导数结合“洛必达法则”巧解恒成立问题

1、导数结合洛必达法则”巧解恒成立问题第一部分：历届导数高考压轴题年全国2理设函数f(x) = (x+ 1) ln(x + 1),若对所有的x0都有f(x) x成立，求实数a的取值范围.全国1理已知函数f1 X ax e1 X(I)设 a0，讨论y f X的单调性;(n)若对任意X0,1恒有f X 1，求a的取值范围.全国1理设函数f(X)ex(I)证明:f(x)的导数 f(X) 2 ；(n)若对所有X 0都有f(X) ax ,求a的取值范围.全国2理设函数f (X) sinx2 cosx(I)求f(X)的单调区间;(n)如果对任何 X 0 ,都有f(X)0时f(X)0,求a的取值范围新课标文已知

2、函数f(x) x(e 1) ax2.(I)若f (x)在 x1时有极值，求函数f (x)的解析式;(n)当x 0时,f(x) 0，求a的取值范围.全国大纲理设函数f (x)1(I)证明：当1时,(n)设当xf(x)-xx?1求a的取值范围.ax新课标理已知函数f (x)(I)求 a、aln Xx 1b的值；b，曲线xf(x)在点(1,f(1)处的切线方程为x 2y 30.(”n)如果当x 0，且x 1时,f (x) k求k的取值范围.x 1x10.自编自编：若不等式sinx x ax3对于x (0)恒成立，求a的取值范围.第二部分：新课标高考命题趋势及方法1. 新课标高考命题趋势近年来的高考数

3、学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则，充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜能。 为此，高考数学试题常与大学数学知识有机接轨，以高等数学为背景的命题形式成为了热点.2. 分类讨论和假设反证许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型.这类题目容易让学生想到用分离参数法，一部分题用这种方法很奏效，另一部分题 在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段解决它只有华山一条路一一分类讨论和假设反证的方法.3.洛必达法则0-型及一型函数未定式的一种解法0虽然这些压轴题

4、可以用分类讨论和假设反证的方法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂，学生掌握起来非常困难.研究发现利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出现了 0”型的式子，而这就是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是 洛必0达法则.第三部分：洛必达法则及其用法1.洛必达法则洛必达法则：设函数f(x)、g(x)满足:()lximaf(x) IXmag(x) 0 ；(2 )在 Uo(a)内，f(X)和g (X)都存在，且g (X)0 ；limA(3) x a g(X)(A可为实数，也可以是).f(X)则 f IXma g (X)A.(可连环使用)注意 使用洛必达法则时, 求极限得最值。新课

5、标理的常规解法已知函数f (X) alnx是对分子、分母分别求导，而不是对它们的商求导，求导之后再(I)求 a、X 1b的值；-，曲线Xy f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 X 2y 30.(”n)如果当X 0，且X 1时,f(X)In X(I)略解得(n)方法一：分类讨论、假设反证法由(I)知 f (X)X 1f(X)In X(x 1-)X7-2 (2ln X1 X(k 1)(x2 1)考虑函数h(x) 2ln X(k 1)(x2 1)(x 0),则 h(x)(k 1)(x21) 2x(i)当 k 0 时，由 h(x)2 2k(x u(x 知,h(x)0 .因为 h(1)0 ,0,可

6、得2 h(x)1 X0 ;当X(1,)时，h(x) 0,可得0且X1 时，f (x)(In X0 ,朗一、In X 即 f(x)k X 1XX 1XX(1,-丄)时，(k1)(x21)2x0 ,故 h(x)0，而当X 1时,所以当X (0,1)时，h(x)(ii)当0 k 1时，由于当0，与题设矛盾.X212 h(x) 0，从而当X1 X1h(1)0,故当 X (1,)时，h(x) 0,可得-1 k11h(x)X(iii)当 k 1 时，h(x)0，而 h(1)0，故当 x (1,)时，h(x) 0，可得12 h(x) 0，与题设矛盾1 x注：分三种情况讨论：.综上可得，k的取值范围为(，0.

7、k 0 ，Ok 1 :k 1不易想到尤其是0 k 1时,1许多考生都停留在此层面，举反例x (1,丄)更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法1 k也不相同，这是高中阶段公认的难点，即便通过训练也很难提升.3.运用洛必达和导数解2011年新课标理ln xx 12xln x1 x2当x 0，且x1 时，f(x)也即k1，记 g (x)1In xxx 12xln x则 g (x)2(x22 21)1 nx 2(1 x2)_2(x2 1)“ 22(1 x )(1xv(lnx丄) x2 1)，记 h( x)In x2x，则 h(x)11+ 一x (1+x2)2x(1+x2)24x(122x) 0，从而

8、h(x)在(0,)上单调递增,且 h(1)0,因此当x (0,1)时,h(x) 0,当 x (1,)时，h(x) 0 ;当 x (0,1)时，g(x) 0，x (1,)时，g(x)0，所以 g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增.由洛必达法则有lim g (x) lim(X 1x 12xln xx21 lim 2x 1 2x即当x 0,且x1时,g(x) 0 .因为k g(x)恒成立，所以k 0 .综上所述，当x 0，k成立，k的取值范围为(x 1 x注：本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数且 x 1 时，f (x),0.k分离出来.然后对分离出来的函数g(x) 空丄x 1

9、求导，研究其单调性、极值1 x此时遇到了“当x=1时，函数g(x)值没有意义”这一问题，很多考生会陷入困境.如果考前对优秀的学生讲洛必达法则的应用，再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法.当然这一法则出手的时机：(1)所构造的分式型函数在定义域上单调(2)是0型。04. 运用洛必达和导数解2010新课标理设函数 f (x) e自编：若不等式sinx x ax3对于 1 x ax2.(I)若a 0,求f(x)的单调区间;(n)当 x 0时，f(x) 0,求a的取值范围.应用洛必达法则和导数(n)当 x 0时，f(x) 0，即 ex 1 xax2.当x0 时，a R ；当x0 时，ex2

10、x ax等价于ax.e1x2x记 g(x)x .e 1x2x(0,+)，则 g (x)(x 2)ex x 2x3记 h(x)(x 2)ex2 x (0,+ ),则 h(x) (x 1)ex当 x (0,+ )时，h (x)xex 0，所以h(x) (x 1)ex 1在(0,+ )上单调递增，且h(x)h(0)0 ,所以h(x) (x 2)e x 2在(0,+ )上单调递增，且h(x) h(0)0 ,因此当x (0,+ )时，g(x)唱x0,从而g(x)ex1 x2一 在(0,+ )上单调递增.x由洛必达法则有,l!m0g(x)xm0x .e 1X2xxlim e一X 0 2xxlim x 0

11、2即当x0时,综上所述,1g(x)-，所以当x21且 x 0 时，f (x)2)时，所以g(x) 1，因此a -2 20成立.5. 运用洛必达和导数解自编题(0,)恒成立，求a的取值范围.解：应用洛必达法则和导数当x(0,2)时，原不等式等价于ax sin xx3 x si nx 上、 3sin X xcosx 2x 记 f (x)，则 f (x)x记 g(x) 3sin X xcosx 2x，贝U g(x) 2cosx xsinx 2.因为 g (x) xcosx sinx cosx(x tanx),g(x) xsinx 0 ,所以 g(x)在(0,)上单调递减，且 g(x)0 ,所以g(x

12、)在(0,-)上单调递减，且 g(x)0.因此g(x)在(0,-)上单调递减,且 g(x) 0，故 f(x)啤 0，因此xf(x)x sin x在(0)上单调递减.由洛必达法则有lxm0f(x)x sinx limx 0x3limoosxx 03x1 2lim沁x 0 6xlimcosxx 0 6即当x0时,g(x)x (0,)恒成立.2010年新课标文已知函数xf(x) x(e 1)2 ax .(I)若(n)当x 0时，f(x) 0，求a的取值范围.f (x)在x 1时有极值，求函数f (x)的解析式;解: (I)略(n)应用洛必达法则和导数当 x 0时，f(X)0，即 x(ex 1) ax

13、6通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足: 可以分离变量； 用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性； 出现“ 0”型式子.06. 运用洛必达和导数解2010海南宁夏文(21).当x 0时，a R ；当x0 时，x(ex 1)ax2等价于ex 1 ax，也即a记 g(x)ex 1x (0,x)，则g(x)区上记 h(x)(x 1)ex1, xx(0,)，则 h(x) xe 0,因此 h(x) (x1)ex 1 在(0,)上单调递增，且h(x)h(0)0,所以 g(x)凹 0,从而 g(x)1在(0,)上x单调递增.由洛必达法则有lim g (x) limX 0x 0e

14、x 1即当x 0时，g(x)所以g(x) 1，即有a1.综上所述，当a 1 , x0时，f(x) 0成立.7.运用洛必达和导数解2010年大纲理2010全国大纲理(22)设函数f (x)(I)证明：当1时,(n)设当x0时,f(x)f(x)-xxax 1求a的取值范围.解: (I)略(n)应用洛必达法则和导数由题设x 0，此时f(x) 0.当0时，若xax0, f (x)ax当0时，当0时,f(x)，即1ax 1X -不成立;1x _ ；1ax0，则a0，则1等价于ax 1，即ax 1x xexexxe xx、 / 、 xe记g(x) xexxe x1，则 g(x)xx .! 2e 12x 2

15、 :e X e/X 2(xe x)xez x 2 cx x2(e x 2 e ).(xex x)记 h( x) exx2 2 e x，则 h(x)ex 2x e,h(x) ex+e x 20因此，h(x)ex 2x e x在(0,)上单调递增,且 h(0)0,所以 h(x)0,即 h(x)在(0,)上单调递增，且h(0)0，所以h(x) 0.因此 g(x)=(xex x)Xe汕(X)所以g(x)在(0,)上单调递增.由洛必达法则有戈叫曲)x x .xe e 1 limxX 0 xe xlim =x 0 exxxex 7xe 1lxm0 2exxe xexxi xe1丄，即当x 0时,2g(x)

16、 128.运用洛必达和导数解设函数f (x) sinX2 cosx，即有g(x)122008年全国2理所以a2 综上所述，a的取值范围是(.(I)求f(X)的单调区间;(n)如果对任何x 0，都有f (X) ax，求a的取值范围.解：(I) f(x)当2k n当2k n2n32n32k n2k n因此f (x)在每一个区间2(2 cos x)2 -(2 cosx)(k Z )时，cosx12，即 f (X)0 ；(k Z )时，cosx1-,1 卩 f(X)0 .22n2n,2k nn ( kZ )是增函数，(2 cosx)cosx sin x( sin x)2cos x 12k332n34 n3f(x)在每一个区间2k7C2 n一,2k n3(kZ )是减函数.(n)f(x)应用洛必达法则和导数sin x20,ax cosx 则a R ；则 sin X2 cosxax等价于asin X口，即 g(x)sin xg(x)x(2 cosx)x(2 cosx)2xcosx 2sin X sin xcosx x2 2x (2 cosx)记 h(x) 2xcosx 2sinx sinxcosx x ,h(