由做实验获得事件发生概率地教学地地研究

1、实用标准文案由做试验获得事件发生概率的教学研究李圣平（宜昌市体育运动学校）内容摘要： 应用“数形结合”的创新教学方法，构造“波状统计图”（对按照波浪变化规律对数据分布排序处理得到的折线统计图、散点统计图的统称），让学生直观地由事件发生的系列频率观察得出事件发生的概率，转变学生由计算频率平均数得出概率等错误观念。采用问卷调查法、实验法、访谈法进行研究，在教学中类比给出概率规律： 事件发生的概率是固定值，该事件发生的频率围绕概率上下波动，取得了预期教学效果。关键词： 试验；频率；波状统计图；造波方法；概率；概率规律一、研究背景与研究假设通过调查发现， 我校初中各年级学生，给出事件发生的一些频率，均

2、不能正确得出正确答案，选择在八年级作了由做实验得出事件发生概率的专题研究。数形结合的方法，既是让学生容易得出事件发生的概率，又是转变学生错误观念的方法，为同行提供由做实验得概率的有效教学方法。二、研究方法与研究过程采用问卷调查问卷，然后用实验法、访谈法进行教学研究如下。（一）、做实验并统计学生摇硬币实验（纸盒中放硬币，摇后打开纸盒 1 记录结果），连续摇两次为一组，学生可以重复多次参加实验，每次结果记录，结果统计如下表：表 1摇硬币试验情况统计表班级试验“数字 1 向上”“菊花向上”“数字 1 两次向上”组数次数频率次数频率次数频率七年级全班990.590.520.2222男生980.4444

3、100.555630.3333八年级女生35350.5350.5100.2857全班44430.4886450.5114130.2955男生47560.5957380.4043130.2766九年级女生38390.5132370.486880.2105全班85950.5588750.4412210.2471初中三个年级1381470.53261290.4674360.2609（二）、由频率得出概率的教学实践教学目的： 组织引导学生从摇硬币的试验结果中发现其中的规律： 观察事件发生的一些频率得出事件发生的概率。精彩文档实用标准文案教师首先这样将学生引入课题：我们的生活充满着信息，很多情况需要我们

4、通过用数学的方法去发现信息中隐含着的道理，即规律， 其中一些规律需要通过反复观察或做实验，对所得结果进行统计处理后才能发现，昨天住读生上晚自习期间参加了摇硬币的实验，今天我们将昨天的实验统计结果告诉大家，请你们观察、分析，然后说出你的发现。1 、得出“数字1 向上”的概率出示问题一：在摇硬币的试验中， “数字 1 向上”的频率统计如下，你能发现在一次摇硬币试验中“数字 1 向上”的概率吗？表 2“数字 1 向上”的频率统计表七年级八年级九年级初中生全班男生女生全班男生女生全班全校0.50.44440.50.48860.59570.51320.55880.5326学生 1 （女生）：怎么观察？学

5、生 2 （男生）：算平均值。学生出现认知矛盾，主动提问， 同学互动出现，但回答问题错误，这个错误是笔者在调查中发现的普遍错误，现在是告诉学生正确方法，纠正错误认识的时机。教师类比引导： 商品的价值是一定的，但是商家有时候涨价卖、有时候亏钱打折削价卖，商品的价格在围绕其价值上下波动，这是价值规律。 事件发生的可能性即概率是一定的，在不同人做试验中， 事件发生的频率同样围绕其概率上下波动，这个规律我们不妨称为概率规律。教师进一步引导：要观察出规律，这个规律不是用计算得到的。方法是通过观察，即看出这些频率围绕哪一个“固定数”波动，这个固定数就是我们要找的概率，请观察频率表，发现出现“数字1 向上”的

6、概率。在学生交流合作不成功的情况下，师生互动作用发挥。学生 3 （女生）：在 0.5 附近波动，“数字 1 向上”的概率是0.5 。学生 4 （男生）：我们早都知道结果是0.5 ，你还做半天。学生 3 ：我还不是知道结果是0.5 ，我要看由这些频率是否真能看出概率0.5 。上面学生出现交流冲突，是正常现象。但教师要适度干涉学生打击同学积极性的情况。教师反馈评价：刚才这个同学注意到频率在数0.5 及其附近波动， 从而正确得出 “数字1 向上”的概率0.5 ，这个方法我们应该掌握。教师引导：我们学习由事件发生的频率观察出事件发生概率的方法，一是要让大家知道：通过多次做一定量的实验，由事件发生的频率

7、可以观察出事件的概率；二是对于不能通过计算得出事件的概率的情况，我们知道可以通过做实验找事件发生的概率。学生 5 （男生）：我没看到“波” 。这个问题由一个上课很调皮的学生提出，笔者认为该同学是开玩笑，但他说出了我想要精彩文档实用标准文案讲的造波处理的方法，只好对其大加赞扬。我想一个金点子可能就在孩子的玩笑中产生。教师引导：波有波峰和波谷，中间有风平浪静处海平线，波峰和波谷在海平线上下波动，海平线处的值就是我们要发现的事件发生的概率，海平线在波腰附近，要找海平线，可以重点关注波腰变化，看波腰向哪一个数靠近式的波动。下面我们来体验。表 3“数字 1 向上”的频率统计图的造波表波谷1波腰1波峰1波

8、腰2波谷2波腰3波峰2波腰40.44440.51320.59570.50.48860.50.55880.4886造波方法 ：波谷 1 ，波谷 2 ， ，依次从最小频率开始按递增顺序排对应值；波峰1 ，波峰 2 ， 依次从最大频率开始递减顺序排对应值；波腰1 ，波腰2， ，依次从剩下的频率中按从大到小按递增顺序排对应值。造波依据生活规律： “一石激起千层浪” ，波浪往远处向逐步减弱方向发展，浪高呈现减弱变化规律。这里采用数（频率）形 (波 )结合的数学方法，学生通过直觉思维解决问题，容易解决问题，也同时转变了错误观念。教师向学生介绍解释造波的生活依据或者生活类比想法，造波方法。教师引导对问题解决

9、：海平线处的数对应那个本来就固定存在的概率，只是因实验之“风” 使海上起波， 我们做一些一定规模的实验， 就会由事件发生的频率观察得到事件发生的概率。请观察由事件发生的频率得到的波状统计图，看频率究竟围绕哪一个数上下波动，从而获得事件发生的概率。图 1“数字 1 向上”的频率波状统计图0.70.60.50.40.30.20.10波谷1波腰1波峰1波腰2波谷2波腰3波峰2波腰4看图得概率，学生兴趣都很高，一下子都一致指出答案：0.5 ，我想，原来这枯燥的课，总会找到调动学生的兴奋点，教师备课应创设使学生产生激情兴奋点的问题情景。概率是海平线处的值。海平线本来就存在，与实验无关。下面我们再看看历史

10、上的一些著名数学家做的实验结果：（出示表）精彩文档实用标准文案表 4历史上的数学家抛硬币实验的结果统计表实验者投掷次数 n正面出现次数 k正面出现的频率 k/n布丰400020480.5069德.摩根409220480.5005费勒1000049790.4979皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005罗曼诺夫斯基80640396990.4923我们很容易观察出：这些频率在0.5 附近波动，即抛一次硬币，“正面出现”的概率是0.5 。下面从波状统计图来观察“正面出现”的概率。表 5“正面出现”的频率统计图的造波表波谷1波腰1波峰1波腰2波谷2波腰30.49230

11、.50160.50690.50050.49790.5005图 2“正面出现”的频率波状统计图0.60.50.40.30.20.10波谷1波腰1波峰1波腰2波谷2波腰3由历史上的数学家抛硬币的实验所得频率波状统计图，“波”的特征是微波荡漾，起伏不大，容易得到事件“正面出现”的概率为 0.5 ，这是什么原因造成的呢？这是因为这些数学家做了大规模试验产生的结果。2 、得出“两次数字1 向上”的概率再出示问题二： 刚才的学习， 我们已经知道， 摇一次硬币出现数字1 向上的概率是0.5 。要是摇两次硬币的话， “两次出现数字1 向上”的概率是多少呢？学生 1 ：还是 0.5 。说实话，教师不知道学生是怎

12、么得到答案0.5 的，发动学生继续探索和交流，“有的同学已经得出答案为0.5 ，你们可以互相讨论，看有没有别的答案。”一会儿后，有学生提出精彩文档实用标准文案不同意见。学生 3：是 13 。有几种答案，让学生交流想法，是必要的。这是教师引导下的学生互动。教师点学生1说得出答案的思路是： “硬币有正和反两个面，摇一次有正反两种情况，摇两次有两个正反可能，共有四种可能，所以“两次数字1 向上”概率为24 ，就是 0.5 。这是“ 简单累加” 错误观念得出答案的错误做法。学生 3 立即反驳道： “不是这样算的，摇两次，可能出现两次正面向上、两次反面向上和出现一正一反三种情况，两次数字 1 向上的概率

13、就是 1/3 ，这是学生在“ 机会均等” 错误观念下得出的错误答案。教师不急于判决， 二是让学生带着期待得到判决的愿望进入下一个环节， 否则说他们都是错的会影响学生的情绪。教师：“两种答案，究竟谁对谁错呢？下面我们让事实说话吧。我们做实验的结果，也许会给出对你们的两种答案的裁决。表 6“两次数字 1 向上”的频率统计表七年级八年级九年级初中生全班男生女生全班男生女生全班全校0.22220.33330.28570.29550.27660.21050.24710.2605表 7 “两次数字 1 向上”的频率统计图的造波表波谷 1波腰 1波峰 1波腰 2波谷 2波腰 3波峰 2波腰 40.21050

14、.28570.33330.27660.22220.26050.29550.2471图 3“两次数字 1 向上”的频率的波状统计图0.350.30.250.20.150.10.0500123456789教师引导 1 ：波浪呈逐渐减弱趋势，最终要围绕哪一个数波动下去呢？教师引导2 ：大家看波腰要向哪一个数靠近，最终要在哪一个数附近波动？在教师的适当引导下，有的学生说是0.25 ，有的说是0.26.教师要是说正确答案是0.25 ，从图上看， 0.26 似乎更准确，故没有下结论，而是引导学生列表再分析，让学生自己作出最终的裁决。精彩文档实用标准文案用正表示“数字1 向上” ,用 反表示“菊花向上”表

15、8摇硬币两次的所有可能结果分析表第一次摇的可能结果摇硬币两次的可能结果正反正正正正反第二次摇的可能结果反反正反反教师：“现在，你们知道了正确答案了吗？”学生议论：“原来是1/4 ，只有 0.25 ”、“一正一反有两种情况，我还没想到”。到这里，学生知道了自己的答案是否正确。教师：“我们做实验，可以得到事件的概率，大家知道，所得的答案多数是准确的，在观察时，也可能得到有一点误差的近似值，如准确值是0.25 ，也可把 0.26 作为答案的近似值。”教师提醒和提出实践性拓展学习要求：我们要善于将所得的一些事件发生的频率，按照造波方法列表并据此获得波状统计图的办法帮助我们寻找概率，这是一个很好的方法，

16、而且要通过练习形成自己的能力，请大家按照所说方法，试一试通过做实验得出抛骰子两次，两次向上一面的点数之和为10 的事件的概率。四、课后访谈访谈题目：请你说说今天的学习收获。学生甲：概率可以通过做实验得到，以后概率不好求，我就去做实验，用波状统计图观察出来。学生乙：摇硬币两次，一正一反我没考虑到有两种情况，这个列表法蛮好。学生丙：要使波状统计图“风平浪静”，好找概率，每回都要多做几次试验。学生丁：没想到我做的实验，结果派上了求概率的用场，真有意思。学生戊：这个波状统计图好，但不好画，你能不能教我在电脑上画？一部分学生到我办公室学习了在word文档中插图输入数据得到波状统计图，觉得简单，露出了满意的笑容，享受成功的喜悦。笔者也因学生的满足而愉快。研究出波形统计图法，发现得到事件的概率其实并不需要做大量的实验，多做几批试验就行了。五、创新与发现1、用“数形结合”思想发明的构造“波状统计图”得出概率的教学方法，学生易学会通过做实验得出某事件的实验概率，这种方法对于激发学生的学习兴趣、调动学生探索知识的积极性、 转变学生的错误观念（计算频率的平均数得出事件发生的概率错误观念、简单累加错误观念、机会均等错误观念）有教学参考价值。2、由几批实验结果中