空间解析汇报几何

1、1.过点M (1, -1, 1)且垂直于平面 x - y - z 1二0及2x y z0的平面方程.39. y - z 2 = 03.在平面xy_2z=0上找一点p,使它与点(2,1,5), (43,1)及(-2,-1,3)之间的距离相等.5.已知:A(1,2,3), B(5,_1,7),C(1,1,1),D(3,3,2),则 prjAB =()A.4B.1 C .丄2D. 27 .设平面方程为x 一 y = 0，则其位置( )A.平行于x轴 B .平行于y轴 C .平行于z 轴 D.过z 轴8 .平面x_2y 7z3=0与平面3x 5y z - 1 = 0的位置关系()A .平行 B .垂直

2、 C .相交D .重合9 直线=z与平面4x-2y-2z-3=0的位置关系()-2-73A .平行 B .垂直 C .斜交 D.直线在平面内_ y +1 = 010 .设点A(0,1,0)到直线丿y的距离为()& + 2z - 7 = 0A.V5B.戸CV61 5D1 85. D7. D 8 . B 9 . A 10 . A.3.当 m时，2：3j+5k 与 3：+mj2k 互相垂直.4 .设 a=2i j k , b=i-2j 2k , c = 3i-4j 2k , 则P c(a j b)=.4.过点(2,8,3)且垂直平面x+2y3z 2 = 0直线方程为 .10 .曲面方程为：x

3、2y24z2=4,它是由曲线绕旋转而成的.3 . m 二4;4 .19°9x -2 y 2 x -3； ;10 .曲线2yz2=1绕z轴3.2912-34旋转而成.1 设 a - 2-3,1汁=込-1,3沁=*,-2,0?，则(a b) c-()A . 8B. 10C.fo-1-D.(2,1,21)3.若 a =6i +3j -2k,b/a,且t）=14，则 b=（)A . ±(12i+6j-4k)B±(12i +6j) C .±(12i -4k) D . ±(6j-4k)4 .若 Mdl/1,1), M2(2,2,1), M3(2,1,2),

4、则 M,M2与M,M3的夹角：()A .31B.兀31C. D.兀62346 .求平面X _ y + 2z一6=0 与平面 2x + y + z -5=0的夹角（)31JIA .B.C. D. 26348 .设点M°(3,-1,2),直线1上*_乙+1=0冲y，则MO到1的距离为（)2x -y + z_4=0A .3血b3罷3丿5CD25429 .直线 匚2二土三二彳/与平面2x y z = 6夹角为 （）1 1 25A. 30o B . 60oC . 90oD . arcsin =61. D3.A 4. C 6.C 8.A9 . D7.求与平面2x-6y 34平行平面，使点（3,2

5、,8）为这两个平面公垂线中点.3 .确定k值，使三个平面：kx -3y z = 2,3x 2y 4z = 1, x - 8y - 2z = 3通过同一条直线.5.求以向量i j,j k,k i为棱的平行六面体的体积.7 .与平面2x y 2z 0，且与三个坐标面所构成的四面体体积为1的平面方程 .动点到点（0,0,5 ）的距离等于它到x轴的距离的曲面方程为 .曲面方程：16x2 9y2 9z2 =25则曲面名称为 10面上的投影方程z = 2 _x? 一 y2 、z=(x_1)2 +(y_1)1 设 a=i-2j 3k , b=2i j ,c = -i j k，贝U ab与c是否平行1 不平行

6、7 2x y 2z= 23.3 ； 8 . x2 -10z =-25 ；广 229 .双叶双曲面； 102y +2yz + z _4y_3z + 2 = 0 = 0练习题选参考答案, T TTTT一， T Tf f1 两非零向量a、b垂直，则有a 0或Pja =0 ;平行则有a b=0或ab或两向量对应坐标成比例TjQ=2，则与a , x轴均垂直的向量b =，0,±-,3 .曲线2-z2 2(x-2) yx+2)二 4在yoz面上的投影4曲线方程为：_ .4 z2投影柱面方程为：4 z2二_ 4-y24。xoz面上的曲线2-=1分别绕x轴和z轴旋转所成旋转曲面方程为:92 2y z1

7、499x2x25已知a 3,0,4', b = ：5,-2,-14，则两向量所成夹角的角平分线上的单位向量为c0"2 _丄_丄!. To l 恵 V6 恵)-21 V=( AB AC) AD = -2 606 =148二计算厂I01 求点P（3,6,d）关于直线L: / =的对称点坐标2x _2y - z + 4 = 01 j解：直线L的方向向量s n2 = 012 -21 =i +2j 2k，-1x = -1 +t取直线上的定点（-1,，,0），将其化为参数式：y =1 2tz - -2t过点P与直线L垂直的平面为：（x-3） 2（y-6） -2（z 2） = 0 ,x 2

8、y -2z -19 = 0 ,将直线的参数式代入垂面方程有t = 2，从而点P在直线I的投影坐标（直线 与垂面的交点）为（1,5,- 4），设点P关于直线L的对称点坐标为（x, y, z），则有:3 x 6 y _ _2 z=1,二 5,-4，解之：x = -1, y =4, z = -62x 1 y12 设直线L过点-2,3,1）且其与y轴相交，与直线 :2 1垂直,0求该直线方程。解：设L与y轴的交点为N （0,t,0 ）,其与直线L1垂直，则MN二0= t = -1 ,x 2 y _3 z -1从而由两点式有直线L的方程为：L:2-4-13 求直线L ： %卜：在平面浜：x - y乜十0

9、上的投影直线方程。解：直线L与平面二的交点为（2,0），直线L上的点（1,0,1）在平面二上的投影为（1'0），则L在二上的投影直线方程为：4.求两平面.：x 2y-2z 6 =0 , : 2 ： 4x-y 8z-8 =0所成二面角的角平分面方程。解：法一，设P(X, y,z)为所求平面上任意一点，则由题意有:x +2y -2z +64x y +8z 8J1 2 12 故过L2与L1平行的平面方程为4x-8y，z-48=0 +22 +(2)22 2 24 +(1) +8消去绝对值得 3(2 2y 2z 6) = _(4x y 8z 一8)即 7x 5y 2z 10=0和x-7y 14z

10、-26=0法二，所求平面过两平面 二1与二2的交线，故可设其方程为:4x y 8z _ 8 ：；' ；，(x 2y _ 2z 6) = 0在该平面上任取一点，如令x = y = 0可得z = 则两直线的距离转化为求点P1到该平面的距离： 疋(一2) _8汉2+1汉(_9) _ 48J42 +(£)2 +12113(3)由题意，所求平面过线段PR的中点吩厂2二)，其法向量为，43入一4然后由点(0,0,)到两平面的距离相等可解得二-3，从而得到所求平面方X -4程。5.设有直线Li和1_2的方程分别为：L:x+2 y-2z+9_2：x-1 y+6 z+41：0一 1一 8， 2

11、： 1_ 2_ 12(1) 证明_1与_2异面；(2) 求两直线之间的距离；(3) 求与两直线距离相等的平面方程；(4) 求与两直线都垂直相交的直线方程。解：直线_1，_2上分别有定点 P (-2，2，-9 )，P2 (1, -6，-4 )，其方向向量分别为= "0,1,8/，s. = 1,2,12/212 = -81式0，所以两直线异面-850(1)由于(3XS2) P1P2 = 13(2)T T由于S1 s2 =k8 =4i +8 j k-9T fSi S2 = -4i8j -k，15故所求平面方程为设P( x, y, z) 4x 8y z = 0。2（4）设公垂线为L，其方向向

12、量s=S1 S2-4i 8j -k，则:L与L1相交所成平面二1的法向量S1 s =i0-4k8-1= 65i32j -4k ,'的方程为 65x 32y -4z 30 = 0，: 1与L2的交点（即公垂线与L2的交点）Q(2.-4,8)L与L2相交所成平面二2的法向量S2 s二i j k1 2 12-48-1-98i -47j16k ,二 2 的方程为 98x 47y -16z 120 = 0，二2与Li的交点（即公垂线与L的交点）P(-2.4,7),x 2 y -4 z -7所以'公垂线方程为4_81这样亦可注：实际只需求一个交点即可，这里只是为了理解将两个交点都求出, 以

13、得到（2）的另一解法上的投影.3-15.求点 P(2,1,5)在直线 L: 1 - 口 - Z1解：过P（2,1,5）作垂直于已知直线 L的平面二，则其法向量n二（1,3,-1），于是平面的方程为(x _2)3(y _1) _(z _5) =0，即 x 3y _z =0._x =1 ti4将已知直线的参数方程y = 1 3t代入x 3y - z = 0，可得t，因此点P（2,1,5）在11 z _ _t直线L上的投影即为平面 二与直线L的交点（丄，兰）.11 11 112x 3y +z = 06.求直线L:在平面口 ：2xy + z=1上的投影直线的方程.、3x _y _z_8 =0解：设所给

14、直线 L的平面束方程为2x - 3y z（3x - y - z - 8） = 0，即 （2 3 - ）x -（3）y （1 - Jz-8 一 0，其中为待定常数，要使该平面与已知平面 二垂4直，贝U有2(2 3 ) (3*二)(- ) = 0 ,解得 =,将其代入3(2 3 )x -(3 - )y ( - )z-8- = 0，可得 6x 5y - 7z =32，因此直线 L 在平面二上的投影直线方程为'6x +5y -7z = 322x y +z =1”2x + y 1 = 07.确定&的值，使直线L: y与平面口 ：x + hyz = 1平行，并求直线L与平x + z - 2

15、 = 0面二之间的距离.i j k解：直线 L的方向向量 n = 2 1 0 = i -2j -k，要使直线 L与平面 口平行，只要1 0 1n £ = 0（其中s= （1, -1）为平面二的法向量），即1 -2' 1=0，解得=1.令X。=1，代入直线L的方程可得y0 = -1，z0 =1，直线L与平面二之间的距离|1 1-1 11 (-1) | _ ,3,12 12(-1)2 3， x y + z 1 = 08. 求通过直线 L :丿的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行于直线i2x + y+ z-2 = 0x -1 y 1 z -12 一 -1 一 1 .解：设平面束方

16、程为 - y z- /.（2x y - z -2） = 0， 即（2 儿"1）x - （% -1）y （?、1）z -2% -1=0， n = （2x，1, % -1,儿 一 1） 设平行于直线x - 1 y 亠1 z -1的平面为 1J1，由（2 ' T）2 -（ -1） （' T） =0，可知二-1，令2-11x° =1，代入直线L的方程，可得y° = z° = 0平面一1的方程为-（x -1） -2y = 0，即_ _ 1 x 2y -0.设垂直于平面二1的平面为二2，由（1） 2 - 1） = 0，可得4335平面 2的方程为（x

17、 T）y z =0，即 6x -3y 5z -6 = 0.244x =acos）（4）曲线y=asin日（a、b为常数）在xOy平面上投影曲线是z =b。X2y2(5 ) xOy平面上曲线4x H 1 i 22"v 5S二| AB AC I二.22(x -1)1，显然，当X=1时，厶ABC的面积最小，为 ， 2 2所求点为(1,0,0).x 1 y z 16.求直线L :在平面二：x - y 2z -1 = 0上的投影直线绕 x轴线转一周1 1-1所成曲面的方程.解：过L作垂直于平面二的平面二0 ,所求的直线L在平面二上的投影就是平面 二和二0的ijk交线.平面二0的法向量为：n0=

18、12-1 = i - 3j - 2k，则过点(1,0,1)的平面二。的1 -12方程为： - y2 = 16绕x轴旋转一周所得旋转曲面方程是(4x2 -(y2 z2) =16).(7)方程x2 -z2 =y所表示的曲面名称为(双曲抛物面)|x = 2(8 )与两直线 y = -2 t及 2 = 匚2 = 口 都平行，且过原点的平面方程是I121z =1 t(xy z 二 0).(10 )与两平面x，2y-z-1 = 0和x2y-z，3=0等距离的平面方程为(x 2y -z 1=0)3.已知点A(1,1,0)和点B(0,1,2)，试在x轴上求一点C，使得厶ABC的面积最小.解 ： 设 C(x,0

19、,0)， 贝 U AB = (1,0,2)， AC =(x 1, 1,0)，ijk”ABxAC=-102=2：+2(x 1)j+k, 故 也A B 的 面 积 为x1-10（X -1） -3y -2（z 一1） = 0 ,即卩 X -3y -2z 1 = 0 所以投影线为X-y + 2z-1 = 0x 3y 2z+1 = 0将投影线表示为以x为参数的形式:xy =，则绕x轴的旋转面的方程为1 xZ (1)y2八(2)2也-1)】2'即5x22 2-4x -16y - 16z4 = 0.X 18.已知两条直线的方程是L1 :1y 2 z -42 一 -1x 2 y 1，20Z，求过L1且

20、平12V2行于L2的平面方程.解：因为所求平面过L.，所以点(1,-2,4)在平面上.由于平面的法向量垂直于两直线的方向1 jk向量，因此平面的法向量为12-1=2i - 3 j - 4k .因此所求平面的方程为2 012(x -1) -3( y 2) _4(z _4) = 0 ,即 2x_3y_4z 8=0.x+y+z+1=09. 在过直线丿的所有平面中，求和原点距离最大的平面.i2x + y + z = 0解： 设平面束方程 为 x，yzT,；”(2x y z) = 0， 即(1)x c 1) y C 1)z0，平面与原点的距离为1|（2， 1） 0（1） 0（1） 0 1|,（2人 一 1）2-（人"1）2-（冷"1）2、 2要使平面与原点的距离最大，只要，即该平面方程为x-y-z-3=0.3xyz11. 求直线绕z轴旋转所得旋转曲面的方程.1-23|x = x(t)