双曲线的渐近线

1、双曲线的渐近线【教学目标】1知识教学点：使学生理解并掌握双曲线的渐近线的导出和论证，以及双曲线的渐近线的作用.2能力训练点：在与初中所学的的图象的类比中获得双曲线的渐近线的特点，从而培养学生分析、归纳、推理等能力3学科渗透点：使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质（渐近线）的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解【教材分析】1教学重、难点：双曲线的渐近线的导出和论证(解决办法：引导学生类比初中所学的的图象的特点，然后逐一证明)2教学疑点：双曲线的渐近线的发现和证明(解决办法：通过类比以及几何画板猜测)【教学程序】1新课引入课前播放“悲伤双曲线”的音乐。我们前面已经学习了双曲线，你

2、对双曲线有哪些了解呢？（标准方程、中心、顶点、对称轴、离心率、准线等）那么你对这条双曲线：（的图像）又有哪些了解呢？你能找出它的中心吗？顶点呢？（双曲线和对称轴的交点），从而引出对称轴。我们发现这条双曲线的对称轴并不是x、y轴，但是x、y轴又和这条双曲线的关系很密切，你能说说它们的关系吗？（1）无交点；（2）逐渐接近>无限接近。(板书)从而引出课题“双曲线的渐近线”。 (板书)2新课讲解【探索1】我们通常研究的双曲线的焦点都在坐标轴上（以焦点在x轴上的双曲线为例），所以我们可以将的图像绕原点顺时针旋转45度，得到焦点在x轴上的双曲线。这说明焦点在x轴上的双曲线也有渐近线。那么，一般的双曲

3、线的渐近线在哪里呢？大家猜猜看。（停顿）能否根据其特征（无交点、逐渐接近>无限接近）找到它呢？（按特征的顺序依次研究）【探索2】你能找到和双曲线的图象没有交点的直线吗？（y轴等过原点的部分直线）【探索3】那么这么多和双曲线的图象没有交点的直线中，到底哪一条是和其逐渐接近并且无穷远处无限接近的呢？（通过几何画板进行猜测）先取a1，改变b的取值，比较直线的斜率和a，b的关系，再取a2，改变b的取值，比较直线的斜率和a，b的关系。引导学生发现该直线的斜率。【探索4】几何画板的猜测不能代替证明，那么如何证明上述猜想的结果呢？（学生可能说出几种不同的方案，取一种方案在几何画板上进行演示，然后证明）

4、我们不妨先以具体实例证明，并根据对称性取第一象限证明。设双曲线的方程为，（1）证明直线与双曲线无交点，易证；（2）证明逐渐趋近>无限接近。设M(x,y)是双曲线上的第一象限的一点，是直线上与M有相同横坐标的点，则从而x增大直至趋于正无穷大时，|MN|逐渐减小直至趋于0；即：点M向无穷远处运动时， M点就无限接近于直线。综上，双曲线的渐近线方程为。根据对称性，其他象限类似。我们称直线为双曲线的渐近线。【探索5】我们回到课前引入的问题。我们能不能求出旋转后的双曲线的标准方程呢？由旋转前后的不变性，可求出，再由，可求得：，所以双曲线的标准方程为：。我们把实轴和虚轴相等的双曲线叫做等轴双曲线。3

5、例题讲解例1：求双曲线的渐近线方程，并画出双曲线的草图。（由学生到黑板前板演，并提问是如何画出草图的（先画渐近线），追问渐近线是如何画出的（描点），继续追问描的哪个点，从而引出矩形框的讲解）【变】求双曲线的渐近线方程。（学生可能出现两种答案，此时在几何画板上进行验证，并得出焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程）由于例1和变式的结果都是，进而引出下面的追问1。【追问1】以直线为渐近线的双曲线方程，你还能写出几个吗？（如等，进而可以总结：以直线为渐近线的双曲线方程可以统一表示为）。（可以用几何画板演示结果）【追问2】上述方程中，若，表示的是什么呢？（恰好为双曲线的渐近线方程，进而总结：双曲线的渐近线方程为；双曲线的渐近线方程为）4课堂小结（略）【教学反思】1本节课的教学设计初衷是以学生的认知水平、认知习惯为出发点，逐步寻找最近发展区，从而使学生能够顺利的接受并理解双曲线的渐近线；2关于双曲