《高等数学教学》201x 第三节三重积分的计算法

1、编辑ppt、例例8.,:,0222)(222dxeayxDdxdyexDyx 并并求求其其中中计计算算解解 dxdyeDyx)(22 arrdred0202 dear02021)(2).1()1(222021aaede 0, 0,2:0 ,0:; 0, 0,:22232221 yxayxDayaxDyxayxD令：令： ayaxaxdyedxedxe0020222)( 222)(Dyxdxdye 322222122)()()(DyxDyxDyxdxdyedxdyedxdye arDyxrdreddxdye020)(2122 )1()1(2242021aaede ).1()1(222222242

2、02212020)(aaarDyxederdreddxdye )1()()1(22224204aaxaedxee 4244)1(lim)1(lim22 aaaaee.202 dxex编辑ppt、例例9.)2(2422222222立立体体的的体体积积内内含含在在所所围围与与计计算算axyxaxyxazyx 解解 dxdyyxaVD22242 cos20224222ardrrad draacos2022322322)4( daaa)cos44(82322233222 daa)sin88(3330342 )sin(20323332 da )sin(203223332 da).(3223332 a编辑

3、ppt、例例10.),(),(22240424220积积分分化化为为极极坐坐标标形形式式的的二二次次积积分分将将直直角角坐坐标标形形式式的的二二次次dyyxfdxdyyxfdxIxxxxxx 解解.)sin,cos(cos4cos220rdrrrrfdI 编辑ppt、例例11.12222所所围围的的面面积积计计算算椭椭圆圆 byax解解abrJabrbbraaryyxxJrr ;sincoscossin DDDdrabrddrdJdxdyA 面积面积.1020abrdrdab 10 ,20;sincos rbryarx 广广义义极极坐坐标标变变换换：编辑ppt算算法法第第三三节节、三三重重积积

4、分分的的计计积积分分计计算算一一、直直角角坐坐标标下下的的三三重重定定义义、上上的的是是空空间间有有界界闭闭区区域域设设函函数数 ),(zyxf块块小小表表示示分分割割的的第第其其中中任任给给一一个个分分割割ivvvvin .,.,21,区域区域,),(.iiiiv 任任取取体体积积同同时时也也表表示示该该小小区区域域的的.,.,2 , 1ni :作作和和式式nnnnvfvfvf ),(.),(),(22221111 iiiinivf),(1 ),(最大值最大值中任意两点间的距离的中任意两点间的距离的的直径的直径为为记记iiivvd .,.,2 , 1ni .max1为分割的模为分割的模ini

5、d ,0 令令若和式若和式iiiinivf ),(1 ,的的极极限限存存在在上上在在则则称称 ),(zyxf,可可积积上上的的在在称称极极限限值值为为 ),(zyxf,三重积分三重积分,),(: dvzyxf记记为为,),(lim),(10iiiinivfdvzyxf 即即,),(称称为为被被积积函函数数其其中中zyxf,),(为为被被积积表表达达式式称称dvzyxf,称称为为积积分分变变量量zyx,为为体体积积微微元元称称dv.dxdydz标标时时可可表表示示为为体体积积微微元元在在选选择择直直角角坐坐,有有界界函函数数编辑ppt的的计计算算方方法法：直直角角坐坐标标系系下下三三重重积积分分

6、计计算算方方法法：先先一一后后二二 dzzyxfdxdydvzyxfyxzyxzDxy ),(),(21),(),(则则);,(),(.),(:21yxzzyxzDyxxy 为为：假假设设积积分分区区域域计计算算方方法法：先先二二后后一一 );(),(:zDyxdzc 为为：假假设设积积分分区区域域dxdyzyxfdzdvzyxfzDdc )(),(),(则则编辑ppt、例例1.12,所所围围成成的的闭闭区区域域及及平平面面为为三三个个坐坐标标面面其其中中计计算算三三重重积积分分 zyxxdxdydz解解计计算算方方法法：先先一一后后二二 yxDxdzdxdyxdxdydz210 yxxdzd

7、yxdx21021010 21010)21(xdyyxxdx dxyxyyxx210210)(.)2(481103241 dxxxx编辑ppt、例例2.2, 1,222所所围围成成的的圆圆台台体体及及是是由由曲曲面面其其中中计计算算三三重重积积分分 zzzyxzdxdydz解解计计算算方方法法：先先二二后后一一 ,:)(),(, 21:222zyxzDyxz )(21zDzdxdydzdxdydzz )(21zDdxdyzdz.415213 dzz编辑ppt、例例3.01,).2(.0, 0,).1(:,)(),(2所所围围成成和和由由所所围围成成和和由由分分别别为为其其中中积积分分区区域域积

8、积分分累累次次系系下下的的三三次次化化为为直直角角坐坐标标将将三三重重积积分分 zyxxyzzxzyxydxdydzzyxf ).1(解解.),(22000 xxdzzyxfdydx xDdzzyxfdxdydxdydzzyxfxy20),(),( 编辑ppt所所围围成成和和由由01,).2( zyxxyz.),(01010dzzyxfdydxxyx ).2(解解 dzzyxfdxdydxdydzzyxfxyDxy0),(),(编辑ppt二、柱面坐标、球面坐标坐标系下的三重积分计算二、柱面坐标、球面坐标坐标系下的三重积分计算 1 1、柱面坐标系、柱面坐标系drdzrdzrrfdxdydzzyx

9、f ),sin,cos(),(rzrzyxJzrzzryrx ),(),(),(2 , 0), 0,sincos zrzrzrzzzyyyxxxzrzyx ),(),(rrr 1000sincos0cossin . rJ 编辑ppt、例例1.34,22222所所围围成成和和是是由由曲曲面面其其中中计计算算zyxzyxzdxdydz 解解 22314 rrDzdzrdrdzdxdydz 223143020rrzdzrdrd drzrdrr 204221302231 drrrd)(4(23023122120 drrr)(4(2230231221 .413 223143020:rzrrD : 305

10、5191331)4(rrr 编辑ppt2 2、球面坐标系、球面坐标系 sin),(),(2 zyxJ, 02 , 0), 0,cossinsincossin zyx dddfdxdydzzyxfsin)cos,sinsin,cossin(),(2 cossin0sinsinsincoscossincossincoscossinsin),(),( zzzyyyxxxzyx sincoscossincoscossinsincossinsincossincossinsinsinsin )coscossinsincossin(cos2222 )sinsinsinsin(sin2222 .sincoss

11、insin22232 sin2 J编辑ppt、例例2)(.1222222轴轴的的部部分分不不包包括括所所围围立立体体的的体体积积与与求求zzyxzyx 解解. 10 ,20:434 ddddxdydzV10220434sin d434sin231 434cos32 .2)(32222232 编辑ppt、例例3.:,)(22222azyxdxdydzzyxI 其其中中计计算算解解 dxdydzzyxI2)( dxdydzyzxzxyzyx )222(222 dxdydzyzxzxydxdydzzyx)222()(222 dxdydzxzxydxdydzzyx)22()(222;2 yzdxdydz,)(222 ,是是奇奇函函数数关关于于面面对对称称关关于于xzyxxzxyyoz ;0)22( dxdydzxzxy,2 ,是是奇奇函函数数关关于于面面对对称称关关于于yyzxoz 02 yzdxdydz ddddxdydzzyxIa202020222sin)( .2255455aa 编辑ppt、例例4解解.1,)(22222