高等光学教程-第2章参考答案

1、第二章干涉理论基础和干涉仪2.1用迈克耳逊干涉仪进行精密测长，光源波长为4633nm，其谱线宽度为10 nm,光电接收元件的灵敏度可达 1/10个条纹，问这台仪器测长精度是多少？ 一次测长量程是多少?解答：设测长精度为l，则l由探测器接受灵敏度N/10所决定，2 l N一次测长量程Im由相干长度Ic所决定,lMN 0.032(32 nm)2Im2lc2m太阳光照射过去，当油膜较薄时呈现出彩色,2.2 雨过天晴，马路边上的积水上有油膜， 解释为什么油膜较厚时彩色消失。因而干涉条纹消失。解答：太阳光是一多色光，相干长度较小。当油膜较厚时光经上下两界面反射时的光程差超 过了入射光的相干长度，2.3计

2、算下列光的相干长度（1）高压汞灯的绿线,546.1 nm5nm（2）HeNe激光器发出的光,633 nm1MHz解答：计算相干长度Lc59.6 mLc 300m2.4在杨氏双缝实验中1:2,（1）若以一单色线光源照明，设线光源平行于狭缝，光在通过狭缝以后光强之比为 求产生的干涉条纹可见度。（2）若以直径为 0.1mm的一段钨丝作为杨氏干涉实验的光源，为使横向相干宽度大于1mm，双缝必须与灯丝相距多远？设=550nm解答：（1）I 10 2I 02JI0 210 cos(2)由(2-104)式Fbb db 0.182 M2.5图P2-5所示的杨氏干涉实验中扩展光源宽度为 小相同，相距为 d， Z

3、0=1m， Z1=1m（1）当两孔P1、P2相距d=2mm时，计算光源的宽度由 见度变化范围。P,光源波长为 5893 A，针孔P1、P2大p=0增大到0.1mm时观察屏上可(2)设P=0.2mm，Z0、Z1不变，改变P1P2之间的孔距d，当可见度第一次为 0时d=?(3)仍设p=0.2mm，若 d=3mm， Z0 1m .求 0面上z轴附近的可见度函数。图 p2-5解答：(1)由(2-106)式 V由(2-107)式sin上Z0PdZ0Z。sine 旦Z02.95 mm0.82pdSinZopd4.76 10 32.6有两束振幅相等的平行光，设它们相干,在原点处这两束光的初相位10 20 0

4、，偏振方向均垂直于 xoy平面，这两束光的入射方向与x轴的夹角大小相等(如图 p2-6所示)，对称地斜射在记录面yoz上，光波波长为 633 nm。(1)作出yoz平面，并在该平面上大致画出干涉条纹的形状，画三条即可。当两束光的夹角10和30时，求yoz平面上干涉条纹的间距和空间频率。2000条/mm，若要记录干涉条 最大不能超过多少度。设置于yoz平面上记录面感光物质的空间分辨率为 纹，问上述相干涉的两束光波波矢方向的夹角解答：参考教材(2-31)式，干涉条纹的间距d 2 sin(1)在yoz平面上干涉条纹的大致形状如图P2-6-2所示。(2)两光束夹角d12sin 1两光束夹角d22sin

5、 2图1 51100 时,0.633 m2sin5 o3.63f1p2-6-2di276 条 /mm0230 时，0.633 m2si n15o1.2215。,f2d2820 条 /mm由丄mm2000和633nm计算得到2sin 22.7如图p2-7所示，三束相干平行光传播方向均与xz平面平行,光波波长为,振幅之比 A : A? : A3 1:2:1 。点0处的初相位1020300。求在 z78.50与z轴夹角分别为设它们的偏振方向均垂直于xz平面，在原0的平面上(1)合成振幅分布 光强分布 条纹间距解答：(1 )三束光在xoy平面上的复振幅分布分别为U1(x,y)U2(x, y)U3(x,

6、y)Aexp(jkxsin )2AAexp( jkxsin )总的复振幅分布U(x,y) U1 U2U 32A1 cos(kxsin )(2 )在xoy平面上光强分布l(x,y) U(x,y)2 24A2 1 cos(kxsin )2x ksi nP2为大小相同的小孔，孔径间距为d，透镜的(3 )条纹间距解答：f1亍一ItZ £2.8如图p2-8所示，S为一单色点光源，P1、 半径为a，焦距为f, P1、P2关于z轴对称。(1) 若在观察平面上看到干涉条纹，条纹的形状和间距如何？(2) 当观察屏的位置由Z=0开始增大时，求面上观察到的条纹横向总宽度，讨论条纹总数与Z的关系。图 P2-

7、8-2由P1P2点发出的光波经透镜后变成两束平行光，设这两束光与z轴的夹角大小为 ，两束光重叠区域z坐标的最大值为Z0。当观察屏由z 0开始向右移动时屏上干涉区域的横 向宽度为 X 。.dSin (d2 4f 2)1/2条纹垂直于纸面，间距1 矿 2d(d24f2)1/2a aZ0 IgT Z2f2afd增至z Zo时条纹消失，由ZozZo当0<z<Z0时，条纹的总宽度z)a2a Iz条纹总数2a dz2d(2af dz)亦2 4f2)1/2fd2 4f22.9在图P2-9所示的维纳驻波实验中，设光不是垂直入射而是以 45角入射。对于以下两种情况，求电能密度的时间平均值(1) 入射

8、光的偏振方向垂直于入射面；(2) 入射光的偏振方向平行于入射面；(3) 以上两种情形中那一种会使感光乳胶在曝光、显影后得到明暗相间的条纹。当图中 乳胶膜与镜M成 角时，求乳胶膜F上条纹的间距。解答：图p2-9维纳驻波实验(1)入射光的偏振方向垂直于入射面时E(5i/i 0，在入射角45时由(2-41)式给出ExEy2e0') sin业42kz expj t kx222Ez所以电矢量的振幅以及电能密度的时间平均值沿z方向是周期变化的。由(1-81 )式，电能密度的时间平均值1Re(E D*)-0Re(E E*) on244E0i)2 sin2结果与坐标z有关，与坐标x、y无关。(2 )入

9、射光的偏振方向平行于入射面时,E0i)0，在入射角45时，由(2-41)式给Ex塵kzexp j2EyEzJ2e02 cos 2exp j由(1-81)式电能密度的时间平均值1Re(E D*)420n0Re(E E420n(ExExEzEz)20nE0'/经时间平均后电能密度与 z无关。()与z无关因而感光乳胶在(3)比较以上结果，当入射光的偏振方向平行于入射面时,曝光、显影后变黑是均匀的。 当入射光的偏振方向垂直于入射面时，()与z有关，与x、y 无关，在照像底片上能够得到明暗相间的条纹。干涉条纹的间距.V2d 一2s in2考虑到乳胶膜与镜 M成角，在乳胶膜上得到的条纹的间距dsi

10、n 2si n2.10在杨氏实验中光源为一双谱线点光源,发出波长为1和2的光，光强均为10,双孔距D，求:离为d,孔所在的屏与观察屏的距离为(1 )观察屏上条纹的可见度函数。(2 )在可见度变化的一个周期中干涉条纹变化的次数。(3) 设1 =5890 A，2=5896 A ,d=2mm,D=50cm,求条纹第一次取极小值及可见度函数第一次为0时在观察屏上的位置。 解答：(1) l1(x) 2l0 1 cos x1 Dl2(x)21。12 dcosx2 D其中l(x) l1(x)l2(x)2k14lo1 coskXDcoskxDk2图 p2.102k k1 k2以及k k1 k2，I（X）表达式

11、中有一个函数 cos kX cos kX，它是周DD期函数cos晋被一个COSkd（2 ）可见度变化周期V(X) cosItkdkQxD条纹间距为l kQ D在可见度变化的一个周期中明暗的变化次数为则有式中It(x)D3d2 Dkd(3 )由kdxD2d k48.23 mm（可见度函数第一次为 0）kxD2，得D2dk49 m（条纹第一次消失）X的振幅包络所调制的结果（见图P2-10），条纹的可见度2.11光源的光谱分布规律如图P2-11所示，图中以波数 k作为横轴，波数的中心值为k0在光谱宽度k范围内F（k）不变，将从光源来的光分成强度相等的两束，设这两束光再度 时的偏振方向相同，光程差为S

12、,试求：(1)两光束干涉后所得光强的表达式I( S)相遇(2)干涉条纹的对比度 V( S)(3)对比度V的第一个零点所对应的S图 p2-11解答：两束光的每一束在dk范围内光的强度为,1。dk122 kl1dl(x)I1 12d1I2 cosk(1cosk S)k0k -2l(x)k0dk10 (1 cos k k 2 kS)Iosin1 cosko S(2)可见度k koV(3)第一个零点处sin( k /2)0 ,2.12如图p2-12所示，一辐射波长范围为sink S2k S22由这一关系式得到I S|、中心波长为的准单色点光源 S置于z轴上,与透镜La相距fa( fa为La的焦距)在与

13、Z轴相垂直的屏 0上有两个长狭缝 S1、S2,X值。它们垂直于纸面对称放置，透镜 Lb紧靠在0在Lb的后焦 面上观察干涉条纹，当 X 由0增大时求条纹第一个零点所对应的II11'1u十7/1h图 p2-12-1S解答：方法方法二2Lcd sin-22fbd -2fb2fbd -2.13图P2-13所示是一个由光波导制成的马赫一曾特尔干涉仪。它由三个部分组成：第 部分是对输入信号进行分路的耦合器，耦合器的长度为d ;第II部分是长度相差两条波导，它们的折射率nin2neff ;第III部分与第I部分的结构和功能相同，也是一个耦合器，其作用是将信号进行复合。以下讨论中不计光在波导中的传输损

14、耗。 耦合区长度为d的耦合器传输矩阵为M coupiercos d jsinj sin d cos式中 为常数。图p2-13中第II部分的传输矩阵为I Lexp jk?-Miiexp jk 2(1)若I、山部分的耦合器对每一路输入信号均具有分束并平分功率的功能，试证明它的传输矩阵为(2)设频率附近有频率相差 ()的两个单色光信号Ein,1、Ein,2分别从图P2-13中左端的两个入口处输入， 在进入端口时它们的初始相位相同。若要全部光功率只在右端的同一个端口，如端口 2探测到，求干涉仪两臂差应满足的条件。:UK专跻邯Ezj图 P2-132.13解（1）对于一个平分功率的 3dB耦合器来说，传输

15、矩阵Mcoupier中M coupier（2 ）两个臂的输出光场 Eout,1和Eout,2与输入场Ein,1和Ein,2的关系为式中Eout,1Eout,2Ein,1Ein,2(P 2.13-1)M M coupierM M coupierM 11M 12M 21M 22.k LSin 2k Lcos2k Lcos2.k L sin 2(P 2.13-2)图P2-13所示的结构就构成了一个复用器,设波长为的光从Ein,1处注入，波长为2的光从Ein,2处注入。利用（P2.13-1）式得到输出场Eout,1和Eout,2分别是两个输入场单独分2布时的总和:Eout,1 jEin,1(1)sin

16、k1 LEin,2(2)cos2(P 2.13-3a)Eout,2 jEin,1(1) cosk1 LEin ,2 (2)sin(P 2.13-3b)式中 kj 2 neff / j , ( j1,2）。输出光功率P out,1Pout,2Eout,1Eout,2sin2cos2k1 LhPin ,12 cosk2 L Pn,2(P 2.13-4a)节 Pin,1sin2k2 L Pn,2(P 2.13-4b)2式中Rn,jEin, j，（j 1,2 ）。在推导以上两式时，由于交叉项的频率是光载波频率的两倍，光探测器不能响应，因而在式中没有写出该项。由以上两式可以看出，若要全部光功率只在右端的

17、同一个端口如端口2探测到，需要有kiL/2及 k2 L/2，或者(ki k2) L2 neff(P 2.13-5)因此干涉仪两臂的长度差应满足2neff2neff(P 2.13-6)式中是由端口入射的两光波之间的频率差。面上各面元发出的光波相互独立,2.14 一直径为1cm单色扩展圆形面发光光源，其空间相干范围是多少弧度？如果用相干面积量度涉孔径角来量度的话,如果用干,求离光源1m远处的相干面积有多大?10m远处的相干面积有多大？设光源波长0.55 m。解答：光源线度P 1cm,由（2-119）式,A /d，对于角直径为的均匀圆盘光源A 1.221.22d1.22空任 O.55 m 0.671cm105rad相干面积计算的准则，参考（2-109）式所下的定义，由P。P。d22b2 P02在近似估计时所采用将