=ab100+cd例 1：两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数， 也得到一个四位数。 已知前一个四位数比后一个四位数大 2178，求这个两位思考

14、：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，1、 在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数可表示为100X+Y2、 在较大的两位数的左边写上较小的两位数，得到一个四位数可表示为100Y+X解：设在较大的两位数为x，较小的两位数为y，则有x+y=68(100 x+y) (100y+x)=2178解得 x=45 y=23答：这两个两位数分别是45 和 23例 2：一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45；又已知百位数字的9 倍比由十位和个位数字组成的两位数小3，求原来的三位数。解：设百位数字为x，由十位和个位数字组成的两位数为y，则原来的三位数为100 x+y ，对调的

15、三位数为10y+x ，则9x=y 310y+x=100 x+y 45x=4y=39100 x+y=4 100+39=439 。则原来的三位数为另解：设百位数字为x，十位数字y，个位数字为 z，则有9x=10y+z 3(100 x+10y+z) (100y+10z+x)=45得 x=410y+z=9x+3=39则原来的三位数是100 x+10y+z=100 4+39=4391、 有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数分析：本题涉及两位数的计算问题从实际问题中可的两个相等关系：（ 1）个位数字十位数字 =5；（ 2）新数

16、+原数 =143根据这两个相等关系，可通过设十位数字为x，个位数字为 y，列方程组求到十位数字和个位数字，然后确定两位数.解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y根据题意，得y x5,解这个方程组，得x4,(10yx)(10 xy9.y) 143.所以这个两位数是4 10+9=492、 有一个两位数和一个一位数，如果在这个一位数后面多写一个0，则它与这个两位数的和是 146，如果用这个两位数除以这个一位数，则商6 余 2，求这个两位数和一位数.分析：一位数后面多写一个0，则这个一位数扩大了10 倍 , 如果两位数为x, 一位数为y, 则根据两位数的和为146 可得 x+10y=146; 根

17、据被除数 =除数商数 +余数可得 x=6y+2, 由此可得到方程组 . 通过解方程组确定两位数和一位数.解：设这个两位数为x，这个一位数为y，根据题意 , 得x10 y46,x56,x6y，解得9.2y所以这个两位数为56, 一位数为 9.3、有一个两位数， 其值等于十位数字与个位数字之和的4 倍，其十位数字比个位数字小 2，求这个两位数设这个两位数的十位数字为 x，个位数字为 y，10 xy4( xy),则可列方程组为yx2.x2,解这个方程组，得所以这个两位数为24y4.4、一个三位数和一个两位数的差为 225，在三位数的左边写这个两位数，得到一个五位数，在三位数的右边写上这个两位数， 也

18、得到一个五位数， 已知前面的五位数比后面的五位数大225，求这个三位数和两位数.设三位数为x，两位数为yxy225(1000yx)(100 xy)225x250解得y25这个三位数是250，两位数为255、如下图，在33 的方格内，填写了一些代数式和数（ 1）在图中各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出x、 y 的值；（ 2）把满足（ 1）的其它6 个数填入图的方格内分析： 本题是一道与表格数字排列有关的信息试题，根据各行、 各列及对角线上的数字和相等，可列方程组解决所列的方程组不惟一解：（ 1）由已知条件可得2x32 4 y (3)，22xy4y4 y( 3)2x，解得1y1（ 2）

19、将x1， y1代入表格，所得表格如图所示6、甲、乙两人做加法，甲将其中一个加数后面多写了一个0，所得的和是2342，乙将同一个加数后面少写了一个0，所得的和是 65，求原来的两个加数原来的两个加数分别是42 和 230提示：设这两个加数分别是x、 y，其中 y 是两人同时看错的数，根据题意，得x10y2342,x165.y107 、有一个三位数，各数位上的数字之和等于14 ，个位上的数字比十位上的数字大把百位上的数字与个位上的数字对调，所组成的新数比原数的3 倍多 98 ，求这个三位数是多少？提示：设百位数字是x，十位数字是y，个位数字是z，根据题意，得xyz14,zy4,100z10 yx3

20、(100 x10 yz) 98.这个三位数是 248 8 、已知二位数，其十位数字的3 倍与个位数字的和是21 ，它的个位与十位数字对调后，所得的新数比原数大9，请问原数是多少？提示：设十位数字为X ，个位数字为Y ，此二位数为10X+Y ；依题意得 3X+Y=2110Y+X= （ 10X+Y ） +9解得原数为56 。1/10 倍。解：设被加数为x，加数为y，则 x+10y=2342x+1/10y=65，解得x=42 y=230。规律方法一般性应用题（和差倍问题）学校的篮球比足球数的2 倍少 3 个，篮球数与足球数的比为3： 2，求这两种球队各是多少个？（和差倍问题）一次篮 ,排球比赛,共有

21、 48 个队 ,520名运动员参加,其中篮球队每队10 名,排球队每队12 名,求篮 ,排球各有多少队参赛？（和差倍问题）一次篮、排球比赛，共有48 个队，520 名运动员参加，其中篮球队每队10 名，排球队每队12 名，求篮、排球各有多少队参赛？（和差倍问题）有甲、乙两种金属，甲金属的16 分之一和乙金属的33 分之一重量相等，而乙金属的55 分之一比甲金属的40 分之一重 7 克，求两种金属各重多少克？（和差倍问题）某厂第二车间的人数比第一车间的人数的五分之四少30 人.如果从第一车间调10 人到第二车间， 那么第二车间的人数就是第一车间的四分之三.问这两个车间各有多少人？（和差倍问题）今

22、年，小李的年龄是他爷爷的五分之一. 小李发现，12 年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一. 试求出今年小李的年龄.（和差倍问题）小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来两个加数分别是多少？（和差倍问题、行程问题）一条公路，第一天修了全程的8 分之一多5 米；第二天修了全程的5 分之一少 14 米，还剩63 米，求这条公路有多长？（和差倍问题、行程问题）某老翁将一根长草绳剪成前、中、后三段，中段长等于前段长加后段长，后段长等于前段长加中段长的一半，现只知道前段长后段各长多少米？5m，则该草绳的中段，（和差倍问

23、题、金融问题）共青团中央部门发起了“保护母亲河”行动，某校九年级两个班的 115 名学生积极参与，已知九一班有三分之一的学生捐了10 元，九二班有五分之二的学生每人捐了十元，两班其余的学生每人捐了5 元，两班的捐款总额为785 元，问两班各有多少名学生?（和差倍问题）某检测站要在规定时间内检测一批仪器，原计划每天检测30 台这种仪器，则在规定时间内只能检测完总数的七分之三；现在每天实际检测40 台，结果不但比原计划提前了一天完成任务，还可以多检测25 台 .问规定时间是多少天？这批仪器共多少台？（和差倍问题）游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看到蓝色与红色的

24、游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多知道男孩与女孩各有多少人吗？问题：问题中的已知量是什么？待求量是什么？有哪些相等关系（即等量关系）？1 倍，你（行程问题）一条船顺流航行，每小时行20 千米；逆流航行每小时行16 千米。那么这条轮船在静水中每小时行千米？（行程问题）甲以5km/h的速度进行有氧体育锻炼，2h后，乙骑自行车从同地出发沿同一条路追赶甲。根据他们两人的约定，乙最快不早于1h 追上甲，最慢不晚于1h15min追上甲，则乙骑车的速度应当控制在什么范围？（行程问题）从甲地到乙地的路有一段上坡、一段平路与一段3 千米长的下坡，如果保持上坡每小时走 3 千米，平路每小时走 4

25、千米，下坡每小时走需90 分，从乙地到甲地需 102 分。甲地到乙地全程是多少？5 千米，那么从甲到乙地（行程问题） 某班同学去18 千米的北山郊游。只有一辆汽车，需分两组，甲组先乘车、乙组步行。车行至 A 处，甲组下车步行，汽车返回接乙组，最后两组同时到达北山站。已知车速度是 60 千米 /时，步行速度是 4 千米 /时，求 A 点距北山的距离。（行程问题）甲乙两人分别从甲、乙两地同时相向出发，在甲超过中点50 米处甲、乙两人第一次相遇，甲、乙到达乙、甲两地后立即反身往回走，结果甲、乙两人在距甲地处第二次相遇，求甲、乙两地的路程。100 米（行程问题） 甲 ,乙两人分别从甲,乙两地同时相向出

26、发,在甲超过中点50 米处甲,乙两人第一次相遇 ,甲 ,乙到达乙,甲两地后立即返身往回走,结果甲 ,乙两人在距甲地100 米处第二次相遇,求甲 ,乙两地的路程.（行程问题）两列火车同时从相距910 千米的两地相向出发,10小时后相遇,如果第一列车比第1 二列车早出发4 小时20 分 ,那么在第二列火车出发8 小时后相遇 ,求两列火车的速度.（行程问题） 某班同学去 18 千米的北山郊游.只有一辆汽车,需分两组 ,甲组先乘车 ,乙组步行 .车行至 A 处 ,甲组下车步行 , 汽车返回接乙组,最后两组同时达到北山站米 / 时,步行速度是 4 千米 /时 ,求 A 点距北山站的距离.已知汽车速度是6

27、0 千（行程问题）通讯员要在规定时间内到达某地，他每小时走15 千米，则可提前24 分钟到达某地； 如果每小时走12 千米， 则要迟到 15 分钟。求通讯员到达某地的路程是多少千米？和原定的时间为多少小时？（分配问题） 一级学生去饭堂开会 ,如果每 4 人共坐一张长凳 ,则有 28 人没有位置坐 ,如果 6 人共坐一张长凳 ,求初一级学生人数及长凳数 .（分配调运）运往灾区的两批货物，第一批共480 吨，用 8 节火车车厢和20 辆汽车正好装完；第二批共运524 吨，用10 节火车车厢和6 辆汽车正好装完，求每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨？（分配问题） 若干学生住宿，若每间住4 人则余

28、20 人，若每间住8 人，则有一间不空也不满，问宿舍几间,学生多少人？（分配问题）将若干练习本分给若干名同学，如果每人分本，那么还余本；如果每人分本，那么最后一名同学分到的不足本，求学生人数和练习本数。（分配问题） 课外阅读课上，老师将 43 本书分给各小组，每组 8 本，还有剩余；每组 9 本却又不够。问有几个小组？（分配问题）小龙和小刚两人玩“打弹珠”游戏，小龙对小刚说：“把你珠子的一半给我，我就有 10 颗珠子” .小刚却说：“只要把你的1给我，我就有10 颗”，如果设小刚的弹珠3数为 x 颗，小龙的弹珠数为y颗，问各有多少颗弹珠？（分配问题）小明与他的爸爸一起做投篮球游戏.两人商定规则为：小明投中1 个得3 分，小明爸爸投中1 个得 1 分 .结果两人一共投中了20 个，一计算，发现两人的得分恰好相等.你能告诉我，他们两人各投中几个吗？（分配问题）运往灾区的