第十八 曲线的凸性与拐点、渐近线

1、第十八 曲线的凸性与拐点、渐近线函数图形的描绘重点：曲线凹凸性的判别定理，函数的作图难点：函数的作图前面两节我们利用导数研究了函数的单调性与极值，这对于作函数的图形有很大帮助。但是，仅仅知道这些，还不能比较准确地描绘函数的图形。为此，本节继续讨论利用导数研究函数的有关性态，进而作出函数的图形。一、曲线的凹凸性与拐点如图311所示，函数在（,）内的曲线弧虽然是一直上升的，但是，在（,）和（,）内，弧和弯曲的方向是不同的，点是它们的分界点。曲线弯曲的方向及其分界点，对于函数作图是很有用的。下面讨论这个问题。由图明显地看出，弧上各点的切线均在该段弧的下方，弧上各点的切线均在该段弧的上方。由此给出凸性

2、的定义。定义 设曲线的方程为，且处处有切线。若在某区间内，该曲线弧位于其上任一点的切线的上方，称此曲线弧是凹的（图312）；若在某区间内，该曲线弧位于其上任一点的切线的下方，称此曲线弧是凸的（图313）。连接曲线凸弧与凹弧的分界点，称为该曲线的拐点。图313图312如果函数在（,）内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数来判断曲线的凹凸性。 定理 设函数在（,）内具有二阶导数，那么（1）若在（,）内，则曲线在（,）内是凹的；（2）若在（,）内，则曲线在（,）内是凸的。定理 若函数在处二阶导数存在，且点（,）为曲线的拐点，则。注意，是点（,）为拐点的必要条件，而非充分条件。例如，则，当时，=0，但是

3、点（0,0）不是曲线的拐点，因为点（0,0）两侧的二阶导数不变号。下面给出曲线拐点的充分条件。定理 若，且在两侧变号，则点（,）是曲线的拐点。例1 讨论曲线的凹凸性和拐点。解 函数的定义域为 （-,+）。 =，=令得 ，。由点，把（-,+）分成（-,-1）、(-,.1)和（1,+）三个部分区间。列表讨论（-,-1） -1(-1,1) 1（1,+） + 0 - 0 + 拐点（-1,-6） 拐 点（1,-6） 由表上知，曲线的凹区间为（-,-1）和（1,+），凸区间为(-,1)。 曲线的拐点为(-1,-6)和(1,-6)。例2 判定函数的凸性和拐点。解 函数的定义域为（-,+）。=，令，方程无解。

4、又为函数的不可导的点。点把（-,+）分成（-,0）和（0,+）两个部分。列表讨论（-,0）0（0,+）+不存在-拐点（0,0）由表上知，曲线的凹区间为（-,0），凸区间为（0,+）。 曲线的拐点为（0,0）。二、曲线的渐近线在平面上，当曲线伸向无穷远处时，一般很难把曲线画准确。但是，如果曲线伸向无穷远处，它能无限得靠近一条直线，那么我们就可以即快又好地画出趋于无穷远处这条曲线的走向趋势。如平面解析几何中的双曲线=1与直线和就是如此。这样的直线叫做曲线的渐近线。定义 如果曲线上的点沿曲线趋于无穷远时，此点与某一直线的距离趋于零，则称此直线是曲线的渐近线。渐近线有水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。

5、1水平渐近线若函数的定义域是无穷区间，且时，则称直线为曲线的水平渐近线。例3 求曲线的水平渐近线。解 因为 =0所以是曲线的水平渐近线。例4 求曲线的水平渐近线。解 因为 ，=所以和都是曲线的水平渐近线。2垂直渐近线。若函数在点处间断，且 ，则称直线为曲线的垂直渐近线。例5 求曲线的渐近线。解 因为 =0，=所以是曲线的水平渐近线，是曲线的垂直渐近线（图314）。3斜渐近线若对于函数，有=0成立，则称直线为曲线的斜渐近线，其中，。例6 求曲线的渐近线。解 因为 =，所以为曲线的垂直渐近线。又因为=1， =所以直线是曲线的渐近线（图315）。图315图314三、函数图形的描绘在中学所采用的描点法

6、作图，其局限性在于选取的点不可能很多，因而一些关键性的点如极值点、拐点等，往往有可能漏掉，曲线的单调性、凹凸性等一些重要性态也难以准确地显示出来。现在，通过前几节的介绍，我们可以利用导数来分析函数的单调性、极值、凹凸性、拐点及渐近线等。这样，就能较准确地将函数的图形描绘出来。利用导数描绘函数的图形的一般步骤为：（1）确定函数的定义域，并讨论其周期性、奇偶性、有界性；（2）求，解方程=0和=0求出在定义域内的全部实根，并求出，不存在的点；（3）由第（2）步中所得到的点，将定义域分成相应区间，列表分析各区间内，函数的单调性、凹凸性，各区间的分界点是不是极值点和拐点；（4）确定曲线的渐近线；（5）适

7、当补充一些点，如曲线与坐标轴的交点等；（6）根据上述结果作图。例7 画出函数的图形。解：函数的定义域为（-,+），且为奇函数。 =，令 得 ，令 得 ，在定义域内没有不可导的点。列表讨论 0(0,1) 1(1,+)+0- 0 - 拐 点(0，0)极大值2 显然，曲线无渐近线。令，可知曲线与轴的交点为（-,0）、（,0）。综合上述结果，画出函数在（0,+）的图形，由对称性得出曲线在（-,+）内的图形（图316）。例8 画出函数的图形。图316解 函数的定义域为（-,+），且为偶函数。 =，=令得，令=0得，在定义域内没有不可导的点。列表讨论0（0,）（,+）0-0+极大值1拐 点（,）因为，所以直线为水平渐近线；曲线过点（0,1）。根据以上讨论，即可画出函数的图形（图317）。图318图317例9 画出函数的图形。解 函数的定义域为（-,1）（1,+）。 =，=令得，令得，在定义域内没有不可导的点。列表讨论（