北师大版一次函数知识点与习题

1、一次函数知识点总结基本概念1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 例题：在匀速运动公式5 ="中，I，表示速度，/表示时间，$表示在时间/内所走的路程，则变量是 ，常量是o在圆的周长公式02 nr中，变量是，常量是.2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把X称为自变量，把y称为因变量，y是X的函数。例题：下列函数(1) y=n x (2)y=2x-l (3)y=-(4)y=2-3x (5)y=x:-l 中，是一次函x数的有()(A) 4 个 (B)

2、 3 个 (C) 2 个 (D) 1 个3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。(x的取值范围) 一次函数1.自变量X和因变量y有如下关系：y=kx+b (k为任意不为零实数，b为任意实数)则此时称y是x的一次函数。特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx (k为任意不为零实数)定义域：自变量的取值范围,自变量的取值应使函数有意义;要与实际有意义。2 .当x=0时，b为函数在y轴上的截距。一次函数性质：1在一次函数上的任意一点P (x, y),都满足等式：y=kx+b(kW0)。2 一次函数与y轴交点的坐标总是(0, b),与x轴总是交于(-b/k

3、, 0)正比例函数的图像总是 过原点。3 .函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。特别地，当b=0时，直线通过原点0 (0, 0)表示的是正比例函数的图像。这时，当k>0时，直线只通过一、三象限；当kVO时，直线只通过二、四象限。4、特殊位置关系当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值(即一次项系数)相等当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数(即两个K值的乘积为-1)应用一次函数y=kx+b的性质是：(1)当k0时，y随x的增大而增大；(2)当k0时，y随x的增大而 减小。利用一次函数的性质可解决下列问题。一、确定字母系数的取值范围例L已知正

4、比例函数y = (3? + 5)x，则当m 时，y随x的增大而减小。二、比较x值或y值的大小例2.已知点Pl (xl, yl)、P2 (x2, y2)是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且yl>y2,则xl 与x2的大小关系是()A. xl>x2 B. xl<x2 C. xl=x2D.无法确定判断函数图象的位置例3.一次函数y=kx+b满足kb>0,且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限典型例题： 例L 一个弹簧，不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例. 如果挂上3kg物

5、体后，弹簧总长是13.5cm,求弹簧总长是y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数 关系式.如果弹簧最大总长为23cm,求自变量x的取值范围.分析：此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总长是 空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由最大总长一最大伸长一最大质量及 实际的思路来处理.解：山题意设所求函数为y=kx+12则 13.5=3k+12,得 k=0.5，所求函数解析式为y=0. 5x+12 由 23=0.5x+12 得：x=22 ，自变量x的取值范围是0WxW22 4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数

6、；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 例题：下列函数中，自变量x的取值范围是x22的是（）A. y-J2-xB. y= J C. y= V4-x2 D. + 2 Jx-2« - 2函数y = 中自变量x的取值范围是y的取值范围是（）已知函数y = ，x + 2,当一lvx<l时, 22 .22 ' 2UY2 ,22 ,25、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横

7、、纵坐标，那么坐标 平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数 值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 8、函数的表示方法列表法：一日 了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应 规律。解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有

8、些实际 问题中的函数关系，不能用解析式表示。图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。9、正比例函数及性质一般地，形如y=kx（k是常数，kWO）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式尸kx （k不为零）k不为零 X指数为1b取零 解析式：y=kx （k是常数，kWO）必过点：（0, 0）、（1, k）走向：k0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限增减性：k0, y随X的增大而增大；k<0, y随X增大而减小倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴例题：.正比例函数、= （37 + 5）x,当m 时，y随x的增

9、大而增大.若y = x + 2-35是正比例函数，则6的值是 （）223A. 0 B. -C. 一一D.-33210、一次函数及性质一般地，形如y=kx+b（k, b是常数，kWO）,那么y叫做x的一次函数.当b=0时,y=kx+b即y=kx, 所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式y=kx+b （k不为零）k不为零 x指数为1b取任意实数一次函数y=kx+b的图象是经过（0, b）和0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,k它可以看作由直线y二kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b0时，向下 平移）（1）解析式:y=kx+b（k、b 是常

10、数，k*0）（2）必过点：（0, b）和0） k（3）走向：直线经过第一、三、四象限”> 0=直线经过笫一、二、三象限 /?>0Z < 0O直线经过第一、二、四象限 h>0 v （）=直线经过第二三、四象限（4）增减性：k>0, y随x的增大而增大；k<0, y随x增大而减小.（5）倾斜度：k越大，图象越接近于y轴；k越小，图象越接近于x轴.（6）图像的平移：当b>0时，将直线y二kx的图象向上平移b个单位；当b<0时，将直线y二kx的图象向下平移b个单位.例题：若关于x的函数y = （ + l）x'i是一次函数，则犷, a.函数尸包什6

11、与尸的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（）将直线y=3x向下平移5个单位，得到直线；将直线y=r-5向上平移5个单位，得 到直线.若直线y = -x + a和直线y = x + b的交点坐标为（阳,8）,则c, + b=已知函数y=3.什1,当自变量增加r时.，相应的函数值增加（） A . 3/zrl B . 3/n C . m D . 3m 111、一次函数y=kx+b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画 一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交 点：（0, b）,尚°

12、）.即横坐标或纵坐标为。的点.b>0b<0b=0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y随x的增大而增大经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右.下降，y随x的增大而减小若rVO, /?>0,则一次函数广出，加的图象不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限12、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当 b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.13、直线y=Lx+bi与y=kx+h的位置关系（1） k尸k二且b尸也两直线重合：（2） kkk且b1工九两直线平行（3） k件且E工一两直线相交:（4）kk2 b尸bj两直线相交于y轴上即点（0, b）：14、用待定系数法确定函数解析