2概率分布与t检验.

1、第二章概率分布与脸验§2-1理论分布§2-2样本平均数的抽样分布§23统计假设检验概述§ 2-1理论分布、事件与概率1事件(1)必然事件：(2)不可能事件:随机事件：随机事件的特点： 在一定的条件下，有多种可能的结果发生，事前人们不 能预言哪种结果； 对一次或少数几次观察或试验而言，其结果呈现偶然性、 不确定性； 但在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果呈现 出某种固有的规律性一频率，即随机事件的统计规律性。F例如，种子的发芽率试验，少量的种籽作试验时，其发芽率可能是85%、95%,0但当进行重复大量样本的试验时，其发芽率越来越接近90%,V这90%

2、实际上是这批种籽的发芽率或称为概1.2概 率:在相同条件下进行n次重复试验，如果随机事 件A发生的次数为m,那么m/n称为随机事件A 的频率(frequency)；心当试验重复数n逐渐增大时，随机事件A的频 率m/n越来越稳定地接近某一数值P，那么就 把为随机事件A的概率。13小概率事件原理*概率表示了随机事件在一次试验中出现的机率。、若随机事件的概率很小，例如<0. 05. 001、0. 001,称之为小概率事件。心小概率事件虽然不是不可能事件，但在一次试验 中出现的可能性很小，实际上可以看成是不可能/ 发生的。-*统计学上，把小概率事件在一次试验中看成是不可 能发生的事件称为小概率事

3、件原理。V此原理是统计学上进行假设检验（显著性检验）的 基本依据。2概率分布（连续型随机变量）1）连续型随机变量（如身高、体重、物质浓度）的概率 分布，可用随机变量X在某个区间内取值的概率 P （ax<b）来表示。却概率分布密度函数，当X取值于区间a,b的概率为 中阴影部分的面积P(a<x<b)= fx)dx图2-1概率分布曲线0s正态分布(Normal distribution)11正态分布的定义及其特征(1)正态分布的定义«若连续型随机变量X的概率分布密度函数为I1 )/U) = e "2CT y! 2717其中"为平均数，昭为方差，则称随机

4、变量X服从 正态分希，iB为xN(pe2)20(比)=jJ e 2 du4)3.2标准正态分布:将一般的N（P , O 2）转换为P =0, a 2二1的正态 5布。我们称U =0, a 2=1的正态分布为标准 正态分布。：标准正态分布的概率密度函数及分布函数分别记作V（U）和（U）,如式3）及4）式得：3)s3) =j=a/ 2花十菇柱何一个服从正态分布N （ P ,。2）的随机 变量X,都可以通过标准化变换，u=（X- U ） / a5）将其变换为服从标准正态分布的随机变量U。U称为标准正态变量（standard normal deviate）。心按5）式计算，对不同的U值编成函数表，称为

5、 正态分布表，见附表1,从中可查到U在任意 -个区间内取值的概率。3.3正态分布概率的计算1）标准正态分布的概率计算（N0RMSDI ST） 心设U服从标准正态分布，贝lju在叶出内取值 的概率为：1III、1二I p« UII !«, -M" P（«i <u <Uj）= . I £ 2 du = j=0 2 du1= f e 2 du=<t>（U2）（Ui）心而（W）与（U2）可由附表1查得。关于标准正态分布，以下几种 概率应当熟记：<P(-l<f/ <1)=0.683"(J96M <

6、196) =C心P (-2.58</ <2.58) =C：对于一般正态分布2卸+<0 =0.6!0P (p-1.96oS < p+1.'=0.95gP (p-2.58tySt <p+2.58o)=0.99(3)两尾概率和一尾概率数理统计中，把随机变量精在平均数P加、减不 同倍数标准差O区间之外的概率称为两尾概率，记 作a。随机变量"W U 一kG或Nu +/ro的概率，称为一尾 概率，记作0/2。心例如，X落在(U-1.96O, U+1.96O)之外的双尾概率为 0. 05,而单尾概率为0. 025o心即P(xV U-1.96 0)= P(x&g

7、t; u+1.96 0)=0. 025两尾概率或一尾概率如图2-4所示。0 熾在(U -2. 58 O . U +2. 58 O )之外的双尾概率为0. 01, 心而单尾概率P(xV U -2. 58 O ) = P(x> u +2. 58 a ) =0. 005§ 2-2样本平均数的抽样分布1、样本平均数抽样分布1.1定义:从一总体随机地抽取样本容量为n的样本，由 这些样本算得的平均数随抽样次数的分布， 称为样本平均数的抽样分布。样本平均数与原总体平均数U相比表现出的 差异是由随机抽样造成的，称为抽样误差 (sampling error) o由总体随机抽样(random sa

8、mpling)的 方法可分为有返置抽样和不返置抽样两 种OV前者指每次抽出一个个体后，这个个体应 重返原总体；心后者指每次抽出的个体不返回原总体。:对于无限总体，返置与否都可保证各个 体被抽到的机会相等。心对于有限总体，就应该采取返置抽样， 否则各个体被抽到的机会就不相等。1.2中心极限定理:若有一随机变量服从总体平均数为U、 方差为O 2的分布，则从这个总体中随机/ 抽取容量为的样本，随样本容量打的不断增大，其样本平均 数的分布亦愈来愈趋于正态分布，诵本平均数分布的平均数和标准差分别记为和6°心且具有平均数为P、方差为o2/n的分布J 称为中心极限定理。V b丘是样本平均数抽样总体

9、的标准差，简称标准误 (standard error)。总体的两个参数与X原总体的两个参数有如下关系:&=“，乐=刃厶无论胡艮从何种分布，一般只要n>30,就可认为的 分布是正态的。在正态分布总体中，以相同n抽取若干个样本(如:试 验重复n=3)时，样本均数的分布仍服从正态分布。1.3标准误样本平均数抽样总体的标准误G的大小反映 样本平均数抽样误差的大小，即精确性的高 低。心总体标准差。往往是未知的，七难计算，但可 用样本标准差S估计:故，S壬即样本标准误或平均数标准误可估计 总体平均数的标准误。S _ 1工(宀)2-1)_ I工兀2 一(丫兀)2 Inq n(n-l)卞蒔祷准差

10、与样本标准误是两个不同的统计S。i二者的区别在于：心样本标准差S是样本中各观测值兀"兀力兀3，变异程度的一个 指标，反映了 X对该样本代表性的强弱。心样本标准误是样本平均数的标准差，它是亍抽样误差的估 计值，说明了 X精确性的高低。：对于大样本资料，常将样本标准差S与样本平均数配 合使用，记为元土S,用以说明所考察指标的优良性 与稳定性。对于小样本资料，常将样本标准误与样本平均数配g 使用，记为牙土Sn用以表示所考察指标的优良性旦 抽样误差的大小。)2、/分布(f-distribution)E用来研究小样本的抽样分布，是由William S. Cosset 于1908年以Studen

11、t的笔名发表的论文.由样本平均数迪样分布的性质知道：若XXN ( " , O 2),贝阮NI , a 2/n)。则"心将随机变量标准化得：U =(X II)/cr-：当总体标准差a未知时，以样本标准差易弋替。所 得到的统计®记为仁r = (x-/z)/S-在计算升时，由于采用S来代替。，使得亡变量不 再服从标准正态分布，而是服从 旳*布(Cosset & Fisher)。专它的概率分布密度函数如下:=十厂51)/2(1 + 11)-辰W/2) df)V式中，亡的取值范围是(-8, +8)； d仁nT 为自由度。j：布的平均数和标准差为：P £=0

12、,6 = yldf/(df-2)(少2)* r分布的标准差与总体标准差没有关连。因此，特别 适用于抽样误差大的小样本。二I）形>布受自由度的制约，每一个自由度都有一条 旳布密度曲线。 2）册布密度曲线以纵轴左右对称，且在十=0时， 函数值最大。 3）与标准正态分布曲线相比，旳<布曲线顶部略低, 两尾部稍高而平。刃越小这种趋势越明显。 4） 越大，f分布越趋近于标准正态分布。9当/2>30时，/分布与标准正态分布的区别很小； x?»w>100时，r分布基本与标准正态分布相同；飞2-3统计假设检验概述K显著14检验的基本原理1.1概念«1）统计检验（统计

13、推断儿 根据抽样分布规律 和概率理论，由样本统计数去推断总体参数 的方法。包括假设检验和参数估计«2）假设检验：根据某种实际需要，对未知或 不完全知道的统计总体提出一些假设（这些假 设构成完全事件），然后由样本的实际结果计 算后作出的在一定概率意义上应当接受的那 种假设的检验。V如在白班生产的产品与晩班生产的产品， 其质量的差异是由抽样误差产生的还是由生 产工人产生的差异。 3）参数估计.由样本的统计数对总体的 参数作出的点估计和区间估计。 4）点估计：以统计数估计相应的总体参 数。如由样本平均数估计总体平均数，由样本标准误估计总体标准误。 5）区间估计.根据统计数的概率分布， 估计

14、出相应的总体参数（8 ）的范围区间1.2显著性检验的意义:对两个样本进行比较时，判断样本间差异是 抽样误差造成的，还是本质不同引起的。心这正是显著性检验要解决的问题。:由于总体平均数未知，在进行显著性检验时 只能以样本平均数作为检验对象，更确切地 说，是以两样本平均数的差数作为检验对象。,为什么以样本平均数作为检验对象呢？ 这是因为样本平均数具有下述特征： 1）、离均差的平方和最小。说明样本平均1 数与样本各个观测值最接近，平均数是资1 料的代表数。！心2）、样本平均数是总体平均数的无偏估计 4caIB. o根据统计学中心极限定理，样本平均 数的分布服从或逼近正态分布。1-3统计假设检验的数学

15、模型:对于两个不同处理的样本，其平均值表示为:兀1 = “1 + 6兀2 = “2 + 2迢 X兀2 (“ 勺2)+(6 2)和 分：一部分是两个总体平均数的差()，称试验的(treatment effect) 昂l部分是()o巧&22、显著性检验的基本步骤(1) 首先对试验样本所在的总体作假设I、无效假设(HA 假设总体平均数与某一指定 值相等或假设两个总体参数相等，这种假设 称为无效假设，表示处理效应无效，是由误差 造成的。HQ : fl =卩2II、备择假设(Ha)：备择假设是在无效假设被 否定时准备接受的假设，与无效假设一起构 成完全事件。Ha : “工“21) 提出无效假设与

16、备择假设：“ = 50Q/a :“h5002) 计算地 经计算得：元=5027, S = 8.6416心匕= 5027-5譽 “988S 8.64167106 = n-l = 10-l=9由莎9,查婕利附表3) />0. 05,故，> (2)确定显著水平a ,般为005或0. 01的小 概率。心(3)在无效假设成立的前提下，根据统计数的 抽样分布规律，计算无效假设正确的概率。J (4)根据“小概率事件不可能性原理”否定或 接受无效假设O、若Pvz,或t >1,则在a水平上否定Ho，接受Ha； 、若PM,或Irl丸，则在"水平上接受Ho，表明是因 误差而产生的。>

17、;L'irrr某矿泉水企业的自动装罐机，在正常工作状态时, 每罐净容S具正态分布N (500, 64)(单位：mDo某日随机 抽查了 10瓶，得结果如下：505,512,497,493,50& 515, 502, 495, 490. 510,问瓶装机工作是否正常？ 解：根据题意，本例应进行双尾十检验。)3)查临界地，作出统计推断 得0.05=2.262,因为I十|<七0 05, 即装罐机工作正常。、两尾检验与单尾检验(1)两尾检验：无效假设HQ :从=d：备择假设H幷:“ H “2V备择假设中包括了“2或“ “2两种可能。 心这个假设的目的在于判断两均值有无差异， 而不考

18、虑谁大谁小。«在生产实践中，双尾检验不一定符合实际情况， 常用一尾检验。V如采用某种新的技术来提高某化工产品的质量， 此种技术的实施不会降低质量。)尾检验即统计假设仅有一个否定区域的检验叫一尾 检验。此时查一尾检验的临界tfiS。心无效假设应为：Ho :“心备择假设应为：Ha：从4 即新配套技术的实 施使质量有所提高。这时的否定域在椅布曲线 的右尾。反之，若无效假设丹0 : “I “7备择假设/人:“1 " 此时的否定域在朽 布曲经的左尾。显然，单尾检验的/二双尾检验的tgHa： M >M 0Ha： M <P o尾检验*4*识;尾检验还是双尾检验，应根据专业知 识及要求在试验设计时确定。一般若事先不知道所比较的两个处理效果 谁好谁坏，分析的目的在于推断两个处理 效果有无差别，则选