空间点线面位置关系及平行判定及性质

1、空间点线面位置关系及平行判定及性质【知识点梳理】1平面的基本性质公理 1如果一条直线上的两个点都在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内ABT .1 :A, B ：2 平面的基本性质公理 2 (确定平面的依据)经过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面3. 平面的基本性质公理 2的推论(1 )经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(2) 经过两条相交直线，有且只有一个平面(3) 经过两条平行直线，有且只有一个平面4. 平面的基本性质公理 3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点， 这些公共点的集合是一条直线a -: n = i I Al5. 异面直线的定义与

2、判定(1) 定义：不同在任何一个平面内的两条直线，既不相交也不平行(2) 判定：过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线6. 直线与直线平行(1)平行四边形 ABCD (矩形，菱形，正方形)对边平行且相等， AB/CD , BC/AD(2 )三角形的中位线E, F分别是AB, AC的中点中位线平行且等于底边的一半，EF /BC(3) 线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条 直线和交线平行l /二，l 二,，：门：=m= l /m(4) 面面平行的性质定理如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行-：/

3、：,门=a，: Pl = b= a / /b(5) 线面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行a I， ， b . ： = a / /b7. 直线与平面平行(1) 线面平行的判定定理如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 a 二：-,b 二用，a/b= a/：(2) 面面平行的性质定理如果两个平面互相平行，那么一个平面内的任一直线都平行于另一个平面:/ / , a ：= a / &平面与平面平行(1)面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线，分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行a - y. , b 二圧，ap|b=A , a/

4、l：, b/-二:/：(2 )垂直于同一直线的两个平面互相平行a _ :- , a . - = : / -【典型例题】题型一：点线面的关系用符号表示、判断异面直线 例1.给定下列四个命题 a 二：；，b 二：；，al/-，b/- = - / / a - , a - = -.- I _ m, I _ n 二 m/n： ：，：门：=I, a 二：；，a _ I 二.a -:其中，为真命题的是A.和B.和C.和D.和变式1.给出下列关于互不相同的直线I,m,n和平面:,的三个命题: 若I,m为异面直线，I :, m 1 ,则/厂； 若二 / / ：, I 二*, m 二，则 I / /m ； 若:-

5、P - = I, ： P二 m, P| = n, I / / ，则 miln 其中真命题的个数为A. 3B. 2C. 1D. 0题型二：以中位线为突破口的平行证明问题例2 .如图，在四面体PABC中,AP, AC, BC, PB的中点，求证：PC _ AB, P化DE /平面 BCP变式2如图，在直三棱柱 ABC-ABQ中，BAC =90 ,AB=AC=AA=1，延长AOPBi /平面 BDA ；至点P，使GP = AC1，连接AP交棱CC1于D 求证:题型三：以平行四边形为突破口的平行证明问题例3.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF / /AC , AB 2 ,CE

6、 二 EF = 1，求证：AF / 平面 BDE变式1 在三棱柱ABC-AB!G中，直线AA与底面ABC所成的角是直角，直线 AB与点.求证：DE /平面ABC ；cEBG所成的角为45 , BAC =90：，且AB二AA , D,E,F分别为BA CG, BC的中题型四：三种平行之间的相互关系与转化例4.如图所示，圆柱的高为2, PA是圆柱的母线,ABCD为矩形,AB =2, BC =4 ,CE,F,G分别是线段PA, PD, CD的中点，求证：PB/面EFG ；变式1如图，在长方体 ABCD-ABQiU中，E,p分别是BC,A1D1的中点，M,N分别是 AE, DiC 的中点，AB =2a

7、 , AD=AA=a，求证：MN /面 ADDiA题型五：探究性问题例5如图所示，直棱柱 ABCD - AB1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，.BAD二90：,AB =2 , AD -CD -1，在线段AB上是否存在点P （异于代B两点），使得CP/平面ABGDi ?证明你的结论如图，直三棱柱 ABR-DCG 中， ABB, =90：, AB =4, BC =2, CG =1, DC 上有一动点P , CC1上有一动点Q，讨论：无论P,Q在何处，都有PQ/平面ABB1，并证明 你的结论【方法与技巧总结】1熟记立体几何证明中的多个公理，推理，判定定理以及性质定理2熟练掌握空间中点线面的位置关

8、系的符号表示，并能够适当灵活转化为中文以便理解， 在此建立空间的想象能力和空间感，进一步把符号转化为立体图象加以记忆3熟记平行证明中常用的判定定理和性质定理，特别重视三角形中位线定理和平行四边形 性质定理的应用4应用三角形中位线定理和平行四边形性质定理，证明线线平行，从而得出线面平行或面 面平行，重视线线平行证明的重要性5 掌握线性平行，线面平行，面面平行三者之间的相互转化【巩固练习】1 .下面命题中正确的是（） 若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； 若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； 若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行

9、； 若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行.A B C D2.平面a/平面B, a? a, b? B,贝U直线a， b的位置关系是（）.A 平行 B 相交C 异面 D 平行或异面3 在空间中，下列命题正确的是（）A.若 a /a,b / a，则 b/ aB.若 a/a,b/a,a? B b?B 贝U aC.若 allB,b / a,则 b / BD.若 allBa?a,则 a / B 4已知m、n为两条不同的直线，a、B为两个不同的平面，贝U下列命题中正确 的是（）.A. ml n,ml a?n丄 a B.allB,m?a,n? B? m/ nC. m a,mn?n/

10、 a D.m?a,n?a,m/ B, n/ B? allB5.在正方体ABCDAiBiCiDi中，E是DDi的中点，贝U BDi与平面ACE的位置关 系为.解答题:1、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，0为AC的中点，M为PD的中点.求证：PB/平面ACM.2、如图，若PA丄平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF/平面PCE.3、如图，在正方体 ABCDAiBiCiDi中，M、N、P分别为所在边的中点. 求证：平面MNP /平面AiCiB;4、如图，在三棱柱 ABCAiBiCi 中，E, F, G, H 分别是 AB, AC, A1B1, A1C1的中点，求证：(i)B, C, H , G四点共面；(2)平面EFAi /平面BCHG.5、如图所示，在三棱柱ABCAiBiCi中，AiA丄平面ABC,若D是棱CCi