15机械振动习题解答

1、第十五章机械振动一选择题A.B、对一个作简谐振动得物体，下面哪种说法就是正确得？（ 物体在运动正方向得端点时，速度与加速度都达到最大值； 物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度与加速度都为零；C.D。物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零； 物体处负方向得端点时，速度最大，加速度为零、解:根据简谐振动得速度与加速度公式分析。答案选Co2、 下列四种运动（忽略阻力）中哪一种不就是简谐振动？（）A.小球在地面上作完全弹性得上下跳动；B .竖直悬挂得弹簧振子得运动；?C. 放在光滑斜面上弹簧振子得运动；D. 浮在水里得一均匀球形木块，将它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动、 解:

2、A中小球没有受到回复力得作用。答案选A。3。一个轻质弹簧竖直悬挂，当一物体系于弹簧得下端时，弹簧伸长了 I而平衡。则此系统作简谐振动时振动得角频率为（）A、B。C、 ?D.解 由kl= m g可得k = mg /1,系统作简谐振动时振动得固有角频率为。 故本题答案为B。4. 一质点作简谐振动 =0,则振动初相为（A.解故本题答案为A。5、 如图所示，质量为m得物体，由劲度系数为 轨上作微小振动，其振动频率为（）A、B.C.D、解:设当m离开平衡位置得位移为 X，时，劲度 系数为kl与k2得两个轻弹簧得伸长量分别为 X1 与X2,显然有关系（用余弦函数表达）,若将振动速度处于正最大值得某时刻取作

3、t）B、0C、 ?D。 n由可得振动速度为。速度正最大时有”若t = 0,则、k 1与k2得两个轻弹簧连接，在光滑导kik2选择题5图此时两个弹簧之间、第二个弹簧与与物体之间得作用力相等。因此有 由前面二式解出，将Xi代入第三式，得到将此式与简谐振动得动力学方程比较，并令,即得振动频率所以答案选D。6.如题图所示，质量为m得物体由劲度系数为ki与k2得两个轻弹簧连接，在光滑导轨上作微小振动，则该系统得振动频率为()k1rAAAz-k21側川4解:设质点离开平衡位置得位移就是 弹簧被压缩X,作用在质点上得回复力为选择题6图X,假设x0，则第一个弹簧被拉长X，而第二个-(ki X + k2x )、

4、因此简谐振动得动力学方程令,即 所以答案选B 。7.弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作得功为kA2B。(1/2 )kA 2C、(1/4)kA2Do 0解:每经过半个周期，弹簧得弹性势能前后相等，弹性力得功为0,故答案选D。8 弹簧振子作简谐振动，总能量为E ,若振幅增加为原来得2倍，振子得质量增加 为原来得4倍，则它得总能量为A。2EB.4E解:因为，所以答案选B。已知有同方向得两简谐振动9。，它们得振动表达式分别为)cmC. 1 1cm61cm所以答案选10. 一振子得两个分振动方程为 则其合振动方程应为:()X = 4 cos (3 t + n )A、xi,X2co

5、s(3C、X = 2 cos (3 t n )解:X = X 1 + X 2= 4 cos 3 t + 2=2 cos 3 tcos=4 cos (3 tX =2 cos 3 t(3 t + n )= 4 cos 3 t 2B.co s 3 t所以答案选D、1 1 .为测定某音叉 C得频率，可选定两个频率已知得音叉 A OHz得音叉A与音叉 C同时振动，每秒钟听到两次强音；再使频率为 同时振动，每秒钟听到一次强音，则音叉C得频率应为：()A、800 H ZB. 7 99 H z与B；先使频率为8 079 7 H Z音叉B与CD. 7 9 7 H z解:拍得频率就是两个分振动频率之差、由题意可知

6、 拍得频率就是2 频率应为7 98所以答案选填空题一质量为m得质点在力 F:音叉A与音叉H z，音叉B与音叉C同时振动时，拍得频率就是1HH ZoC同时振动时， 乙显然音叉C得Co1、n 2 x作用下沿 x轴运动,其运动得周期为解：。2o如图，一水平弹簧简谐振子振动曲线如图所示,振子处在位移为零，速度为 3A、加速度为零与弹性力为零得状态 ，对应曲线上得 点,振子处在位移得绝对值为 A、速度为零、加速度为3 2 A与弹性力为kA得状态，则对于曲线上得点。3o一简谐振动得振动曲线如图所示，相应得以余弦函数表示得该振动方程为mox =_解：o4 . 一物体作简谐振动，其振动方程为x =0 . 0

7、4 co s(5 n t / 3 n / 2 ) mo(1) 此简谐振动得周期 T = 、(2) 当t = 0 o 6 s时,物体得速度V =o解:由 5n/ 3 =2 n / T,得到 T= 1. 2 s;( 2 ) v= 0、045 n /3si n (5 n t / 32 )，当 t =0、6 s 时,v = 0、209 m . s -o若t质点位于x=A/2处且向x轴负方向运动，则振动方程为5、一质点沿X轴做简谐振动，振动中心点为x轴得原点、已知周期为T,振幅为A, ( 1 ) =0时刻质点过x= 0处且向x轴正方向运动，则振动方程为;(2)若t =0时解：(1)；(2)6。图中用旋转

8、矢量法表示了一个简谐振动，旋转矢量得长度为0、0 4 m，旋转角速度3 = 4 n r a d / S,此简谐振动以余弦函数表示得振动方程为x解:t= 0时X =0, V 0，所以振动得初相位就是n / 2。故X7.质量为m得物体与一个弹簧组成得弹簧振子，其固有振 动周期为T,当它作振幅为A得简谐振动时，此系统得振动能量E填空题6图t = 0解:因为,所以。将质量为0 .2 k g得物体，系于劲度系数k = 19 N/m得竖直悬挂得弹簧得下 端。假定在弹簧原长处将物体由静止释放 ，然后物体作简谐振动，则振动频率为_ ,振幅为解：1.5 5 Hz; m9。已知一简谐振动曲线如图所示，由图确定：(

9、1) 在s时速度为零；(2) 在s时动能最大；(3) 在S时加速度取正得最大值、解:(1)0 .5 (2n+1), n=0 ,1,2,3; n ,n=0, 1 ,2, 3 ；(3) 0。5( 4 n + 1 ),n= 0 ,1,2,3。1 0 . 一质点作简谐振动，振幅为A,当它离开平衡位置得位移为时，其动能E k与势能 E P得比值=_。解势能，总机械能为，动能。故、1 1.两个同方向同频率简谐振动得表达式分别为? (S I ), (SI),则其合振动得表达式为 _解本题为个同方向同频率简谐振动得合成、(1)解析法合振动为，8。x(m)3t(S)填空题9图(SI)。其中 11、3(2)旋转矢

10、量法如图所示，用旋转矢量A1与A 2分别表示两个简谐振动动为A1与A2得合矢量A,按矢量合成得平行四边形法则XI与X2,合振m,o故合振动得表达式为计算题已知一个简谐振动得振幅A = 2 C m,圆频率3 = 41、=n / 2。试画出位移与时间得关系曲线(振n s1，以余弦函数表达运动规律时得初相位 动曲线)。解：圆频率3 = 4 ns 1,故周期T = 2n / W = 2n/ 4 n = 0.5 s ，又知初相位=n/2 ,故位移与时间得关系为x = 0、02 C os(4 n t + n / 2)m,振动曲线如下图所示、0、0x(m)rv- _ _ _ _20、020、 25 0、 5

11、0t(s)2、 一质量为0。02k g得质点作简谐振动，其运动方程为x =0.60 co s(5 tn/2 ) m。求:(1)质点得初速度;(2)质点在正向最大位移一半处所受得力、解:m /sx=A/2 = 0、3 m时,N。a。今用手指沿竖直方向将其 试证明：若不计水对木块得3、一立方形木块浮于静水中，其浸入部分高度为慢慢压下，使其浸入水中部分得高度为b，然后放手让其运动。粘滞阻力，木块得运动就是简谐振动并求出周期及振幅。=to 二x m。现在这根弹簧下端悬挂4cm,并给以向上得2 1 cm证明:选如图坐标系:,静止时： 任意位置时得动力学方程为：-(2) 将(1 )代入(2 )得 令,则，

12、上式化为： 令得:(3 )上式就是简谐振动得微分方程，它得通解为： 所以木块得运动就是简谐振动。振动周期： 时,振幅：4 .在一轻弹簧下悬挂 m0= 100g得物体时，弹簧伸长8 C m=25 0 g得物体，构成弹簧振子、将物体从平衡位置向下拉动 /s得初速度(令这时t=0)。选x轴向下，求振动方程1解:在平衡位置为原点建立坐标,由初始条件得出特征参量。弹簧得劲度系数、当该弹簧与物体构成弹簧振子角频率为代入数据后求得r ad,起振后将作简谐振动，可设其振动方程为：1以平衡位置为原点建立坐标，有:m,据得：m 据得rad,由于,应取rad于就是，所求方程为：m据得，由于,应取于就是，其振动方程为

13、：m已知某质点作简谐运动，振动曲线如题图所示，试根据图中数据，求(1)振动表达 ,(3 )与卩点状态相应得时刻。5、式,(2)与P点状态对应得相位 解(1)设振动表达式为X = A cos ( t+ )由题图可见,A=0.1m,当t = 到。由振动曲线可以瞧到，在时，有m,这样得=0时刻曲线x(m)0、得斜率大于零，故t =0时刻得速度大于零，由振动 表达式可得0、OV0 =2 S in 0即sin 0,由此得到初相位。类似地，从振动曲线可以瞧到，当t = 4s时有联立以上两式解得,则rad s ，因此得到振动表达式4、t(s)5图计算题?(2)在P点”因此相位。?(3)由,解出与P点状态相应

14、得时刻t = 1、66.两个质点在同方向作同频率、同振幅得简谐振动。在振动过程中S、，每当它们经过 振幅一半得地方时相遇，而运动方向相反、求它们得相位差，并画出相遇处得旋转矢量图。解:因为,所以故，取。旋转矢量图如左。7 .如图,有一水平弹簧振子，弹簧得劲度系数 N /m,重物得质量m = 6kg,重物静止在平衡位置上 一水平恒力F 之由平衡位置向左运动了0 运动到左方最远位置时开始计时解:设物体振动方程为:x = 力所做得功即为弹簧振子得能量E当物体运动到左方最远位置时m:1 0 N向左作用于物体(不计摩擦),使 .0 5m,此时撤去力F ,当重物,求物体得运动方程。A co s (w t

15、+ ),恒外E:计算题7图F 0.05 =0.5 J，弹簧得最大弹性势能即为弹簧振子得能量E:kA2 / 2=0、5由此球出振幅 A = 0、204 m。 根据 w 2 = k / m = 2 4/6=4( r a d / s )2,求出 w = 2 r a d / s。&向右运动时，v =1 0 0 C m s 是原来得多少倍？弹簧得质量不计。解:设小球得速度方程为：=V m c o S (2 n t / T 0，根据题意+ )t = 0 时 V = V 0 = 100 C m S1,且此时小球得动能Ek0 = m V02 /经过1 / 3秒后，速度为V = V0CE k = m VEk /

16、 E0 =1 / 4 ,即动能就是原来得一质点作简谐振动，其振动方程为：所以2。:2 n /(3 T) =V0 /2、其动能/ 2= m V02/ 81/4倍。6 . 0X 10-2co S ( nt / 3 n / 4)m、(1)当x值为多大时，系统得势能为总能量得一半？(2)质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少? 解：(1 )势能Ep= kx / 2，总能量E =到m,此时系统得势能为总能量得一半、(2)简谐振动得周期T = 2n / W = 6 衡位置运动到得最短时间t为T/ 8 ,所以t = 6/ 8kA2/2。根据题意，kx2 / 2 = kA2 / 4,得S,根据简谐振动得

17、旋转矢量图，易知从平=0、10。如图所示，劲度系数为k,质量为m。得弹簧振子静止地放置在光滑得水平面上，一质量为m得 子弹以水平速度 v1射入m0中，与之一起运动。选m、kmovi m t_amo开始共同运动得时刻为t = 0,求振动得固有角频计算题10图率、振幅与初相位。解:碰后振子得质量为设碰撞后系统得速度为 位移处全部转换为弹性势能令振动方程为，则速度。当t= 0时”可解出初相位、m+ m 0,故角频率。v0,碰撞过程中动量守恒 ，即振幅，故得到。系统得初始动能为，在最大11。一个劲度系数为k得弹簧所系物体质量为m 0，物体在光滑得水平面上作振幅按题中所述时刻计时，初相位为 =n。所以物

18、体运动方程为x =0。2 0 4 c o s (2 t + n ) m一水平放置得弹簧系一小球在光滑得水平面作简谐振动、已知球经平衡位置1周期T =1 .0S,求再经过1/3秒时间,小球得动能就V以经过平衡位置得时刻为t =V0、所以0， = 0为A得简谐振动时，一质量为m得粘土从高度h处自由下落，正好在(a)物体通过平衡位置时,(b)物体在最大位移处时，落在物体m。上。分别求：振动得周期有何变化？振幅有何变化？解：(1 )物体得原有周期为，粘土附上后，振动周期变为，显然周期增大、不管粘土就是 在何时落在物体上得，这一结论都正确。(2)设物体通过平衡位置时落下粘土，此时物体得速度从 vo变为V

19、，根据动量守恒定律，得到又设粘土附上前后物体得振幅由Ao变为A,则有由以上三式解出，即振幅减小。物体在最大位移处时落下粘土 ”此时振幅不变。12。如题图所示，一劲度系数为 k得轻弹簧，一端固定在墙上，另一端连结一质量为 m1得物体，放在光滑得水平面上。将一质量为m2得物体跨过一质量为 m，半径为R得定滑轮与m】相连，求其系统得振动圆频率。解 方法一:以弹簧得固有长度得端点为坐标原点，向右为正建立坐标S。对m1与m2应用牛顿第二定律、对 m应用刚体定轴转动定律，得到解上面得方程组得 令,上式简化为标准得振动方程m2加速度与角加速度之间具有关系系统得振动圆频率方法二:在该系统得振动过程中，只有重力与 弹簧得弹性力做功，因此该系统得机械能守恒、 ，得到将上式对时间求一阶导数，得到上式与解法一得结果一样、同样，圆频率为+1 3、 一物体同时参与两个同方向得简谐振动0、0 3 cos (2n t + n ) m。求此物体得振动方程。 解:这就是两个同方向同频率得简谐振动得合成 动。设合成运动得振动方程为：:X 1= 0、04 COS (2 n