高中数学学习资料第十一章 数系的扩充与复数

1、第十一章 数系的扩充与复数§11.1 数系的扩充与复数的概念一、知识导学复数：形如a+bi的数（a,bÎR），复数通常有小写字母z表示，即z=a+bi,其中a叫做复数的实部、b叫做复数的虚部，i称做虚数单位.分类：复数a+bi(a,bÎR)中，当b=0时，就是实数；除了实数以外的数，即当b¹0时，a+bi叫做虚数；当a=0,b¹0时，叫做纯虚数.复数集：全体复数所构成的集合.复数相等：如果两个复数a+bi与c+di的实部与虚部分别相等，记作：a+bi=c+di.复平面、实轴、虚轴：建立直角坐标系来表示复数的平面.在复平面内，x轴叫做实轴，y 轴

2、叫做虚轴.复数的模：设oz=a+bi,则向量oz的长度叫做复数a+bi的模（或绝对值），记作a+bi.(1)z=a+bi=a+b；22(2)z1+z2=z2+z1；(3)z1z2z1z2=；7共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共扼复数.二、疑难知识导析1两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小2222zÎR,则z³0，而zÎC，则z³0不一定成立，如z=i时i=-1<0；3zÎR,z2=z，而zÎC则z22=z不一定成立；2224若z1,z2,z3ÎC,(z1-z2)+

3、(z2-z3)=0不一定能推出z1=z2=z3；25若z1,z2ÎR，则z1-z2=(z1+z2)-4z1z2，但若z1,z2ÎC,则上式不一定成立.三、经典例题导讲例1两个共扼复数的差是（ ）A.实数 B.纯虚数 C.零 D.零或纯虚数错解:当得到z-z=2bi时就错误的选B，忽略了b可以为零的条件.正解：设互为共扼的两复数分别为z=a+bi及z=a-bi(a,bÎR)则z-z=2bi 或z-z=2bi当b¹0时，z-z，z-z为纯虚数当b=0时，z-z=0，z-z=0，因此应选D.注：要认真审题，看清题设条件，结论. 学会全面辩证的思考问题，准确记

4、忆有关概念性质.例2判断下列命题是否正确(1)若zÎC, 则z2³0(2)若z1,z2ÎC,且z1-z2>0，则z1>z2 (3)若a>b，则a+i>b+i错解：(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，从而(1)是正确的(2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复(3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的前提条件.22正解：(1)错，反例设z=i则z=i=-1<0(2)错，反例设z1=2+i，z2=1+i，满足z1-z2=1>0，但z1z2不能比较大小.(3)错，Qa>b

5、，a,bÎR，故a+i，b+i都是虚数，不能比较大小.a-a-6a+3例3实数a分别取什么值时，复数z=+(a-2a-15)i是(1)实数；(2)虚数;(3)纯虚数.解：实部a-a-6a+3=(a+2)(a-3)a+3，虚部a-2a-15=(a+3)(a-5).（1）当 时，z是实数；（2）当（3） 当 ，且 或 时，z是虚数； 时是纯虚数 例4 设z1=(m2-2m-3)+(m2-4m+3)i(mÎR),z2=5+3i，当m取何值时，(1) z1=z2; (2)z1¹0.分析：复数相等的充要条件，提供了将复数问题转化为实数问题的依据，这是解复数问题常用的思想方法

6、，这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数 的方程，求出 的值2ìïm-2m-3=5解：(1)由可得：í解之得m=4，2ïîm-4m+3=3 即：当(2)当 时 可得：或 ，即 时z1¹0.2例5z1,z2是两个不为零的复数，它们在复平面上分别对应点P和Q，且4z12-2z1z2+z2=0，证明OPQ为直角三角形（O是坐标原点），并求两锐角的度数2分析 本题起步的关键在于对条件4z12-2z1z2+z2等式左边是关于z1,z2的二次=0的处理齐次式，可以看作二次方程求解，也可配方2解：由4z12-2z1z2+z2=0（，不为零）

7、，1±43i得 z1=2±23i8z2=z2 z1z21éæpöæpöù=êcosç±÷+isinç±÷ú2ëè3øè3øû即向量OP与向量OQ的夹角为p3，在图中，ÐPOQ=p3，又|z1|=12|z2|，设|z1|=r,|z2|=2r，在OPQ中，由余弦定理OPQ为直角三角形，四、典型习题导练1. 设复数z满足关系z+|z|=2+i，那么z等于（ ）A B C D

8、. 2.复数系方程(1+i)x2-(1-i)x-2-6i=0有实数根，则这个实数是_3. 实数m取何值时，复数的对应点位于第二象限4.已知f(z)=+z-z且f(-z)=10+3i,求复数z 是(1)纯虚数；(2)在复平面上5.设复数z满足z=5且(3+4i)z在复平面上对应的点在第二象限、四象限的角平分线上，2z-m=52(mÎR),求z和m的值§11.2 复数的运算一、知识导学1.复数加、减法的几何意义(1)加法的几何意义®®®复数z1+z2 是以oz1、oz2为两邻边的平行四边形对角线oz所对应的复数.(2)复数减法的几何意义复数z1-z

9、2是连接向量OZ1、OZ2的终点，并指向被减数的向量z1z2所对应的复数.2. 重要结论（1） 对复数z 、z1、z2和自然数m、n，有zm·z1n=zm+n，(z)=z3mnmnn，(z1·z2)=z1·z2 nn(2) i=i，i=-1，i=-i，i=1；i4n+124=1，i4n+2=-1，i1-i1+i4n+3=-i，i4n=1. (3) (1±i)=±2i，-1+23i2=-i，1+i1-i=i. (4)设w=，w2=v，w2=w，1+w+w2=0，w3n=w3n，w+wnn+1+wn+2=0二、疑难知识导析1.对于z×z=

10、z2=z，是复数运算与实数运算相互转化的主要依据，也是把复数2看作整体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐体会.2.在进行复数的运算时，不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论.当zÎC时，不总是成立的.(1)(zm)n=zmn(m,n为分数时不成立)；(2)zm=znÞm=n(z=1时不成立)；(3)z1+z2=0Ûz1=z2=0(z1,z2是虚数时不成立(4)z222)； =z(z为虚数时不成立2)； (5)z<aÛ-a<z<a(z为虚数时不成立三、经典例题导讲例1 满足条件z-2i+z+1=) 5的点的轨迹是

11、（ ）A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆错解：选A或B.错因：如果把z-2i看作动点Z到定点（0，2）的距离，由上式表示到两个定点（0，2）与（-1，0）的距离之和为常数5动点的轨迹符合椭圆的定义，但是，有一定的前提的就是两点间的距离小于定常数. 正解：Q点（0，2）与（-1，0）间的距离为5，动点在两定点（0，-2）与（-1，0）之间，选C评注：加强对概念的理解加深，认真审题.例2 求值：(1+i)×(1-i)错解：原式=(1-i)(6n6-n. 3n1+i1-i)n=(-2i)×i=8in+1当n=2时，原式=-8当n=3时，原式=8错因：上面的解答错在没有真正理解n

12、ÎZ的含义，只是用了三个特殊整数代替了所有整数，犯了用特殊代替一般的错误.另外还可以看出对虚数单位i的整数幂的运算不熟悉，没有掌握虚数单位i整数幂的运算结果的周期性.正解：原式=(1-i)6(=(-2i)3×in=8in+1 1+i1-i) n(n=4k+1),ì-8ï(n=4k+2),(k为非负整数)ï-8i=í 8（n=4k+3）,ïï8i(n=4k).î评注：虚数单位i整数幂的值具有以4为周期的特点，根据n求in时，必须按被4整除余数为0、1、2、3四种情况进行分类讨论.例3已知z=-21+3i，求

13、1+z+z2L+z2000的值.分析：结论是等比数列的求和问题，所以应联想到求和公式Sn=将条件代入求和公式，则显得较为麻烦，不妨先将条件化简. z=-21+3i2001a1(1-q)1-qn，若直接=-2(1-43i)=-12+32i=w原式=1-z1-z=1-w3*6671-w=1-11-w=0评注：由于数列中的数可以是复数，所以数列的诸性质在复数集中仍成立.例4已知复数w满足w-4=(3-2w)i根的实系数一元二次方程.解法一： Qw(1+2i)=4+3i,52-i，z=(i为虚数单位）5w+|w-2|，求一个以z为w=4+3i1+2i=2-i， z=+|-i|=3+i.若实系数一元二次

14、方程有虚根z=3+i，则必有共轭虚根=3-i. Qz+=6,z×=10， 所求的一个一元二次方程可以是x2-6x+10=0. 解法二：设w=a+bi(a、bÎR)a+bi-4=3i-2ai+2b，得 íìa-4=2b,îb=3-2a, íìa=2,îb=-1,w=2-i，以下解法同解法一.例5设z是虚数，w=z+1z是实数，且-1<w<2.求zz的实部的取值范围.解析 Qz是虚数 1z1x+yi 可设w=z+=(x+yi)+ =x+yi+x-yix+y22=(x+xx+y122)+(y-yx+y222)i Qw是实数，且y¹0, 1-x+y22=0,即x+y2=1 z=1, 此时w=2x由-1<w<2得-1<2x<2-12<x<1,即z的实部的范围是(-12,1)四、典型习题导练1非空集合G关于运算Å满足：（1）对任意a,bÎG，都有aÅbÎG；（2）存在eÎG，使得对一切a&#