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文档简介
1、双曲线的渐近线【教学目标】1知识教学点:使学生理解并掌握双曲线的渐近线的导出和论证,以及双曲线的渐近线的作用.2能力训练点:在与初中所学的的图象的类比中获得双曲线的渐近线的特点,从而培养学生分析、归纳、推理等能力3学科渗透点:使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质(渐近线)的基本方法,加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解【教材分析】1教学重、难点:双曲线的渐近线的导出和论证(解决办法:引导学生类比初中所学的的图象的特点,然后逐一证明)2教学疑点:双曲线的渐近线的发现和证明(解决办法:通过类比以及几何画板猜测)【教学程序】1新课引入课前播放“悲伤双曲线”的音乐。我们前面已经学习了双曲线,你
2、对双曲线有哪些了解呢?(标准方程、中心、顶点、对称轴、离心率、准线等)那么你对这条双曲线:(的图像)又有哪些了解呢?你能找出它的中心吗?顶点呢?(双曲线和对称轴的交点),从而引出对称轴。我们发现这条双曲线的对称轴并不是x、y轴,但是x、y轴又和这条双曲线的关系很密切,你能说说它们的关系吗?(1)无交点;(2)逐渐接近>无限接近。(板书)从而引出课题“双曲线的渐近线”。 (板书)2新课讲解【探索1】我们通常研究的双曲线的焦点都在坐标轴上(以焦点在x轴上的双曲线为例),所以我们可以将的图像绕原点顺时针旋转45度,得到焦点在x轴上的双曲线。这说明焦点在x轴上的双曲线也有渐近线。那么,一般的双曲
3、线的渐近线在哪里呢?大家猜猜看。(停顿)能否根据其特征(无交点、逐渐接近>无限接近)找到它呢?(按特征的顺序依次研究)【探索2】你能找到和双曲线的图象没有交点的直线吗?(y轴等过原点的部分直线)【探索3】那么这么多和双曲线的图象没有交点的直线中,到底哪一条是和其逐渐接近并且无穷远处无限接近的呢?(通过几何画板进行猜测)先取a1,改变b的取值,比较直线的斜率和a,b的关系,再取a2,改变b的取值,比较直线的斜率和a,b的关系。引导学生发现该直线的斜率。【探索4】几何画板的猜测不能代替证明,那么如何证明上述猜想的结果呢?(学生可能说出几种不同的方案,取一种方案在几何画板上进行演示,然后证明)
4、我们不妨先以具体实例证明,并根据对称性取第一象限证明。设双曲线的方程为,(1)证明直线与双曲线无交点,易证;(2)证明逐渐趋近>无限接近。设M(x,y)是双曲线上的第一象限的一点,是直线上与M有相同横坐标的点,则从而x增大直至趋于正无穷大时,|MN|逐渐减小直至趋于0;即:点M向无穷远处运动时, M点就无限接近于直线。综上,双曲线的渐近线方程为。根据对称性,其他象限类似。我们称直线为双曲线的渐近线。【探索5】我们回到课前引入的问题。我们能不能求出旋转后的双曲线的标准方程呢?由旋转前后的不变性,可求出,再由,可求得:,所以双曲线的标准方程为:。我们把实轴和虚轴相等的双曲线叫做等轴双曲线。3
5、例题讲解例1:求双曲线的渐近线方程,并画出双曲线的草图。(由学生到黑板前板演,并提问是如何画出草图的(先画渐近线),追问渐近线是如何画出的(描点),继续追问描的哪个点,从而引出矩形框的讲解)【变】求双曲线的渐近线方程。(学生可能出现两种答案,此时在几何画板上进行验证,并得出焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程)由于例1和变式的结果都是,进而引出下面的追问1。【追问1】以直线为渐近线的双曲线方程,你还能写出几个吗?(如等,进而可以总结:以直线为渐近线的双曲线方程可以统一表示为)。(可以用几何画板演示结果)【追问2】上述方程中,若,表示的是什么呢?(恰好为双曲线的渐近线方程,进而总结:双曲线的渐近线方程为;双曲线的渐近线方程为)4课堂小结(略)【教学反思】1本节课的教学设计初衷是以学生的认知水平、认知习惯为出发点,逐步寻找最近发展区,从而使学生能够顺利的接受并理解双曲线的渐近线;2关于双曲
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