六.圆锥曲线方程

1、1.(全国卷一 （全国卷一）圆锥曲线14已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 2 【解析】本小题主要考察抛物线的方程及有关性质。由题意知a>0，C（0，-1），原方程变形为x2=1/a（y+1），所以|OC|=1/4a，即a=1/4，则=4，所以SABC=2.21. 双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点已知成等差数列，且与同向（）求双曲线的离心率；（）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程解：（）设双曲线方程为(a>0,b>0，右焦点为F(c,0(c>0，则c2=a2+b2

2、不妨设l1：bx-ay=0，l2：bx+ay=0则 ，。因为2+2=2，且=2-，所以2+2=(2-2，于是得tanAOB=。又与同向，故AOF=AOB，所以 解得 tanAOF=，或tanAOF=-2（舍去）。因此 。所以双曲线的离心率e=（）由a=2b知，双曲线的方程可化为x2-4y2=4b2 由l1的斜率为，c=b知，直线AB的方程为y=-2(x-b 将代入并化简，得15x2-32bx+84b2=0设AB与双曲线的两交点的坐标分别为(x1,y1，(x2,y2，则x1+x2=，x1·x2= AB被双曲线所截得的线段长l= 将代入，并化简得l=，而由已知l=4，故b=3，a=6所以

3、双曲线的方程为2.(全国卷二 全国二圆锥曲线9设，则双曲线的离心率的取值范围是（ B ）A B C D解：，因为是减函数，所以当时，所以，即考查：双曲线的离心率、函数的取值范围、解析几何与函数的交汇点15已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点设，则与的比值等于 解：设A（，）B（，）由x=或x=由知>，故，；由抛物线的定义知考查：直线与抛物线的位置关系、抛物线定义的应用21 设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点（）若，求的值；（）求四边形面积的最大值（）解：依题设得椭圆的方程为，直线的方程分别为，如图，设，（）E且 满足方程 ， 故由

4、知，得；由在上知，得所以，化简得，解得或（）解法一：根据点到直线的距离公式和式知，点到的距离分别为，又，所以四边形的面积为，当，即当时，上式取等号所以的最大值为解法二：由题设，设，由得，故四边形的面积为，当时，上式取等号所以的最大值为考查：运算能力、椭圆与直线的位置关系、四边形面积的求法、函数的最值问题3.(北京卷 北京卷：曲线方程19（本小题共14分）已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1（）当直线过点时，求直线的方程；（）当时，求菱形面积的最大值方法一：（）由题意得直线的方程为因为四边形为菱形，所以于是可设直线的方程为由得因为在椭圆上，所以，解得设两点坐标分别为，则，所以所以的中

5、点坐标为由四边形为菱形可知，点在直线上， 所以，解得所以直线的方程为，即（）因为四边形为菱形，且，所以所以菱形的面积由（）可得，所以所以当时，菱形的面积取得最大值方法二：（）由题意得直线的方程为设两点坐标分别为，则A, C中点O坐标为，且O过直线BD，所在直线的斜率为1，所以AC的斜率为.因为在椭圆上，则： ，所以直线的方程为，即（）因为四边形为菱形，且，所以所以菱形的面积设直线的方程为， 由得因为在椭圆上，所以，解得设两点坐标分别为，则，由弦长公式得：所以当时，菱形的面积取得最大值4.(上海卷5(天津卷 天津圆锥曲线数列类型题目：NO. 5,21. .设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右

6、焦点的距离为1，则P到右准线的距离为（ ）A）6 B）2 C） D）【评述】本题是一道圆锥曲线的选择题，主要考查椭圆第二定义的运用，主要运用数形结合，转化，化归的思想方法.解：由题意与椭圆的第一定义得 又 由椭圆的第二定义得 => . 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是（1）求双曲线C的方程；（2）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M,N,且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.【评述】本题是一道直线与双曲线相交的综合题，是一道常规的解析几何题.主要考查了双曲线的标准方程.直线方程、一元二次方程的根的判别式等知识.本题主要运用数

7、形结合及转换、化归的方法进行求解.解：（1）由题可知,则，则又渐近线方程为 即又设双曲线C的方程为则渐近线方程为，则，则则 , 则（2）设直线的方程为： ，则设又设MN的垂直平分线为，且由题意得其斜率为.则将代入，得则，即则 将代入中：则过点则的方程为 令中，则 令，则则则 则 有可知：0即0当0时，0000解之得0或当0时，0000解之得或0综上所述：的取值范围是6(重庆卷 重庆卷 圆锥曲线知识8、解：本题已给出双曲线的渐进线，离心率通过他们即可求出a、b之间的关系。方法一：由题意可知，则双曲线的方程就是即选答案。方法二依题意得由此得，因此这双曲线方程为即选答案。评述：本题主要考察对双曲线的

8、渐进线，离心率的应用。21、解：（1）设长半轴为a，短半轴长为b，焦距为c，则由题意可知2a=6,那么a=3，c=2,则短半轴为=因此椭圆的方程为（2）方法一：由条件可得又因为所以点可构成一个三角形，所以就有即所以点在以为焦点，实轴长为的双曲线上所以为点的坐标所以点的坐标为,方法二设椭圆与y轴的正半轴相交于点B，由（1）可知当然为最大值,所以讨论显然P不可能在x轴上，且不可能垂直于x轴依图可知设，则，则即.联立 、 即可得为 ，评述：本题主要考察对椭圆，双曲线的定义，性质的理解、应用。7. (广东卷 圆锥曲线（广东）13（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程分别为，则曲线与交点的极坐标

9、为 解：要求曲线与交点的极坐标，就是求同时满足极坐标方程的点，联立解方程组，解得,即两曲线的交点为。18（本小题满分14分）设，椭圆方程为，抛物线方程为如图所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点（）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；图（ ）设 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 ，使得 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标） 解： （1）解法一：设椭圆的右焦点的坐标为，则,由得，当得，G点的坐标为，过点G的切线方程为即，令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，即，即椭圆和抛物线的方程分别为和。解法二：设椭圆的右焦点的坐标为，则,由得，当得，G点的坐标为，于是过的直线的斜率。令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；（2）抛物线上存在点，使得为直角三角形，这样的点有四个。过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，同理 以为直角的只有一个。解法一：若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和， ,因为的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。解法二：以原点为圆心，为直线作圆，由于圆的半径大于椭圆的半短轴长1，且椭圆与抛物线仅交于一点，故所作圆与抛物线交于