高考极坐标与参数方程题型总结

1、(一)极坐标中的运算21 .在直角坐标系xOy中，直线Ci: x= 2,圆C2 : x 12y 21,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(I)求G , C2的极坐标方程;(n)若直线C3的极坐标方程为- R，设C2与G的交点为M ,N ，求VC2MN4试題解圻'1 : 1)田为_1-=沪CCIE& v = pa!:i鼻化q的板士标肓程为p®e=t, QK极坐标方程芮P：Hpco勺疔一4尸宝=沁()將冷一彳代入/?： = 2尸0£0 = 4口血9亠4 -0,保解梅a=&-C=忑因为U的半径为】，5IIJ-CJ/.V的而和l.JLd乂血4零

2、二.- 亠 、 、2.【2015高考新课标2,理23】选修4-4:坐标系与参数方程x t cos在直角坐标系xoy中，曲线C1 :' (t为参数，ty tsin ,0),其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2:2sinC3 :2占 cos(I).求C2与G交点的直角坐标;的最大值.(n).若C2与G相交于点A , C3与G相交于点B，求AB【答案】(I) (0,0)和(勺3 3)； (n) 4 .2 2【解析】CI)曲线C的ss坐标右程丸云耳曲蛙qffl直®坐标方程为P亠T*工=0 -联立r ,解g?孟-V十厂一上书工=0 Lf =0=x =r -所以

3、o勺c交盍的直®坐标岗JT _h > -(n)曲线 G的极坐标方程为( R, 0)，其中 0.因此A得到极坐标为(2sin , ) , B的极坐标为(2揖cos ,).所以AB2sin3 cos4 sin()，当3牛时，|AB取得最大值，最大值为3. (2016年全国I高考)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为1光=肚皿“(tly = 1 + asint/C2： i；=4cos 0.为参数，a> 0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线(I)说明Ci是哪种曲线，并将 Ci的方程化为极坐标方程;(II )直线C3的极坐标方程为 0 =0，其中a满足

4、tan a=2，若曲线Ci与C2的公共点都在C3上，求a.解：x acosty 1 asint( t均为参数)a2二Ci为以为圆心，a为半径的圆.方程为 x22,2 y 2y 1 asinC2 :sina204cos两边同乘4 cos即为Ci的极坐标方程Q 2x2 y2 , cos4x即x 22C3 :化为普通方程为y 2x 由题意：Ci和C2的公共方程所在直线即为 C3一得：4x 2y 1 a20 ,即为C3O的直线L与圆C交于A,B两4:已知圆C的圆心C的极坐标为(2, n)半径为v<3,过极点点，？?与?？同向，直线的向上的方向与极轴所成的角为a(1) 求圆C的极坐标方程;(2)

5、当= 135时，求A,B两点的极坐标以及弦|?勺长?= 4- 5:在直角坐标系xoy中，曲线?的参数方程为?=v2?”2 (为参数)以O为极点，x轴的2 -非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线?的极坐标方程为P = 2 cos ?(1) 求曲线？?的极坐标方程和?的参数方程；(2) 若射线0= ?(?> 0)与曲线?,?分别交于 M,N且IONF卩I?，求实数 出勺最大值.(二).参数方程中任意点(或动点) 4 八、?= -4 + ?= 8?例：曲线?:?= 3+ ?为参数)，?: ?= 3?为参数)(1) .化 ?, ?为直角坐标系方程，并说明表示什么曲线。?=.若？?上的点P对应的参数为

6、t=n,Q为？?上的动点，求PQ中点M到直线？?=2_V+2?为参数)距离最小值。例：在极坐标中，射线L: 0 = 6与圆c: p= 2交于A点，椭圆D的方程为? = +2爲?，以极点为原点，极轴为 x正半轴建立平面直角坐标系xoy(1) 求点A的直角坐标和椭圆 D的参数方程;(2) 若E为椭圆D的下顶点，F为椭圆D上任意一点，求？?？?的取值范围。00= Q99例：在直角坐标系中，圆？?？+ ? = 1经过伸缩变换?= 2?后得到曲线？?以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线L的极坐标方程为cos ?+ 2 sin?1?.(1)求曲线？的直角坐标方程及直线 L的直角坐标方程;

7、(2) 设点M是?上一动点，求点 M到直线L的距离的最小值.例(2016年全国III高考)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为尿0s (为参数),sin以坐标原点为极点，以 x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程为sin( -) 2恵.4(I)写出G的普通方程和C2的直角坐标方程;(II )设点P在C1上，点Q在C2上，求I PQ的最小值及此时 P的直角坐标.【解析】C I）C的普a方S为y-rJ G的直角坐标方程为r+ r-4=C- （II）由题鼠 可设点P的直角坐标为苗mgizh因为G是单毎所以I尸0的最小值，即为P到G的距寫 g 的最小值心 =I馅 8勺手严空=羽1

8、5in(ff-ky>-2 I.当且仅肖住=2如2（辰石忆取得最中值，最小值为忑,n此时戸的直角坐标为（11）.三直线与曲线相交问题例（2016年全国II高考）在直角坐标系 xOy中，圆C的方程为（X 6）2 y2 25 .（I）以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程;（n）直线I的参数方程是t cos/（t为参数），1与C交于A,B两点，I AB I 皿,tsin求I的斜率.解：整理圆的方程得1211 0，2x2由 cossin2yx可知圆c的极坐标方程为12 cos 11 0.5记直线的斜率为 k ,则直线的方程为kx由垂径定理及点到直线距离公式知:丨6k|9

9、04整理得k25，则k寸15 "V.例（2015）湖南已知直线2（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴爲丄t2为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为2cos .(1) 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5, J3)，直线I与曲线C的交点为A , B，求|MA | | MB |的?= cos ?例：在平面直角坐标系 xoy中，曲线?的参数方程为?= sos?( a为参数，且a ?0 n)O III 以0为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，.曲线?的极坐标方程 四.求点坐标，图形面积，轨迹方程等的计算。例：(全国新课标理 23)选修4-4 :

10、坐标系与参数方程?= 2?在直角坐标系xOy中，曲线?的参数方程为?= +-2?:?a为参数)UJUULUUM为？?上的动点，P点满足OP 20M，点P的轨迹为曲线? 射线0= 3与?的异于极点的交点(I)求？的方程;(II )在以0为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,为A，与?的异于极点的交点为B ,求|AB|.解：? ?(I)设P(x, y)，则由条件知M ( -,-)由于?一 =2?M点在?上，所以?2-=2 + 2?(1)若曲线C与L只有一个公共点，求a的值;从而C2的参数方程为x 4cosy 4 4sin (为参数)(n)曲线Cl的极坐标方程为4sin，曲线C2的极坐标方程为8s

11、in射线 3与C1的交点A的极径为4sin 一3射线 3与C2的交点B的极径为8sin 3所以|AB| | 2 U 2肓例：在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数为?=?=Co>；?(a >0)，以0为极点x,轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线L的极坐标方程Pcos?- ?)=-.32?A,B为曲线C上的两点且/ AOB=3,求 OAB的面积最大值.习题训练:1. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的 ? ?极坐标方程为？- 2v2?sin? ?-)-2=0曲线C2的极坐标方程为e =?(?) ?<?相交 于A,B两点.(1 )求

12、C1和C2的直角坐标方程; 若点P为？?上的动点，求|?+|?的取值范围.2. 在直角坐标系x0y中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的?= 4 - ?_参数方程疔2( t为参数)曲线C2的极坐标方程为p= 2cose?=兰？- 2 (1)求C1的极坐标方程和?的参数方程； 若射线e= ?( p> 0)与曲线?, ?分别交于 M,N且|?|?= ?，求实数入的最大 值.3. 在直角坐标系x0y中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C和P (3?)?. ?直线L的极坐标方程分别为p= 4v2cos( e-),4(1)将曲线C极坐标方程化为直角坐标方

13、程;(2)直线L与曲线C交于A,B两点，点P(v3,1 11 )求的+两的值.?4. 在极坐标系中，已知曲线C: pcos( e+ ?) = 1,过极点O作射线与曲线 C交于Q在射线0Q上取一点 P,使 |?|?= v2(1)求点P的轨迹?的极坐标方程；以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系 xOy，若直线L: y=- v3?f?=-辺?？的曲线？?相交于E (异于点0),与曲线?:?=(1)2烷2(t为参数)相交于点 F,求|?2 -w?(?e?为参数)若M是曲线?上 v2?的值.5. 在直角坐标系XOy中，曲线C1的参数方程?； + 的一点，点P是曲线?上任意一点，且满足為3嘉?(1)求曲线?的直角坐标方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线L: P sin T p cose 7 =0，在直线L上两动点E,F满足|?|?= 4v2，试求 MEF面积的最大值.?= - 3?6. 在直角坐标系 xOy中，曲线L的参数方程2/ ( t为参数)以坐标原点为极点,?= 1 + _?36 2x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程p = 定点M(6 , 0)，点N是曲线？?上的动点，Q为MN的中点；(1) 求点Q的轨迹?的直角