四点共圆例题及答案

1、证明四点共圆的基本方法证明四点共圆有下述一些基本方法：方法1从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上， 若能证明这一点，即可肯定这四点共圆.方法2把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底 边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆.（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆， 且斜边上两点连线为该圆直径。方法3把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个 外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆.方法4把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交 点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆

2、的四点两 两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两 线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四 点也共圆.（根据托勒密定理 的逆定理）方法5证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆.上述五种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因， 因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形 的特点，在这五种基本方法中选择一种证法，给予证明.例1如图，E、F、G H分别是菱形ABC*边的中点.求证：E、F、G H 四点共圆.证明菱形ABCD勺对角线AC和 BD相交于点O,连接OE OF OG OH.AC和BD互相垂直

3、，在 RtAAOBRtABOCRtACOD RtzXDOA, E、F、G H,分别是 AR BG CD DA的中点，.0E = -ABf OF = BC, OG = -CD, OH 二一DA2222VAB = BC = CD =DAS OE = OF = OG = OH.即E、F、G H四点共圆.(2)若四边形的两个对角互补(或一个外角等于它的内对角)，则四点 共圆.例 2 如图，在 ABC 中，AD± BC DEL AB, DF± AC求证：B E、F、C四点共圆.证明 VDE!AB, DF±AC, /AE济 /AFD=180 ,即A、E、D F四点共圆， /A

4、EF4 ADF又ADL BC / AD斗 /CDF=90 ,/CD斗 / FCD=90 ,/ADF之 FCD ./AEFW FCD/BER / FCB=180 ,即B、E、F、C四点共圆.(3)若两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共 边的同侧，那么这两个三角形有公共的外接圆.【例1】 在圆内接四边形 ABCD, /A-/C=12° ,且/A： / B=2 ： 3.求 /A、/ B、/C、/D的度数.解.四边形ABCM接于圆，/A+/ C=18(J ./A-/C=12° ,/ A=96 , / C=84° . /A： / B=2： 3,2ZB =

5、96Q X- = 144。3ZD=180 -1440 =36° .利用圆内接四边形对角互补可以解决圆中有关角的计算问题.本例利用圆内接四边形的一个外角等于内对角及平行线的同位角、圆中同弧所对的圆周角得到两个相似三角形的条件，进而得到结论.关于圆内接四边形的性质，还有一个重要定理.现在中学课本一般都 不列入，现介绍如下：命题”菱形都内接于圆”对吗?命题”菱形都内接于圆”是不正确的.所以是假命题.理由是：根据 圆的内接四边形的判定方法之一，如果一个四边形的一组对角互补，那么 这个四边形内接于圆.这个判定的前提是一组对角互补，而菱形的性质是 一组对角相等.而一组相等的角，它们的内角和不一定

6、是 180。.如果内 角和是180° ,而且又相等，那么只可能是每个内角等于90° ,既具有菱 形的性质，且每个内角等于90° ,那末这个四边形一定是正方形.而正 方形显然是菱形中的特例，不能说明一般情形.判定四边形内接于圆的方法之二，是圆心到四边形四个顶点的距离相 等.圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的对称中心是圆心.菱形 同样既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的对称中心是两条对角线的 交点.但菱形的对称中心到菱形各个顶点的距离不一定相等.所以，也无法确定菱形一定内接于圆；如果菱形的对称中心到菱形各边顶点的距离相 等，再加上菱形的对角线互相垂直平分这些性

7、质，那么这个四边形又必是正方形.综上所述，“菱形都内接于圆”这个命题是错误的.5圆的内接四边形例1 已知：如图7-90, ABC比对角线互相垂直的圆内接四边形，通过对 角线的交点E与AB垂直于点H的直线交CD于点M.求证：CM=MD证明 ZMECCf/HEB互余，/ABE与/ HEB5余，所以/ MEC=ABE 又/ ABE= ECM 所以/ MEC=ECM 从而 CM=EM同理 MD=EM所以 CM=MDB图 7-9013点评 本例的逆命题也成立(即图中若 M平分CD则MHLAB).这两个命 题在某些问题中有时有用.本例叫做婆罗摩笈多定理.例2 已知：如图7-91, ABCtM。的内接四边形

8、，ACLBD,OElABfE.求正 OE=！cD.图771分析一 如图7-91 (a),由于E是AB的中点，从A引。的直径AG,。是AG的中点,由三角形中位线定理可知OE = ?GB,因此只2需证明GB=CD但这在第七章己1.4圆周角中的例3已经证明了.证明读者自己完成.*分析二 如图7-91 (b),设AC, BD垂直于点F.取CD的中点M则MF二CD,所明该有0E二MF,并且由例1的点评知道还有OE/ MF从而四边形OEF就该是平行四边形.证明了四边形 OEF平 行四边形，问题也就解决了.而证明四边形 OEFM1平行四边形已经没有什么困 难了.*分析三 如图7-91 (b),通过AC BD

9、的交点F作AB的垂线交CD于点M连 结线段EF, MO由于OEL AB, FML AB,所以OE/ FM 又由于EF±CD (见例1 的点评)，MOL CD所以EF/ MO所以四边形OEF岫平行四边形.从而OE=MF 而由例1知MF4，所以0E二2CD.例4已知，如图7-93 , P为等边三角形ABC的外接圆的BC上任意一点.求证：PA=PB+PC分析一本例是线段和差问题，因此可用截取或延长的方法证明.如图7-93 (a),在PA上取点M 使PM=PB剩下的问题是证明 MA=PC这只要证明 AB阵 /XCBPaM以了.证明读者自己完成.分析二 如图7-93 (a),在PA上取点M使M

10、A=PC剩下的问题是证明 PM=PB这只要证明 BPM等边三角形就可以了.证明读者自己完成.值)图 7-93分析三 如图7-93 (b),延长CP到M使PM=PB剩下的问题是证明PA=MC 这只要证明 PA芈CMBft可以了.证明读者自己完成.读者可仿以上的方法拟出本例的其他证明.*本例最简单的证明是利用托勒玫定理（例 3）.证明由托勒玫定理得PABC=PB AC+PC AB,由于BC=AC=AB所以有PA=PB+PC例2如图7116, OO和。O2都经过A、B两点，经过点A的直线CM。 O交于点C,与。交于点D.经过点B的直线EF与。交于点E,与OC2 交于点F.求证：CE/ DF.分析：要

11、证明CE/ DF.考虑证明同位角（或内错角）相等或同旁内角 互补.由于CE DF分别在两个圆中，不易找到角的关系，若连结 AB,则 可构成圆内接四边形，利用圆内接四边形的性质定理可沟通两圆中有关角 的关系.证明：连结AB.ABE久圆内接四边形，丁 / BADW E.ADFB1圆内接四边形，1 /BA济 /F=180° ,. /E+ /F=180° .2 .CE/ CF.说明：（1）本题也可以利用同位角相等或内错角相等，两直线平行证 明.如延长EF至G,因为/ DFGW BAD而/ BAD? E,所以/ DFGW E.（2）应强调本题的辅助线是为了构成圆内接四边形，以利用它的

12、性质,导出角之间的关系.(3)对于程度较好的学生，还可让他们进一步思考，若本题不变，但 不给出图形，是否还有其他情况？问题提出后可让学生自己画图思考， 通过讨论明确本题还应有如图 7 117的情况并给予证明.例3如图7118,已知在 ABC, AB=AC BD平分/ B, ABD勺外接 圆和BC交于E.求证 ：AD=EC分析：要证AD=EC不能直接建立它们的联系，考虑已知条件可知/ABD=/ DBE容易看出岳麓.若连结DE,则有AD=DE因此只要证DE=EC由于DE和EC为DEC勺两边，所以只要证/ EDC=T C.由已知条 件可知/ C=/ABC因此只要证/ EDCWABC因为4EDC是圆内

13、接四边形 ABED勺一个外角，所以可证/ EDC=ABC问题可解决.图 7-118证明：连结DE v BDWZ ABC. AD=DE , ad=de.ABE此圆内接四边形， ./ EDC=ABC,.AB=AC ./ABCW C,/EDa /C.于是有DE=EC因止匕AD=EC四、作业1 .如图7120,在圆内接四边形 ABCm,AC平分BD并且Ad BD /BAD=70 18',求四边形其余各角.a S 7-120图 7-1212 .圆内接四边形 ABCDfr, /A、/B、/C的度数的比为2 ： 3 ： 6, 求四边形各内角的度数.3 .如图7121, AD是AB的卜角/ EAC的平

14、分线，AD与三角形的外 接圆交于点D.求证：DB=DC作业答案或提示：1. /ABCN ADC=90 , / BCD=109 42'.2. /A=45° , / B=67.5° , / C=135 , /D=112.5° .3.提示：因为/ DBCW DAC / EADW DCB / EADW DAC 所以/ DBC= / DCB因止匕DB=DC判定四点共圆的方法引导学生归纳判定四点共圆的方法：(1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆.(2)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么

15、这个四边形的 四个顶点共圆.(4)如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶 点共圆(因为四个顶点与斜边中点距离相等).3.如图7124,已知ABC时平行四边形，过点 A和B的圆与AD、BC 分别交于E、F.求证：G D E、F四点共圆.提示连结 EF.由/ B+/AEF=180° , / B + /C=180° ,可得/ AEF= / C.四点共圆的应用四点共圆在平面几何证明中应用广泛，熟悉这种应用对于开阔证题思 路，提高解题能力都是十分有益的.一用于证明两角相等例1如图1,已知P为。外一点，PA切。于A, PB切。于B, OP交 AB于 E.求证：/ AP

16、G= / BPD证明连结OA OC OD由射影定理，得 AE=PE- EQ又AE= BE,则 AE- BE= PE- EQ(1);由相交弦定理，得 AE- BE= CE- DE(2); 由(1)、(2)得 CE ED= PE- EQ. P、G Q D四点共圆，则/ 1 = /2, /3= /4,又/2=/4./1 = /3,易证/ APC= /BPD(/4=/EDO)二用于证明两条线段相筹例2如图2,从。外一点P引切线PA PB和割线PDC从A点作弦 AE平行于DC连结BE交DC于F,求证：FO FD.图2证明连结 AD AR EG AB.PA 切。于 A,则/1 = /2. v AE/ CD

17、 则/2=/4././1 = /4, ；P、A F、B 四点共圆./ 5=Z6,而 /5= /2=/ 3, . ./3=/6. VAE/ CD . . EC=AD 且/ ECF之 ADF . EF8MFD - FO FD.三 用于证明两直线平行例3如图3,在4ABC中，AB=AC ADLBC, / B的两条三等分线交AD于 E、G 交 AC于 F、H.求证：EH/ GC证明 连结 EC 在4ABE和4ACE中，= AE= AE, AB=AC / BAE= /CAE . .AEBAEC ./5=/1 = /2, . . B、C、H、E 四点共圆，. / 6 =/3.在 AGE的GEg, vGE=

18、 GE /BEG / CEG EB= EC .GEB 白GEC-./4=/ 2=/3, . ./4=/6.EH/ GC四 用于证明两直线垂直例4如图4, ABC为等边三角形,D、E分别为BC.上的点，且BD - BC,CE = gAG AD与BE相交于P点.求证：CP1AD.证明 在ABDffi BCE 中，v AB=BC / ABD= /BCE BD= CE,则4 AB国ABCEE :/ADBWBEC P、D G E四点共圆.设 DC的中点为 O 连结 OE DE 易证/ OE秘 600 , / DEO= 30° . . / DEC= 90° ,于是/ DPC=90 ,.

19、 CPXAD.五用于判定切线例5如图5, AB为半圆直径，P为半圆上一点，PC!AB于C,以AC为直 径的圆交PA于D,以BC为直径白圆交PB于E,求证：DE是这两圆的公 切线.证明连结 DC CE 易知 / PDC= /PEC= 90° ,P、D、C、E 四点 共圆，于是/ 1=/ 3,而/ 3+/ 2=90° , / A+ / 2=90° ,则/ 1 = / A, DE是圆ACD勺切线.同理，DE是圆BCE的切线.因而DE为两圆的公切 线六用于证明比例式例6 AB CD为。中两条平行的弦，过B点的切线交CD的延长线于 G,弓玄PA PB分别交CD于E、F.求证

20、工EF FDCF FG证明 如图6.连结BE PG=BG切。于B,则/ 1 = /A. = AB/ CD 则/A= /2.于是/ 1 = /2,. P、G R E四点共圆.由相交弦定理， 得EFFG=PF FB.在。0中，由相交弦定理，得 CF- FD=FP FB.，EF FG = CF* FD,EF FD . = CF FG七用于证明平方式例7 ABC时圆内接四边形，一组对边 AB和DC延长交于P点，另一 组对边AD和BC延长交于Q点，从P、Q引这圆的两条切线，切点分别是 E、F,(如图 7)求证:PQ= QF+PE.证明 作DCQ勺外接圆，交PQ于M,连结MC ./1=/2=/3,则 P、B、C、M四点共圆.由圆幕定理得 PE= PC- PD= PMPQ QF=QG QB =QMQP 两式相加得 PE+QF= PM Pg