一道高中数学竞赛题在圆锥曲线中的推广

1、一道高中数学竞赛题在圆锥曲线中的推广 1991年四川省高中数学联合竞赛决赛第四题是一道平面几何题.原题：如图1，设是的BC边外的旁切圆，D、E、F分别是与BC、CA和AB的切点，若OD与EF交于K，求证：AK平分BC. 贵州教育学院李小雪先生应用射影几何的观点研究了此题，给出了纯几何证法的证明.湖南师范大学数学系沈文选教授在他的近作平面几何证明方法全书三次证明此题，方法是三角法、射影变换法、应用张角定理.由此我们可以看出此题是一道有背景的重要的几何题.我们拟给出解析证法，并把它推广到圆锥曲线中去.在证明过程中，要用到以下引理：（1）.若点为圆外一点，过点引圆的两条切线方程为：；切点弦的方程为：

2、.（2）. 若点为椭圆外一点，过点引椭圆的两条切线方程为：；切点弦的方程为：.（3）. 若点为双曲线外一点，过点引双曲线的两条切线方程为：；切点弦的方程为：.（4）. 若点为抛物线外一点，过点引抛物线的两条切线方程为：；切点弦的方程为：.证明：如图2，以旁切圆的圆心O为原点，直线OD为轴，过O点垂直于OD的直线为轴.建立直角坐标系，设旁切圆方程为，则点D的坐标为（0，R），直线BC的方程为.设点A的坐标为，则有切点弦EF的方程为两条切线AF、AE的方程为在方程中，令，得，则点的坐标为.直线的方程为：.将代入方程解得.设与交于点，点的坐标为.把代入方程并整理得：.设点、的坐标分别为，由韦达定理得

3、，中点的横坐标为，的中点坐标为.与点的坐标相同.所以点为的中点，即直线平分. 定理1：如图3，椭圆旁切于的边外，D、E、F分别是椭圆与BC、CA和AB的切点，若OD与EF交于K，则有AK平分BC.证明：设点A坐标为，点D坐标为，AK与BC相交于点M.则过点D的切线方程为：由引理2可知过点A的两切线方程为：切点弦EF的方程为直线DO的方程为：联立、可得K点坐标为： .直线AK的方程为：联立可得点M的横坐标：设点B、C的横坐标为、，B、C的中点横坐标为，联立可得关于的一元二次方程：由韦达定理可得点M与B、C中点横坐标相等，又都在切线方程上，则它们的纵坐标也相等，这两点是同一点，所以M为线段BC的中

4、点，即直线AK平分BC.定理2：如图4，双曲线旁切于的边外，D、E、F分别是双曲线与BC、CA和AB的切点，若OD与EF交于K，则有AK平分BC. 定理2的证明与定理1的证明类似，由于篇幅所限，不再赘述. 定理3：如图5，抛物线旁切于ABC的BC边外，D、E、F分别是抛物线与BC、CA和AB的切点，过点D作x轴的平行线与EF交于点K，则有AK平分BC.证明：设点A坐标为，点D坐标为，AK与BC相交于点H.则有，过点D的切线方程为： 由引理2可知过点A的两切线方程为 切点弦EF的方程为联立 可求得点K坐标为：，进而可得直线AK方程为： 联立可得点H的横坐标：设点B、C的横坐标为、，B、C的中点横坐标为，联立可得关于x的一元二次方程： 由韦达定理可得即点H与B、C中点横坐标相等，又都在切线方程上，则它们的纵坐标也相等，这两点是同一点，所以H为线段BC的中点，即直线AK平分BC.若是的内切圆，其他条件不变，结论依然成立，用解析法证明的步骤完全相同.这是证明一类三角形旁切圆、内切圆问题的方法之一.这种方法的优点是思路统一,可以推广到圆锥曲线中.参考文献:1