概率论重点及课后题答案

1、第五章 随机变量的数字特征一、大纲要求（1）理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数）的概念，并会运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征.（2）掌握常用分布的数字特征.（3）会根据一维随机变量的概率分布求其函数的数学期望. （4）会根据二维随机变量的联合概率分布求其函数的数学期望.离散型：连续型：二、重点知识结构图定义 随机变量的 数学期望 ，相互独立数字特征 性质一维随机变量函数的数学期望二维定义方差性质独立二项分布，泊松分布，离散型 常用分布的均匀分布，指数分布分布，正态分布，数字特征连续型协方差 两个随机变量相关系数三、基础知识 1.随机变量的数学期望 （1）

2、离散型随机变量的数学期望 定义 若离散型随机变量的分布律是，且级数绝对收敛，则称此级数的和为的数学期望（或均值），记为.即 简单地说，离散型随机变量的数学期望等于各个取值与对应概率的乘积之和. （2）连续型随机变量的数学期望定义 若随机变量有概率密度函数，并且积分绝对收敛，则称此积分为的数学期望，记为，即 2.随机变量函数的数学期望 （1）离散型随机变量函数的数学期望 设二维离散型随机变量的分布律为 如果绝对收敛，则的数学期望存在，且有 （2）连续型随机变量函数的数学期望 设二维连续型随机变量的分布密度函数为，如果绝对收敛，则的数学期望存在，且有特别有 式中，为的分布密度函数. 3.数学期望的

3、性质 性质1 一个常数的数学期望等于这个常数，即. 性质2 设是常数，若随机变量的数学期望存在，则也存在，并且有. 性质3 若随机变量的数学期望存在，则的数学期望也存在，并且有. 性质4 若性质3的条件成立，且相互独立，则存在，且有. 4.方差和标准差 定义 设是一个随机变量，若存在，则称为的方差，记作，即.称为的标准差或均方差. 对于离散型随机变量，若有分布律，则. 对于连续型随机变量，若有密度函数，则 5. 方差的性质 性质1 （是常数）. 性质2 （是任意常数）. 性质3 当相互独立时，. 性质4 的充要条件是以概率1取常数，即（显然，应有）. 6.协方差与相关系数 对于随机变量，若存在

4、，则称其为随机变量的协方差，记作.若的方差都不等于零.称为随机变量的相关系数. 定理1 对给定的二维随机变量， （1）若独立，则； （2）. 定理2 对给定的二维随机变量，为的相互系数， （1）若独立，则； （2），当且仅当有严格的线性关系时，等号成立. 若服从二维正态分布，则独立的充要条件是不相关，即. 定理3 若是二维随机变量，则 （1）； （2）. 对不相关的随机变量，必有， 若是两两独立的随机变量，则必有 7.矩 定义 设为随机变量，为常数，为正整数，则称为关于点的阶矩. （1）当时，称为的阶原点矩； （2）当时，称为的阶中心矩. 四、典型例题 例1 设随机变量在区间上服从均匀分布，随

5、机变量则方差=_. 解 的密度函数为，因此 例2 设随机变量的方差存在且不等于0， 则是（ ）. （A）不相关的充分条件，但不是必要条件（B）独立的必要条件，但不是充分条件（C）不相关的充分必要条件（D）独立的充分必要条件解 若独立，则一定有.但若，则不一定独立.因此是独立的充分条件，但不是必要条件.因此B项不正确.从而D项也不正确.例3 设随机变量的概率密度为已知，求和的值解 由，得又因为 所以 ， 例4 设是两个事件，则随机变量， 试证明随机变量不相关的充分必要条件是相互独立. 证 设，由数学期望定义可得 同理 由于只取两个可能值1和-1，可见 所以 从而 又因为不相关的充要条件为，即即相

6、互独立.例5 若连续型随机变量的密度函数为已知，求系数.解 由于，所以，即 （1）已知，所以有，即 （2）由知，所以，即 （3）联立式（1）（2）（3），解得.例6 假设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量（单位：t），已知服从上的均匀分布，设每售出这种商品1t，可为国家挣得外汇3万元，但若销售不出而囤积于仓库，则每吨需浪费保养费1万元，问应组织多少货源，才能使国家的收益最大？解 用表示预备某年出口的此种商品量（），表示获得的收益（单位：万元），则从而每年平均收益为 故当 时，可使平均收益达到最大.例7 设袋中有号的球个，从中摸出一球，试求所得号码的数学期望.解 以表示摸出一球

7、的号码数，注意袋中球的总数为，即有 从而，的数学期望为 例8 设为次独立试验中事件出现的次数，在第次试验中事件出现的概率为，求，并证明：在（常数）的条件下，当且仅当时，达到最大.分析在证明是，将进行正确的合并时解答本题的关键.解 设 则互相独立且具有相同的分布： 0 1 于是 ， 由于，则当时，有 所以，当且仅当时，最大.例9 设随机变量服从均值为2、方差为的正态分布，且，求.分析求正态分布的概率时，先将其转化为标准正态分布，在查表，即可求得结果.所用定理为：若，则.这个定理一定要熟练掌握.解 由于 所以有 因此 例10 设在上服从均匀分布，求随机变量的数学期望及方差.解 的概率密度为于是 所

8、以 例11 游客乘电梯从电视塔底层到顶层观光，电梯于每个整点的5分钟、15分钟和55分钟从底层起行，假设一游客在早上8点的第的分钟到达底层电梯处，且在上服从均匀分布，求该游客等候时间的数学期望.解 已知在上服从均匀分布，则其密度函数为设为游客等候电梯的时间（单位：分），则因此 例12 设在上服从均匀分布，求的相关系数.解 根据随机变量函数的数学期望的计算公式，有， 所以又因为 从而得 于是五、课本习题全解5-1 （1）， ， ；（2）， .5-2 （1）（2） 5-3 （1）；（2）.5-4 （1）， ；（2）由于，； ，；（3）由于，故.5-5 ，因此，即时，达到最小值为.5-6 当时，；当

9、时，.5-7 5-8 由于， ，且相互独立，所以有， 5-9 证明 5-10 证明 5-15 （1）由于 ，故.（2），由于相互对称，故有；由于相互对称，故有. （3） 5-12 二维随机变量的联合分布函数为 .5-13 设抽到次品所需要次数为，则服从下列分布： 1 2 3 即，因此 5-15 （1） ， .， （2）， 可见，所以两者不独立.故两者相关.5-16 ， 可见，故两者独立.5-17 两台仪器无故障时间的密度分布为， 联合密度函数为设无故障工作时间为，则联合分布函数为所以密度函数为， 5-18 根据题意有 ， ， ， 已知，所以，即故.事件相互独立，由事件的独立性定理可得：，两两相

10、互独立，即因此，相互独立.5-19 已知，由正态分布的性质可知：， 故，令，则.六、自测题及答案1.设随机变量的密度函数为且已知，则常数_，_.2.设随机变量的方差为，则_.3.设表示10次独立重复射中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则_.4.设随机变量相互独立，其中，记，则_.5.设随机变量服从于参数为的泊松分布，且已知，则_.6.设是一个随机变量，其概率密度为则方差_.7.设一次试验成功的概率为，进行100次独立重复试验，当_时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为_.8.设随机变量的分布函数为则（ ）.（A） （B）（C） （D）9.设随机变量独立，且，则（ ）.（A） （B）（

11、C） （D）10.设随机变量的密度函数为则以下（ ）成立.（A） （B）（C） （D）11.如果随机变量满足，则必须有（ ）成立.（A）独立 （B）不相关（C） （D）12.设随机变量服从参数为2的指数分布，随机变量，则（ ）.（A） （B）5 （C） （D）13.设是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为， 则（ ）. （A）2 （B）3 （C）4 （D）514.设随机变量独立，且，则（ ）.（A） （B）（C） （D）15.设是一个随机变量，（是常数），则对任意常数，有（ ）.（A） （B）（C） （D）16.设随机变量的概率密度分别为， （1）求和；（2）假设相互独立，求.17.一工厂

12、生产的某种设备的寿命（以年计）服从指数分布，其概率密度为工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换，若工厂售出一台设备盈利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净盈利的数学期望.18.流水作业线上生产出的每个产品为不合格的概率为，当生产出个不合格品时，即停工检修一次，求在两次检修之间产品总数的数学期望与方差.19.五家商店联营，它们每两周售出的某农产品的数量（单位：kg）分别为，已知，且相互独立.（1）求五家商店两周的总销售量的均值和方差；（2）商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存多少千克该产品？20.

13、某人有一串钥匙（钥匙数量为）其中只有一把能打开自己的家门，若他在下列情况下随意地试用这串钥匙，试求打开门时已被使用过的钥匙数的数学期望与方差：（1）把每把试用过的钥匙分开；（2）把每次试用过的钥匙再混杂在这串钥匙中.21.设一口袋中装有个球，每个球上标有各不相同的数字，不放回地从袋中取球，每次一个球，第次取到的球上的数字定义为，对任意的，求的相关系数.【答案】1.因为，说明，所以已知，可得 又因为，可得 联立，得.2. 3.18.44.由，可得， ， 所以 5.已知服从参数为的泊松分布，即，而 解得. 6. 7.若满足二项分布，则，故是方差的最大值点，也是标准差的最大点.方差最大值为从而标准差最大值为25. 8.由的分布函数可得其密度函数为故.因此D项正确. 9.由于相互独立，所以.因此B项正确. 10.因为，所以.其中. 由于的曲线关于对称，故.因此，A、C、D三项均正确. 11.因为 又因为 所以，即，故不相关.因此B项正确. 12.A 13.C 14.A 15.D 16.（1） 所以 （2）若相互独立，则有 17.售出一台设备的盈利函数为则 18.设第个不合格品出现后到第个不合格品出现时的产品数为，