一、整数乘方的个位数字

1、、整数乘方的个位数字、整数乘方的个位数字整数的个位数字只有 0，1，2，3，4，5，6， 7，8，9 十种。下面我们列出表格，尹L尹看一看经过不同次数的乘方之后，个位数字如何变化。a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9a2 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1a3 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9a4 0 1 6 1 6 5 6 1 6 1a5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9从表中可以看出：1）平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9，而不可能是 2， 3， 7，8。2）三次方的个位数字从 0， 1到 9 都有可能。3）四次方的个位数字只可能是0，1，6，5，不可能是

2、 2， 3，4，7，8， 9。4）五次方的个位数字与一次方的个位数字完全相同。于是，六次方的个位数字与二次方的个位数字完全相同；七 次方的个位数字与三次方的个位数字完全相同；八次方的个位数字与四次方的个位数字完全相同。不难看出：a1，a5，a9,的个位数字相同;a2，a6，a10,的个位数字相同;a3，a7，a11,的个位数字相同;a4，a8，a12, 的个位数字相同。5）个位为 0， 1， 5， 6 的数无论多少次乘方，其个位数字保持不变。例 1 求 319934199551995 的末位数字 分析：只要分别求出 31993，41994，51995 的个位数字，再 相加即可求出 31993

3、4199451995 的个位数学 解： 51995的个位数字为5,从各个数字乘方后的个位数字表中可以看到, 4的奇次方的个位数字为4,偶次方的个位数字为 6, A 41994的个位数字为 6；又 34k1 的个位数字为 3, 34k2 的个位数字为 9, 34k+ 3的个位数字为 7, 34k的个位数字为 1,而1993 = 4 X 4981 ,A 31993 的个位数字与 31 的个位数字相同。故 31993 + 41994 + 51995 的个位数字与 3+6+ 5= 14 的个位数字相同，即 31993 41994 51995 的个位数字为 4。5 个数，其例 2 从 1，1，3，3，5

4、，5，7，7，9，9 中取出中至少有三个数不重复，且它们的乘积的个位数字是1。问这 5 个数的和应是多少？分析与解：要求取出的 5 个数乘积的个位数字是1，显然所取的 5 个数中不能有数字 5，只能从 1，3，7，9 中取，由于 要求至少有三个数不重复，那么只能有一个数重复取两次。即只可能有 1 X 1X 3X 7X 9, 1 X 3X 3X 7X 9, 1 x 3x 7X 7X 9, 1 X 3 X 7X 9X 9 四种情形。经检验上述四个乘积的个位数字分别为9，7，3，l。故所取的五个数为 1 ，3，7，9，9。这五个数的和为 29。例 3 我们把从 1 开始若干个自然数的连乘积用简单的符

5、号表 示，如1 X 2X 3X 4X 5 记作 5！，读作 5 的阶乘；1 X 2X 3XX 100记作100!,读作100的阶乘;1 X 2X 3XX n，1记作n!，读作n的阶乘。求 N = 1!+2!+ 3!+ 1992!+ 1993!的个位数字。分析：只要将 1 ! , 2! , 3!,1992! , 1993!的个位数字一一求出后相加，就可得出各个阶乘的和的个位数字。但要求出各个阶乘的个位数字，需计算 1993项，且每项几乎都是一大串数字之积，工作量是否会太大？2！=1 X 2= 2,3!= 1 X 2X 3= 6，4!= 1 X 2X 3X 4= 24，5!= 1 X 2X 3X

6、4X 5= 120，可以看出 6!直至 1993!的个位数字都是 0。因此， N= 1!2! 3!4!5! 1993!的个位数字就是 1 + 2+6+24+0+ 0的个位数字。即N的个位数字为3。例4求14 + 24 + 34+ 19924 + 19934的个位数字。分析与解： 1 ， 2， 3，1992， 1993，这些数的个位数字不过是 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 0。其四次方的个位数字依次为1, 6, 1, 6, 5, 6, 1, 6, 1, 0,。前十个数字和为 1616561610=33，个位数字为 3。这样就可将 1424 3444 19924 19934 分为十项一组，每组的个位数字均为3。即(14+ 24 + 34 + + 104) + ( 114 + 124 + 134 + 204 )+ (19814 + 19824 + 19834 + + 19904) + 19914+ 19924+ 19934。前1990项的和的个位数字与 3X 199的个位数字相同，即为 7。而 19914 的个位数字为 1，19924 的个位