2019-2020学年江苏省无锡市高三(上)期末数学试卷

1、2019-2020学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分不需要写出解答过程，请把答案直 接填写在答题卡相应位置上 1. （5 分）集合 A xx 2k 1 , k Z , B 1 , 2, 3, 4,则 Al B _ 2. （5分）已知复数Z a bi（a,b R）,且满足iz 9 i （其中i为虚数单位），则a b .3. （ 5分）某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有 7人用时为6分钟，有 14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同 学用餐平均用时为 _分钟.4. （5 分）函数 f

2、 （x） （a 1）x 3（a1,a2）过定点.5. （ 5分）等差数列an（公差不为0）,其中a , a2, a§成等比数列，则这个等比数列的 公比为_.6. （ 5分）小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为 .7 . （ 5分）在长方体 ABCD ABGDl中，AB 1 , AD 2 , AA 1 , E为BC的中点，则点A到平面 ADE的距离是第3页（共21页）& （ 5分）如图所示的流程图中，输出n的值为5始I-J丁1尹1J聲S十ST叫叶/'输出刊/I结束Z9. （ 5分）圆C: （

3、X 1） 2 I 14. （5分）函数f（x） | x 1| x kx 9在区间（0,3）内有且仅有两个零点，则实数k的取 值范围是. 二、解答题：本大题共 6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 （y 2）2 4关于直线y 2x 1的对称圆的方程为10. （5分）正方形 ABCD的边长为 2,圆O内切与正方形 ABCD , MN为圆O的一条动直一IUUU UJIr径，点P为正万形ABCD边界上任一点，则 PM gPN的取值范围是 .2 211. （5分）双曲线C: L 1的左右顶点为 A , B ,以AB为直径作圆O, P为双曲线43右支上不同于

4、顶点 B的任一点，连接PA交圆O于点Q ,设直线PB , QB的斜率分别为 匕,k2 ,若 k1k2 ,则12. （5分）对于任意的正数 a , b ,不等式（2ab a2）k, 4b2 4ab 3a2恒成立，则k的最大值为.113. （ 5分）在直角三角形 ABC中，C为直角，BAC 45 ,点D在线段BC上，且CD -CB ,31若tan DAB,贝U BAC的正切值为 .215. (14分)在 ABC中，角A , B , C所对的分别为a , b , c ,向量m (2a3b,3c),向量 n (cos B,cosC),且 m/ /n .(1) 求角C的大小；(2) 求 y Si nA

5、3si n( B -)的最大值.316. (14分)在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD是平行四边形， O为其中心，PAD为锐 角三角形，且平面 PAD 底面ABCD , E为PD的中点，CD DP .(1) 求证：OE/平面PAB ;(2) 求证：CD PA.2 217. (14分)已知椭圆C : x2 每1(a b 0)的左右焦点分别为 F1 , F2 ,焦距为4,且椭 a b圆过点(2,5),过点F2且不平行与坐标轴的直线l交椭圆与P , Q两点，点Q关于X轴的对3称点为R ,直线PR交X轴于点M .(1 )求厶PFQ的周长； (16分)一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形M

6、NPQ的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD (如图所示)，其中AD-AB .结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3 ,深2米若池底和池壁每平方米的(2)求厶PFlM面积的最大值.造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过(1)求发酵池AD边长的范围;65400 元4米和b米的走道(b为常数).问:Ob4 B19. (16分)已知a1 , bn均为正项数列，其前n项和分别为Sn, Tn，且a 2, b11，b2 2,当 n2 , nN* 时，Sn 1 1 2気,R2 22(T1Tn 1 )bn 1 bn 12Tn 1 .(2)在建发酵馆时，

7、发酵池的四周要分别留出两条宽为 发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小.第7页(共21页)(1) 求数列an , bn的通项公式；(2) 设Cn (bn2 2)an ,求数列Cn的前n项和Pn .bn bn20. (16 分)设函数 f(x) lnx ax , a R , a 0.(1) 求函数f (x)的单调区间；(2) 若函数f (x) 0有两个零点x1 , x2(x x2).(I)求a的取值范围；()求证：x1gx2随着x2的增大而增大.X1【选做题】本题包括 A , B两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证 明过程或演算步骤.选修4-2:矩阵与变换a b12

8、1. ( 10分)已知a , b R ,矩阵A,若矩阵A属于特征值5的一个特征向量为C d1点P( 2,1)在A对应的变换作用下得到点P( 1,2),求矩阵A .选修4-4:坐标系与参数方程X 4cos »亠22(10分)已知曲线CI: y 4sin，(其中为参数)，以坐标原点O为极点，X轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos( -) 2 3 ,设曲线G与曲线3C2交于A , B两点，求AB的长.【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.23. (10分)如图，矩形ABCD所在的平面垂直于平面 AEB , O

9、为AB的中点， AEB 90 ,EAB 30 , AB 2 3 , AD 3.(1) 求异面直线OC与DE所成角的余弦值;(2) 求二面角 ADEC的正弦值.nX 1 X en!24. (10分)对于任意的X 1 , n N* ,用数学归纳法证明:2019-2020学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1. ( 5 分)集合 A xx2k 1 , kZ , B1 , 2, 3, 4,则 AI B _1 ,3_ .【解答】解：因为2k1,. f . -7 -K Z表小为奇

10、:数,集合Axx 2k 1 ,kZ , B1,2, 3,4,故AlB1 , 3.故答案为:1 , 3.2. （ 5分）已知复数Zabi(a, bR),且满足iz9i （其中i为虚数单位），则a b8 .【解答】解：由Z abi ,4B 得 iz aibi2bai9i ,a 1 ,b 9 ,贝U ab8 .故答案为：8 .3. （ 5分）某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同 学用餐平均用时为 7.5分钟.【解答】解：因为：有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分

11、钟，还 有4人用时为10分钟；所以：平均用时：故答案为：7.5.7 614 7 15 8 4 107 14 154fV ?4. （ 5分）函数Xf (x) (a 1)3(a1,a2)过定点(0, 2)【解答】解：令X 0 得：f (0)132,函数f （X）恒过定点（0, 2）,故答案为：（0, 2）.5. （ 5分）等差数列 ®（公差不为0）,其中a , a2, a6成等比数列，则这个等比数列的【解答】解：设等差数列 g的公差为d ,则 a2 a1 d , a6 a1 5d .依题意，a2a*a6 ,即（a d）2 a（a 5d）整理得d3a1 ,a2 a1d 4a ,3第9页（共

12、21页）a2 qa1故答案为:6. （ 5分）小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为【解答】解：小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题,基本事件总数n C46,抽到的2道题小李都会包含的基本事件则抽到的2道题小李都会的概率为 Pc32C2故答案为：127. （ 5分）在长方体 ABCD ARGDI中,AB1 , AD2 , AAE为BC的中点，则D£解答解【1V三棱锥AI ADE 点A到平面AlDE的距离是 _3 sRDE2 I 2 "'；3三

13、棱锥A AlDE故答案为：.3& （ 5分）如图所示的流程图中，输出n的值为【解答】解：模拟程序的运行,可得log 2- log2-341 .跳出循环,输出结果,故答案为：4(X 3)2【解答】解:2)圆 c：(X 1)(y22）4关于直线y 2x 1的对称圆的方程为圆 C : (X 1)2 (y2 2）4的圆心为（1,2）,关于y 2x 1对称点设为（x,y）,y 2X 12 1 3则有：22,解得X,所以对称后的圆心为（3,0）,y 21y 0X 12故答案为：（x 3）2 y24 .10. （5分）正方形ABCD的边长为 2,圆O内切与正方形 ABCD , MN为圆O的一条动直径

14、，点P为正方形ABCD边界上任一点，则IUUU UJIrPM gPN的取值范围是 _ 0，1【解答】解：作图如下,ILUJ JJJ i JuJI JIIr 2 UJUIPM gPN -(PM PN) (PM4IUUr 21 UUr 2PN) -(2PO)4UJU2 IUIff 2NM PO 1，UUJ_IUU 2UIU 2又1剟I PO | .2 ,故1剟Po 2 ,故0剟PoIUJJ IUUr1 1 ,即PMgPN的取值范围是0，1.4 ,第11页（共21页）故答案为：0 , 1.Dc2X11. （5分）双曲线C： 4k2 ,若 k1k2,则3422【解答】解：双曲线C:-1的左右顶点为43

15、右支上不同于顶点线右支上不同于顶点A , B ,以AB为直径作圆O , P为双曲k2 ,若 k1可得:kpAgkpBkPA gkQBkQB4'21的左右顶点为 A , B ,以AB为直径作圆O , P为双曲线3B的任一点，连接PA交圆O于点Q ,设直线PB , QB的斜率分别为k1 ,B的任一点，连接PA交圆O于点Q ,设直线PB , QB的斜率分别为k1 ,故答案为：3 .4994ab 3a恒成立，则k的最大【解答】解:依题意，k,2 24b 4ab 3a2ab a2,b、2, b C4g)4 3a ab，2 1a令 2t2 2则 k,4t 4t 3(2t I) 2t 12 21 ,

16、则 k,2t2而函数y22在（1,）上的最小值为222 2，故k, 2 2，即k的最大值为2 2 .故答案为：2.2 .13.（ 5分）在直角三角形 ABC中，C为直角,BAC 45 ,点D在线段BC上，且CDAB，若tan DAB 1 ,则BAC的正切值为 3【解答】ACBC 3t ,由 BAC 45 可知，tan BAC 3tXtan CAD-,tan DAB X3t tX X1 XI 2X即也m1 3m解得m1 ,1第13页（共21页）则 tan BAC 3或 tan BAC 1 (舍)，故 tan BAC 3 .2B1|故答案为：3.14. (5 分)函数 f (X) |xkx9在区间

17、（0,3）内有且仅有两个零点，则实数k的取326,8)_.3【解答】解:f(x) O(X (0, 3)可得:k X2 Ix2 1| 9X10,x (0,1)X2x8,x 1,3)X如图所示：有两个零点的范围满足826 ,所以k (2638)故答案为：（26 ,8）.3yi2(5KV=2r+ 3811JIO123 X二、解答题：本大题共 6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. (14 分)在 ABC 中，角 A , B ,C所对的分别为a , b , c ,向量m(2a3b, .3c),向量 n (cos B,cosC),且 n/ /r .(1)

18、 求角C的大小；(2) 求 y Si nA 3si n( B)的最大值.第11页（共21页）【解答】 解：(1)由 mn/ /n ,得 3ccosB (2 a'3b)cos C 0 ;由正弦定理得：3s in C cos B (2si nA I 3s in B)cos C 0 ;.3(sin C cos B Sin B cosC) 2sin AcosC ；3 si n(B C) . 3si nA 2si n AcosC ；QSinA 0 ;cosC又 C (O,)；(2)由(1)知 A B所以B -2 A，A (O，5T)；所以Sin AI 3sin( B) y SinA 3sin(-

19、 A) SinA . 3cos A 2sin(A )； 32-(0,56)；(3，A 6时，16.（ 14分）在四棱锥PABCD中，底面 ABCD是平行四边形,O为其中心,PAD为锐角三角形，且平面PAD 底面ABCD , E为PD的中点,CDDP .（1）求证：OE/平面PAB ;(2)求证：CD PA.【解答】证明：（1）连结BD , QABCD是平行四边形，O为其中心,O是BD中点,第12页（共21 M）17. (14分)已知椭圆C:X2a(1 )求厶PFQ的周长;Q PB平面PAB ,OE平面PAB ,OE/T平面PAB .(2) 作乍PHAD 于 H ,Q平面PAD平面ABCD,平面

20、PADPHAD ,PH平面PAD ,PH平面ABCD),又CDPD,PDIPHP ,CD平面PAD ,QPA平面PAD ,CDPA .平面 ABCD AD ,Q E 是 PD 中点， OE/PB,2再1(a b 0)的左右焦点分别为 F1, F2 ,焦距为4,且椭b5圆过点(2,-),过点F2且不平行与坐标轴的直线l交椭圆与P , Q两点，点Q关于X轴的对3称点为R ,直线PR交X轴于点M .第21页(共21 M)【解答】 解：(1)设椭圆C的焦距为2c ,则2c 4 , C 2 , F1 ( 2.0) , F2(2,0),且椭圆过点 A(2, 5)，由椭圆的定义2a AF1 AF26 ,故a

21、 3,所以， PFQ的周长为4a12 ;（2）由（1）知,b29 42X5 ,故椭圆的方程为 一9设直线I : X my2 , P(X ,y), Q(×2, y2),则 R(×2 ,直线PR: yX X2y2(x X1)y1 ,得 M(込* , 0),y1 y2X联立X29my 2y2,消去15X ,得(5m29)y2 20my 25 0 ,y1y220mK，y1y225厂5m 9X1y2X2y12my1 y22(y1y2)25m 9所以SPF1M1 X1y2X2y1132)gy1 丁|屮|，y1y24故厶PFlM面积的最大值为13 54虫5 ,当且仅当P在短轴顶点处取得等

22、号,418. （16分）一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ的室内发酵馆,酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD （如图所示），其中AD-AB .合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3 ,深2米若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过（1）求发酵池AD边长的范围；（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为65400 元4米和b米的走道（b为常数）.发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小.f【解答】解：(1)由题意，长方形 ABCD的面积S450225 米 2,2设AD X米，贝U AB竺米.则XX22

23、5X" 15 .设发酵池造价总费用为f (X),则f(x) 225 200 1502g(2X450)X600(x225) 4500065400 .X25.解得 9剟X 25 ,又 15 ,故 X 15 ,(2)由题意，可设发酵馆的占地面积为S(X),则2251800S(X) (X 8)(2b) 2bX16b 225 , X 15 , 25.XX、2(bX 当-X, 25时，S(X) 0 , S(X)单调递增. 19. (16分)已知a1 , bn均为正项数列，其前n项和分别为Sn , Tn ,且印-, 900)S(X)2, X 15 , 25.X 当b4时，S(X)-O .即S(X)

24、在15 , 25上单调递增， 此时当X 15时，发酵馆的占地面积 S(X)最小, 即AB AD 15米时，发酵馆的占地面积最小； 当0 b, 36时，S(X), 0 .即S(X)在15 , 25上单调递减, 25此时当X 25时，发酵馆的占地面积 S(X)最小， 即AD 25米，AB 9米时，发酵馆的占地面积最小; 当26 b 4时,有当 15, X3b时,S(X)0 , S(X)单调递减;S(X)0 , S(X)取得极小值.b2 2,当 n2 , nN* 时，Sn I 12%, bn2(Tn2Tn 12)bn 1bn 12Tn 1 .即AD 0 , AB -5-_b时，发酵馆的占地面积最小.

25、b2(1) 求数列an , bn的通项公式；(2) 设Cn Ibn瓷，求数列g的前n项和Pn 【解答】解：（1）由题意，Snl 1 2an ,则有Sn 1 2a.1 ,两式相减，整理得an 1Ian, (n2).n 2时,Sa12a2 ,解得a241 a1 .2数列an是以1为首项,21为公比的等比数列.21an n , n N *2又Q bn2(Tn2 Tn J)bn 1 bn 12Tn 1 Tn Tn 1 ,n2 .整理，得2(Tn TnI)(TnTn 1)bn 1bn 12bn(Tn Tn 1)T Tnbn 1 bn 1I ,n2 .Qbn0 ,Tn0 .2bbn 1 bn 11,n2

26、.即 2bn bn Ibn 1,n2 .根据等差中项的性质，可知数列S成等差数列.Qbl1 , b22, d b2b12 11 .数列bn是以1为首项,1为公差的等差数列.bn n, nN*(2)由(1),得 Cn2)an根据累加法，可得:PICn(11 12 2) (2 21n(n 1)g220.（16分）设函数bn'bn1FT)1(Cn 1ng2f(x) InXax , a（1）求函数f （x）的单调区间;1n 1ng2n )(n 1)g21(n 1)g2n ,(2)若函数f(x) 0有两个零点x1 , x2 (x2).(I)求a的取值范围;()求证：Xgx2随着x2的增大而增大.

27、X【解答】解:(1)Q f (x) Inx ax ,f(x)-Xa ,I a 0 时，f (x)0在(0,)上恒成立，函数f (X)在(0,)单调递增,11当a 0时，由f (x) 0可得，X (0,-),此时f(x)单调递增，由f (X) 0可得，X (-,),aa此时函数单调递减，综上可得，a 0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,)，当a 0时，函数的递增区间(0,-)，单调递减区间为(-,)；aa(2) (I)由(1)可知，a 0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,),最多一个零点，不符合题意，当a 0时，若使得f(x)有两个零点，则f()maxf(-)Ina 1 0,a解可得Oa

28、1 ,e1Q f (1) a 0 ,且 1 -,a1存在 X1(1-)使得 f(X1)0 ,a又因为 f(-)2lna 1,aa设g(a)OI 12lna, aa(0,1),e则g(a)1 2a2 0 ,a故g(a)单调递增，所以g (a)g(1) 2 e 0 ,e即f(A)a0 ,C11Q 2aa所以存在X2 (1, 2)使得f(X2)0 ,a a综上可得,1a(0, -),e第23页(共21页)()由题意可得，Inx1 ax1 Inx2 ax0 0 ,lnx1Inx2X1X2Q x1X2X2X21,令tX1X1lnx1Inx2Intx1X1X2tx1解可得，Inx1Intt 1In X2I

29、ntIn X11 ,则 X2tX ,所以 In (x1x2)Ctintt 1,1)l ntt 1,设 h(t)则 h(t)(L, t 1,t 11t 2lntt(t 1)2，令 H(t) H (t)1t丄t2lnt , t .1 ,H(t)单调递增,H(t) H ( 1)0 ,则 h(t) 0 ,故h(t)单调递增，即In (x1x2)随着X2X1t的增大而增大,所以X gx2随着丄的增大而增大.X【选做题】本题包括A， B两小题，每小题10分,共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.选修4-2:矩阵与变换21.( 10分)已知a ,ab R ,矩阵AC,若矩阵1A属于特征值5的

30、一个特征向量为，1点P( 2,1)在A对应的变换作用下得到点P(1,2),求矩阵A .a【解答】解：Qa , b R ,矩阵AC1,矩阵A属于特征值5的一个特征向量为，1点P( 2,1)在A对应的变换作用下得到点P(1,2),第25页(共21页)a b 115b215,且C d 115Cd 12a b5a2C d5b3,解得2ab 1C12cd 2d4矩阵A2 314 .选修4-4:坐标系与参数方程X 4cos22. （10分）已知曲线 C1:,（其中 为参数），以坐标原点 0为极点，X轴的正y 4si n半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为cos（ ） 2 3 ,设曲线Cl与曲线3C2交于A，B两点，求AB的长.【解答】 解：曲线 C2的极坐标方程为cos（ ） 2 . 3 ,转换为直角坐标方程为：3X .3y 4 .30 .X 4cos曲线Ci :，（其中 为参数），转换为直角坐标方程为 X2 y