曲线拟合_图文

1、 MATLAB 中曲线拟合方法总结鉴于最近遇到非线性函数拟合问题,本人对网上有关 matlab 多种类型的线 性、非线性曲线拟合的方法进行了总结,希望对各位朋友有所帮助。1. Matlab有一个功能强大的曲线拟合工具箱 cftool , 使用方便, 能实现多种类型的线性、 非线性曲线拟合。 下面简单介绍如何使用这个工具箱。1.1 从 matlab 命令窗口到 cftool可以直接在 matlab 命令行输入 cftool 命令即可进入 cftool 窗口。 cftool输入命令回车后就得到一下界面进行曲线拟合的时候,最基本的操作包括点击“data.”按钮和“fitting.”按钮。1.2 da

2、ta . 按钮首先,到命令窗口中为点击 "data." 做好准备:x=8.0, 9.0, 10.0, 11.0, 12.0, 13.0, 14.0, 15.0, 16.0, 17.0, 18.0, 19.0, 20; y=0.6,0.62,0.64, 0.65, 0.66, 0.67, 0.68, 0.68, 0.69, 0.66, 0.65, 0.65,0.64; 然后,点击“data.”按钮,选 x 横坐标和选 y 纵坐标变量:1在弹出的 Data 窗口中,在 X Data 选项中选择 x, 在 Y Data中选择 y 。其中 X, Y 都是刚刚在命令行 所准备的数据变

3、量名。2经过此步骤后点击“Create data set”按钮。这个时候 Data 对话框背后的对话框中已经有散点图 了。然后点击 Data 中的 close 按钮 .1.3 fiting . 按钮在正确设置 Data 对话框之后,在关闭 Data 对话框之后,就可以点击 fitting. 按钮了。会弹出这么 一个对话框 :1 在 Fitting 对话框中点击 Newfit 后在 Fitname 为此次曲线取名字:“cftool 曲线拟合”, 当有多条曲 线需要同时绘制时,每次都需要点击 Newfit, 然后选择对应的 Data set值即对应相应的数据变量就可以绘 制多条曲线了。即同时拟合多

4、条曲线。选择 data set。2选择相应类型的曲线拟合(到其它地方粘贴过来的,点击 Type of fit 下拉菜单:Custom Equations:用户自定义的函数类型· Exponential:指数逼近,有 2种类型, a*exp(b*x 、 a*exp(b*x + c*exp(d*x· Fourier:傅立叶逼近,有 7种类型,基础型是 a0 + a1*cos(x*w + b1*sin(x*w· Gaussian:高斯逼近,有 8种类型,基础型是 a1*exp(c1-(x-b1/c12· Interpolant:插值逼近,有 4种类型, lin

5、ear 、 nearest neighbor 、 cubic spline 、 shape-preserving · Polynomial:多形式逼近,有 9种类型, linear 、 quadratic 、 cubic 、 4-9th degree · Power:幂逼近,有 2种类型, a*xb 、 a*xb + c· Rational:有理数逼近,分子、分母共有的类型是 linear 、 quadratic 、 cubic 、 4-5th degree ; 此外,分子还包括 constant 型· Smoothing Spline:平滑逼近(翻译的

6、不大恰当,不好意思· Sum of Sin Functions:正弦曲线逼近,有 8种类型,基础型是 a1*sin(b1*x + c1· Weibull:只有一种, a*b*x(b-1*exp(-a*xb3最后再选择一种曲线拟合下的具体类型,点击 Apply 按钮就可以看见所拟合的曲线了。如果发现曲线和数据点不是很“磨合”就需要重新选择曲线类 型了。 上图是点击了应用按钮之后的状态,在 Results 中得来的就是拟合数据的曲线函数关系式。点击 Appy 后的运行结果为:1.4 CFTOOL 菜单使用在上面显示的曲线拟合结果中, 可以明显的看见横坐标和纵坐标都不是从原点 (

7、0,0 开始设置的坐标。 那么我们可以使用Curve Fitting Tool 对话框中 Tools 菜单中的Tools 中的各个选项的功能:1 New Cunstom Equation:表示使用自定义的函数来模拟图中显示的散点数据的函数式子。2 Legend:就是图中显示着“y vs.x cftool 曲线拟合”的那个框。3 Grid :跟指令 grid 一样的功能,是曲线背景充满虚线框。4 Axis Limit Control:设置横轴、纵轴坐标的范围。2. matlab中直接使用曲线拟合工具:cftool. (不使用 cftool 的 GUI 界面最基本的使用方法如下,假设我们需要拟合的

8、点集存放在两个向量 X 和 Y 中,分别储存着各离散点的 横坐标和纵坐标,则在 MATLAB 中直接键入命令 cftool(X,Y 就会弹出 Curve Fitting Tool的 GUI 界面, 点击界面上的 fitting 即可开始曲线拟合。MATLAB 提供了各种曲线拟合方法,例如:Exponential, Fourier, Gaussing, Interpolant, Polynomial, Power, Rational, Smoothing Spline, Sum of Functions, Weibull 等, 当然, 也可以使用 Custom Equations. cftool

9、 不仅可以绘制拟合后的曲线、给出拟合参数,还能给出拟合好坏的评价参数 (Goodness of fit如 SSE, R-square, RMSE等数据,非常好用。但是如果我们已经确定了拟合的方法,只需要对数据进行计算, 那么这种 GUI 的操作方式就不太适合了,比如在 m 文件中就不方便直接调用 cftool 。MATLAB 已经给出了解决办法,可以在 cftool 中根据情况生成特定的 m 文件,让我们直接进行特定的曲线 拟合并给出参数。 具体方法在帮助文件的如下文档中 " Curve Fitting Toolbox Generating M-files From Curve Fi

10、tting Tool " ,以下简单举例说明(x1,y1为一曲线散点x1=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0;y1=0,5.98e-09,0.00000528,0.0003,0.0041,0.0235,0.071,0.1548,0.2597,0.3724;cftool(X,Y;点击 Fitting 选择一元高斯分布拟合 (gaussian,然后就会出现如下拟合图形: 然后在 Curve Fitting Tool窗口中点击 " File Generate M-file " 即可生成能直接曲线拟合的 m 函数文件,其中使用的

11、拟合方法就是刚才使用的一元高斯分布拟合,文件中这条语句证明了这一点: ft_ = fittype('gauss1'保存该 m 文件(默认叫做 createFit.m ,调用方法和通常的 m 文件一样,使用不同的 X 和 Y 值就能拟合 出不同的曲线。但是,这种调用方法只能看到一个拟合出的图形窗口,拟合参数以及 Goodness of fit参 数都看不到了,因此需要在刚才的 m 文件中稍作修改。找到这句话:cf_ = fit(X(ok_,Y(ok_,ft_;修改为:cf_,gof = fit(X(ok_,Y(ok_,ft_;然后将函数声明 function createFit(

12、X,Y 修改为 function cf_,gof = createFit(X,Y ,这样我们 再调用试试看:x1=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0;y1=0,5.98e-09,0.00000528,0.0003,0.0041,0.0235,0.071,0.1548,0.2597,0.3724;c,g=createFit(x1,y1;这样就会弹出拟合图形的窗口,然后再键入 c 和 g ,就能查看一元高斯拟合参数及拟合评价参数。c 和 g 分别是 1×1 cfit 数据类型和 1×1 struct 数据类型。本例中 c 包括 p1,

13、 p2, p3, p4四个成员, 即一元高斯拟合的参数; g 包括 rmse 等成员,即拟合评价参数。3. 线性回归3.1一元线性回归3.1.1 命令 polyfit最小二乘多项式拟合p, S=polyfit(x , y , m 多项式 y=a1xm+a2xm-1+ +amx+am+1其中 x=(x1, x2, xm x1xm 为(n*1的矩阵 ;y 为(n*1的矩阵;p=(a1, a2, am+1是多项式 y=a1xm+a2xm-1+ +amx+am+1的系数;S 是一个矩阵,用来估计预测误差 .3.1.2 命令 polyval多项式函数的预测值Y=polyval(p , x 求 polyf

14、it 所得的回归多项式在 x 处的预测值 Y ;p 是 polyfit 函数的返回值;x 和 polyfit 函数的 x 值相同。3.1.3 命令 polyconf 残差个案次序图Y, DELTA=polyconf(p , x , S , alpha 求 polyfit 所得的回归多项式在 x 处的预测值 Y 及预测值的显著 性为 1-alpha 的置信区间 DELTA ; alpha 缺省时为 0.05。p 是 polyfit 函数的返回值;x 和 polyfit 函数的 x 值相同;S 和 polyfit 函数的 S 值相同。3.1.4命令 polytool(x , y , m 一元多项式

15、回归命令3.1.5 命令 regress 多元线性回归(可用于一元线性回归b=regress( Y, X b, bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alphab 回归系数bint 回归系数的区间估计r 残差rint 残差置信区间stats 用于检验回归模型的统计量, 有三个数值:相关系数 R 2、 F 值、 与 F 对应的概率 p, 相关系数 R 2越接 近 1,说明回归方程越显著; F > F1-(k , n-k-1时拒绝 H 0, F 越大,说明回归方程越显著;与 F 对应 的概率 p 时拒绝 H 0,回归模型成立。Y 为 n*1的矩阵;X 为(ones(n,

16、1,x1,xm的矩阵;alpha 显著性水平(缺省时为 0.05。3.2. 多元线性回归3.2.1 命令 regress(见 2.53.2.2命令 rstool 多元二项式回归命令:rstool (x , y , model , alphax 为 n*m矩阵y 为 n 维列向量model 由下列 4个模型中选择 1个(用字符串输入,缺省时为线性模型:linear (线性:purequadratic (纯二次:interaction (交叉:quadratic (完全二次:alpha 显著性水平(缺省时为 0.05返回值 beta 系数返回值 rmse 剩余标准差返回值 residuals 残差

17、4. 非线性拟合MATLAB 具有多种拟合函数,包括最小二乘法、牛顿法、最速下降法、共轭梯度法、单纯形法等。在此 选取 8 个 (lsqcurvefit 、 nlinfit 、 lsqnonlin 、 fminsearch 、 fminunc 、 fgoalattain 、 curvefit 、 nlintool MATLAB 函数进行介绍。4.1 lsqcurvefit 函数拟合函数 lsqcurvefit 是 MATLAB 最优化工具箱里的一个非线性拟合函数,采用最小二乘曲线进行拟合 .格式 :lsqcurvefit (f,a,x,yf:符号函数句柄 , 如果是以 m 文件的形式调用的时候

18、 , 别忘记加 (用 函数文件名表示, 或由 inline(函数表 示 . 这里需要注意 ,f 函数的返回值是和 y 匹对的 , 即拟合参数的标准是 (f-y2取最小值 , 具体看下面的例子 a:最开始预估的值 (预拟合的未知参数的估计值 。如上面的问题如果我们预估 A 为 1,B 为 2, 则 a=1 2 x:我们已经获知的 x 的值y:我们已经获知的 x 对应的 y 的值例子 1:一元的情况问题 :对于函数 y=a*sin(x*exp(x-b/log(x我们现在已经有多组 (x,y的数据 , 我们要求最佳的 a,b 值 %针对上面的问题 , 我们可以来演示下如何使用这个函数以及看下其效果&

19、gt;> x=2:10;>> y=8*sin (x.*exp (x-12./log (x;%上面假如是我们事先获得的值>> a=1 2;>> f=(a,xa(1*sin (x.*exp (x-a(2./log (x;%第一种方法使用 lsqcurvefit>> lsqcurvefit (f,a,x,yans =7.999999999999987 11.999999999988997%和我们预期的值 8和 12结合得非常好>>例子 2:多元的情况问题 :我们已知 z=a*(exp(y+1-sin(x*b且有多组 (x,y,z的值

20、, 现在求最佳系数 a,b>> x=2:10;>> y=10*sin (x./log (x;>> z=4.5*(exp (y+1-sin (x*13.8;>> f=(a,xa(1*(exp (x(2,:+1-sin (x(1,:*a(2;>> lsqcurvefit (f,1 2,x;y,z%注意这里面的 x;y,这里的 1 2表示我们设置 f 函数里的初始值 a(1=1,a(2=2ans =4.499999999999999 13.800000000000024ans =8.000000000000000 11.9999999999

21、99998>>%*%另一种方法 , 假如我们写了一个如下的 m 文件function f=test (a,xf=a(1*sin (x.*exp (x-a(2./log (x;end%则在上面 lsqcurvefit 函数调用如下 , 不要忘记那个 lsqcurvefit (test,a,x,y4.2 nlinfit(x,y,f,a函数 nlinfit 采用高斯 -牛顿法对方程进行非线性最小二乘数据回归例子 1:一元的情况>> x=2:10;>> y=8*sin (x.*exp (x-12./log (x;%上面假如是我们事先获得的值>> a=1

22、2;>> f=(a,xa(1*sin (x.*exp (x-a(2./log (x;%第一种方法使用 lsqcurvefit>> nlinfit (x,y,f,aans =8.000000000000000 11.999999999999998>>例子 2:多元的情况问题 :我们已知 z=a*(exp(y+1-sin(x*b且有多组 (x,y,z的值 , 现在求最佳系数 a,b>> x=2:10;>> y=10*sin (x./log (x;>> z=4.5*(exp (y+1-sin (x*13.8;>> f

23、=(a,xa(1*(exp (x(2,:+1-sin (x(1,:*a(2;>> nlinfit (x;y,z,f,1 2ans =4.500000000000000 13.799999999999956>>%*%另一种方法 , 假如我们写了一个如下的 m 文件function f=test (a,xf=a(1*sin (x.*exp (x-a(2./log (x;end%则在上面 nlinfit 函数调用如下 , 不要忘记那个 nlinfit (x,y,test ,a例子 3:(正态分布函数 问题:对于正态分布函数 normcdf(x, , 我们现在已经有三组 (x,

24、y的 数据 , 我们要求最佳的 , 值>> f = (b,x normcdf (x,b(1,b(2;>> x = 16 18 20'>> y = 95.7% 96.5% 96.6%'>> p = nlinfit(x,y,f,0 20'注意:这里初始值 0 20非常重要 (预拟合的 , 的估计值 , 如果选择不当会得到一个无效的结果。 本题的运算结果如下:p =-44.91444144750312335.256506107463366也就是说该数据符合 = -44.914441447503123, = 35.25650610

25、7463366的 正态分布 。下面验证一下, 发现 拟合 得很不错:>> normcdf (x,p(1,p(2ans =0.9579835055718150.9628269451523140.9672042097041964.3 lsqnonlin 函数拟合函数 lsqnonlin 也是运用最小二乘法进行拟合,步骤如下:首先,建立 f.m 文件:function val=f(p,xdata,ydataerr=p(1+(p(2-p(1./(1+(p(3.*xdata.p(4.(1.-1./p(4-ydata;% xdata, ydata 为输入初始数据; p( 为曲线参数val=er

26、r*err'% val 为方差之后,输入初始数据,再代入 lsqnonlin 拟合函数拟合:% 创建优化选项结构options=optimset( 'largescale','off'Parameters=lsqnonlin(f,a,options,xdata,ydata4.4 fminsearch /fminunc函数拟合函数 fminsearch 是用单纯形法寻优,步骤如下。首先,建立 f.m 文件:function val= f(p,xdata,ydata %定义 val 函数global xdata ydata %定义全局变量err=p(1+(p

27、(2-p(1./(1+(p(3.*xdata.p(4.(1.-1./p(4-ydata;% xdata, ydata 为输入初始数据; p( 为曲线参数,在 Command Window 输入初始数据:%设定迭代初始值 a ,输入初始数据后,代入 fminsearch 拟合函数拟合:Parameters =fminsearch(f,aParameters =fminunc(f,a4.5 fminunc 函数拟合函数 fminunc 也是非线性规划函数的一种,步骤如下。首先,建立 f.m 文件,再代入 fminunc 拟合函数拟合:Parameters= fminunc ('f'

28、,a4.6 fgoalattain 函数拟合函数 fgoalattain 属于多目标规划函数,应用过程如下。首先,建立 f.m 文件,再代入 fgoalattain 拟合函数拟合:Parameters = fgoalattain ('fun', a,0, 04.7 curvefit 函数拟合函数 curvefit 是数学建模工具箱中的一个非线性函数拟合工具,应用过程如下。首先,建立 f.m 文件并输入初始数据,再代入curvefit 拟合函数拟合,内容如下:Parameters = curvefit ( 'f', a, xdata,ydata4.8 nlintool 函数拟合函数 nlintool 是进行数据非线性方程回归的用户交互图形显示函数,应用过程如下。首先,建立 f.m 文件并输入初始数据,再代入 curvefit 拟合函数拟合:nlintool ( xdata , ydata , 'f' , a 此时, 出现非线性方程回归交互图, 点击 “Export”按钮,将生成曲线拟合参数。如要显示拟 合参数,可直接输入命令:%显示拟合参数beta* 4.1 4.8 中均需要 预拟合的未知参数的估计值,属于局部优化。4.9 用遗传算法拟合 (全局优化 >> x=2:10