圆-综合练习题.

1、圆 综合练习题一、与圆有关的中档题： 与圆有关的证明 （证切线为主） 和计算（线段长、面积、三角函数值、最值等）1.如图， BD 为O 的直径，AC 为弦， ABAC ， AD 交 BC 于 E，AE2， ED4（1）求证： ABE ADB ，并求 AB 的长；（ 2）延长 DB 到 F ，使 BFBO ，连接 FA ，判断直线FA 与 O 的位置关系，并说明理由.AFCEBOD2. 已知：如图，以等边三角形 ABC一边 AB为直径的 O与边 AC、 BC分别交于点 D、E，过点D作 ，垂足为CDF BCF（ 1）求证： DF为 O的切线；F（ 2）若等边三角形ABC的边长为4，求 DF的长；

2、DE（ 3）求图中阴影部分的面积AOB3、如图，已知圆O 的直径AB 垂直于弦 CD 于点 E ，连接 CO 并延长交AD 于点 F ，且CFAD （1）请证明：E 是 OB 的中点；（2）若 AB8，求 CD 的长4如图， AB是 O的直径，点C在 O上， BAC= 60，P 是 OB上一点，过P 作 AB的垂线与 AC的延长线交于点Q，连结 OC，过点 C作 CDOC 交 PQ于点 D（1）求证： CDQ是等腰三角形；（2）如果 CDQ COB，求 BP: PO的值5 已知 : 如图 , BD是半圆 O的直径 , A是 BD延长线上的一点，BC AE，交 AE的延长线于点C, 交半圆 O于

3、点 E，且 E 为 DF 的中点 .ECF（1）求证： AC是半圆 O的切线；（2）若 AD 6，AE 6 2 ，求 BC 的长ADOB6. 如图， ABC 内接于 O，过点 A 的直线交 O 于点 P ，交 BC 的延长线于点D ，且2AB =AP· AD（1）求证： ABAC ；A（2）如果 ABC60 ， O的半径为1，且 P为弧 AC的中点，P求 AD的长 .OBCD7如图，在 ABC中， C=90° , AD是 BAC的平分线， O是 AB上一点 ,以 OA为半径的O经过点 D.（ 1）求证： BC 是 O切线；（ 2）若 BD=5, DC=3, 求 AC的长 .

4、AOBDC8如图， AB是 O的直径， CD是 O的一条弦，且CDAB 于 E，连结 AC、OC、 BC.（ 1）求证： ACO=BCD；（ 2）若 BE=2，CD=8，求 AB 和 AC的长 .9如图，已知 BC 为 O 的直径， 点 A 、 F 在 O 上， ADBC ，垂足为 D ，BF 交 AD于E，且 AEBE （ 1）求证： ABAF ；3， AB4 5，求 AD 的长（ 2）如果 sin FBC510如图，已知直径与等边ABC 的高相等的圆O 分别与边 AB、 BC相切于点D、 E，边 AC过圆心 O与圆 O相交于点 F、G。A（1）求证： DE AC ；G（2）若 ABC 的边

5、长为 a，求ECG 的面积 .DOFBE C11如图，在ABC中， BCA=90 °，以 BC为直径的 O交 AB于点 P， Q是 AC的中点（ 1）请你判断直线PQ与 O的位置关系，并说明理由；（ 2）若 A30°， AP= 23 ，求 O半径的长 .BPOCQA12如图，已知点A是 O上一点，直线MN过点 A，点 B 是 MN上的另一点，点C是 OB的中点， AC1OB，P2若点 P 是 O 上的一个动点 , 且 OBAO30 , AB= 2 3 时，求 APCC的面积的最大值13如图，等腰 ABC中， AB=AC=13，BC=10，以 AC为直径作 O 交BC于点 D

6、，交 AB于点 G，过点 D 作 O 的切线交 AB于点 E，交 AC的延长线与点F.（ 1）求证： EF AB；（ 2）求 cos F 的值 .14（应用性问题）已知：如图，为了测量一种圆形零件的精度，在加工流水线上设计了用两块大小相同，且含有 30°的直角三角尺按图示的方式测量 .(1) 若 O分别与 AE、AF交于点 B、C，且 AB=AC,若 O与 AF相切 .求证 : O与 AE相切；(2) 在满足 (1) 的情况下， 当 、分别为 AE、AF的三分之一点时，且 AF=3，求 BC 的弧长 .MB N AAOGEBDCF第13题图OEFBCDAG二、圆与相似综合15已知：如

7、图，O的内接 ABC中， BAC=45°， ABC=15°， AD OC并交 BC的延长线于 D， OC交 AB 于 E.（ 1）求 D 的度数；（ 2）求证：AC2AD CE ；（ 3）求 BC 的值 .CD16如图， O的直径为AB ，过半径 OA 的中点 G 作弦 CEAB ，在 BC上取一点 D ，分别作直线 CD、 ED ，交直线 AB 于点 F、 M . 求 COA 和 FDM 的度数；求证： FDM COM ；如图，若将垂足 G 改取为半径 OB 上任意一点，点 D 改取在 EB上，仍作直线 CD、 ED ，分别交直线 AB 于点 F、 M .试判断：此时是否

8、仍有 FDM COM 成立？若成立请证明你的结论；若不成立，请说明理由。三、圆与三角函数综合17已知 O过点 D（ 4，3），点 H 与点 D 关于 y 轴对称，过 H 作 O的切线交 y 轴于点 A（如图 1）。求O 半径；求 sinHAO 的值；如图 2，设O 与 y 轴正半轴交点P，点 E、 F 是线H段 OP上的动点（与 P 点不重合），联结并延长 DE、DF交O于点 B、C，直线 BC交 y 轴于点 G，若DEF 是以 EF 为底的等腰三角形，试探索 sin CGO 的大小怎样变化？请说明理由。四、圆与二次函数（或坐标系）综合C18、如图，M的圆心在 x 轴上，与坐标轴交于 A（ 0

9、， 3 ）、B（ 1，0），抛物线 y3 x2bx c 经过 A、B 两点3（1）求抛物线的函数解析式；（2）设抛物线的顶点为P试判断点 P 与 M 的位置关系，并说明理由；（3）若 M与 y 轴的另一交点为D，则由线段 PA、线段 PD及弧 ABD围成的封闭图形PABD的面积是多少？图 1图 2yAD(4,3)Ox图 1yGBPED(4,3)FOx图 219如图，在平面直角坐标系中，O 是原点，以点C（ 1， 1）为圆心， 2 为半径作圆，交x轴于 A， B 两点，开口向下的抛物线经过点 A， B，且其顶点 P 在 C 上（ 1）求 ACB的大小；（ 2）写出 A，B两点的坐标；（ 3）试确

10、定此抛物线的解析式；（ 4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段 OP与 CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由20（以圆为幌子， 二次函数为主的代几综合题）如图，半径为 1 的 O1 与x 轴交于A、 B 两点，圆心O1 的坐标为(2 ，0) ，二次函数yx2bxc的图象经过A 、 B 两点，其顶点为F y2（1）求 b， c 的值及二次函数顶点F 的坐标；1-2-1 OAO 1B 45x（2）将二次函数 yx2bxc 的图象先向下平移1 个单位，-1再向左平移2 个单位，设平移后图象的顶点为C ，在经过点B-2-3和点D 0, 3的直线 l 上是否存在一点P ，使PAC

11、的周长最小，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 .五、以圆为背景的探究性问题21下图中 , 图 (1)是一个扇形 OAB，将其作如下划分：第一次划分：如图 (2)所示，以 OA的一半 OA 的长为半径画弧交OA于点 A ，交 OB于11点 B1，再作 AOB的平分线，交 AB 于点 C，交 A1B1于点 C1， 得到扇形的总数为6 个，分别为： 扇形 OAB、扇形 OAC、扇形 OCB、扇形 OAB 、扇形 OAC、扇形 OCB ；111111第二次划分：如图 (3)所示，在扇形 OC1B1中， 按上述划分方式继续划分，即以 OC1的一半 OA 的长为半径画弧交OC于点 A ，交

12、OB于点 B ，再作 B1OC的平分线，交B1C1 于212121点 D ，交 A2B2于点 D，可以得到扇形的总数为11 个；12第三次划分：如图 (4) 所示，按上述划分方式继续划分； 依次划分下去.(1) 根据题意 , 完成右边的表格；(2) 根据右边的表格 , 请你判断按上述划分方式 , 能否得到扇形的总数为 2008 个 ? 为什么 ?(3) 若图 (1) 中的扇形的圆心角AOB=m°，且扇形的半径OA的长为 R我们把图 (2) 第一次划分的图形中，扇形OAC （或扇形11OC B ）称为第一次划分的最小扇形，其面积记为11S1；把图 (3)第二次划分的最小扇形面积记为S2

13、； ， 把第n 次划分的最小扇形面积记为 Sn. . 求 Sn 的值 .Sn 122圆心角定理是 “圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”，记作AOBAB（如图）；圆心角定理也可以叙述成 “圆心角度数等与它所对的弧及圆心角的对顶角所对的弧的和的一半”，记作AOB1 ( AB CD ) （如图）请回答下列问题：2（ 1）如图，猜测APB与 AB、CD有怎样的等量关系 , 并说明理由；（ 2）如图，猜测APB与 AB、CD有怎样的等量关系 , 并说明理由 .（提示：“两条平行弦所夹的弧相等”可当定理用）PDCCC DDPOOOBAA图BAB图图23已知：半径为R的 O 经过半径为 r 的 O圆心，

14、O与 O交于 M、N 两点1）如图1OOCC作OA BOAOB（，连接 O 交于点，过点的切线交 O 于点 、 ，求的值；（ 2）若点 C 为 O上一动点 .当点 C 运动到 O 内时，如图2，过点 C作 O的切线交 O 于 A、B 两点请你探索 OA OB 的值与（ 1）中的结论相比较有无变化？并说明你的理由；当点运动到 O 外时，过点 C 作 O的切线，若能交O 于 A、B 两点请你在图 3中画出符合题意的图形，并探索OA OB 的值（只写出 OA OB 的值，不必证明） 北京市丰台区 2015-2016 学年度第一学期初三数学第 24 章 圆 综合练习题一、与圆有关的中档题： 与圆有关的

15、证明 （证切线为主） 和计算（线段长、面积、三角函数值、最值等）1. 如图， BD 为 O的直径， AC 为弦， AB AC ， AD （1）求证： ABE ADB ，并求 AB 的长；（2）延长 DB 到 F ，使 BFBO ，连接 FA ，判断直线由.交BC于E，AE2，ED 4FA 与 O的位置关系，并说明理AFCEBOD1解：ABAC ， ABC C . C D ， ABC D 又 BAE DAB ， ABE ADB A BA EAFA DA BCAB2AD AEAE EDAE2 4212EBOAB2 3 （舍负）D（2）直线 FA 与O 相切连接 OA BD 为O 的直径， BAD9

16、0在 Rt ABD 中，由勾股定理，得BDAB2AD212 2424 3 48BF1BD1323 BO422AB2 3 ，BFBOAB （或BFBOABOA ，AOB 是等边三角形，FBAF OBAOAB60 ，FBAF30 ）OAF90 OA AF 又点 A在圆上，直线 FA 与O 相切2.已知：如图，以等边三角形ABC一边 AB为直径的 O与边 AC、 BC分别交于点D、E，过点 D作 DF BC，垂足为 F（ 1）求证： DF为 O的切线；（ 2）若等边三角形 ABC的边长为 4，求 DF的长；（ 3）求图中阴影部分的面积CFDEABO2（ 1）证明：连接 DO. ABC 是等边三角形，

17、 C=60°， A=60°，=， OAD是等边三角形 . =60 °.OA ODADOBC，=30 °.DFCDF FDO=180° - ADO- CDF= 90 ° . DF为 O的切线 .（ 2）OAD 是等边三角形， CD=AD=AO= 1 AB=2.2RtCDF 中， CDF=30 °， CF= 1 CD=1. DF=CD 2CF 23 .2（ 3）连接 OE，由（ 2）同理可知 E为 CB中点， CE2 . CF1， EF1.C S1(EF OD) DF3 3 FDE直角梯形 FDOE2260222AOB S扇形

18、DOE3603 S直角梯形 FDOES扇形 DOE332233、如图，已知圆O 的直径 AB 垂直于弦 CD 于点 E ，连接 CO 并延长交 AD 于点 F ，且CF AD（1）请证明： E 是 OB 的中点；（2）若 AB8，求 CD 的长3、（ 1）证明：连接AC ，如图CFAD ， AECD 且CF，AE 过圆心 OACAD ， ACCD ， ACD 是等边三角形FCD30在 Rt COE 中， OE1 OC ， OE 1 OB 点 E 为 OB 的中点22（2）解：在 RtOCE 中AB8，OC1 AB 42又BEOE，OE2CEOC2OE216423CD2CE434如图， AB是

19、O的直径，点C在 O上， BAC= 60，P 是 OB上一点，过P 作 AB的垂线与 AC的延长线交于点Q，连结 OC，过点 C作 CDOC 交 PQ于点 D（1）求证： CDQ是等腰三角形；（2）如果 CDQ COB，求 BP: PO的值4 （ 1）证明：由已知得ACB=90°， ABC=30°， Q=30°， BCO= ABC=30° . CDOC， DCQ= BCO=30°， DCQ= Q， CDQ是等腰三角形 .（2）解：设O的半径为1，则=2，=1， =11， BC=3.ABOCACAB2等腰三角形 CDQ与等腰三角形COB全等， C

20、Q=BC=3 .=+=1+3 ，= 1AQ13AQ AC CQAP，22 BP=AB AP= 213 33PO=AP AO= 1313 1 ，2222 BPPO=3 .5 已知 : 如图 , BD是半圆 O的直径 , A是 BD延长线上的一点，BC AE，交 AE的延长线于点,交半圆 O于点EDF的中点.CEC，且 E为F（1）求证： AC是半圆 O的切线；ADOB（2）若 AD6， AE6 2，求 BC 的长5. 解：（ 1）连接 OE, E 为DF 的中点， DEEF OBECBE . OEOB ，OEBOBE . OEBCBE. OE BC. BCAC， C=90° . AEO

21、= C=90° . 即 OE AC.又 OE为半圆 O的半径， AC是半圆 O的切线 .（2）设O 的半径为 x ， OE AC ， ( x 6)2(6 2)2x2 . x3 . ABAD ODOB 12.OE BC， AOE ABC . AOOE .即 93BC 4.ABBC12BC6. 如图， ABC 内接于 O，过点 A 的直线交O 于点 P ，交 BC 的延长线于点D ，且2AB =AP· AD（ 1）求证：（ 2）如果求 AD的长 .ABAC ；ABC60 ， O 的半径为 1，且 P 为弧 AC的中点，APOBCD6. 解：（ 1）证明：联结BPABADA2P

22、AB=AP·AD ，=APAB BAD=PAB， ABD APB，O ABC=APB， ACB=APB，BDC ABC=ACB AB=AC.（ 2）由（ 1）知 AB=AC ABC=60°， ABC 是等边三角形 BAC=60°，1ABC=30°， P 为弧 AC的中点， AB P= PAC=21 BAP=90°，BP是 O的直径， BP=2， AP=2 BP=1，在 RtPAB中，由勾股定理得222AB2AB= BPAP=3， AD= =3 AP7如图，在 ABC中， C=90° , AD是 BAC的平分线， O是 AB上一点 ,

23、以 OA为半径的 O经过点 D.（ 1）求证：BC 是 O切线；A（ 2）若 BD=5,DC=3,求 AC的长 .OBDC7. （ 1）证明 : 如图 1，连接 OD. OA=OD, AD平分 BAC, ODA= OAD, OAD=CAD. ODA=CAD. OD/ AC.AO ODB=C=90 .BDC BC是 O的切线 .图 1（2）解法一 :如图 2，过 D作 DE AB于 E. AED= C=90 .A又= , =,AD ADEADCADO AED ACD.E AE=AC, DE=DC=3.在 Rt BED中， BED=90, 由勾股定理，得BDCBE= BD 2DE 24 .图 2设

24、 AC=x（ x>0）,则 AE=x.在 Rt ABC中， C=90 ,BC=BD+DC=8, AB=x+4, 由勾股定理，得222x+8 = ( x+4) .解得 x=6.即 AC=6.解法二 :如图 3，延长 AC到 E，使得 AE=AB.A AD=AD, EAD= BAD, AED ABD.O ED=BD=5.在 Rt DCE中， DCE=90,由勾股定理，得BDCCE=DE 2DC 24 .5 分图 3在 Rt ABC中， ACB=90,BC=BD+DC=8, 由勾股定理，得222EAC +BC= AB .即222. 解得=6.AC+8 =(+4)ACAC8如图， AB是 O的直

25、径， CD是 O的一条弦，且CDAB 于 E，连结 AC、OC、 BC.（ 1）求证： ACO=BCD；（ 2）若 BE=2，CD=8，求 AB 和 AC的长 .8、证明：（1）连结 BD， AB是 O的直径， CDAB， A=2又 OA=OC， 1=A 2即： ACO=BCD解：（ 2）由（ 1）问可知， A=2， AEC=CE B. ACE CBECEAE2BECE. CE=BE·AE又 CD=8， CE=DE=4 AE=8 AB=10AC=AE2CE2804 5.9如图，已知 BC 为 O 的直径， 点 A 、 F 在 O 上， ADBC ，垂足为 D ，BF 交 AD于E，且

26、 AEBE （ 1）求证： ABAF ；3， AB4 5，求 AD 的长（ 2）如果 sin FBC59解：（ 1）延长 AD与 O交于点 G 直径 BC弦 AG于点 D， AB=GB AFB= BAE AE=BE， ABE= BAE ABE= AFB AB=AF（ 2）在 Rt EDB中， sin FBC= ED3 BE5设 ED=3x， BE=5x，则 AE=5x， AD=8x，在 Rt EDB中，由勾股定理得 BD=4x222在 Rt ADB中，由勾股定理得 BD+AD=AB AB=4 5 ， ( 4x) 2(8x) 2(4 5)2x=1（负舍）=8 =8AD x10如图，已知直径与等边

27、ABC 的高相等的圆O 分别与边 AB、 BC相切于点 D、 E，边 AC过圆心 O与圆 O相交于点 F、G。A求证： DE AC ；（3）G（4）若 ABC 的边长为 a，求ECG 的面积 .DOFABC 是等边三角形 ,BE C10. (1)B60, A 60,AB、BC是圆 O的切线， D、E 是切点，BD=BE.ABDE60 , A 60 , 有 DE/AC.GDOHBFE C(2) 分别连结 OD、 OE, 作 EH AC于点 H.AB、BC是圆 O的切线， D、E是切点， O是圆心，ADOOEC90 ，OD=OE， AD=EC.ADOCEO ,1有 AO=OC a .2圆 O的直径

28、等于ABC 的高 , 得半径 OG=3 a ,13 a .CG=OC+OG a +424EHOC,C60 ,COE30 , EH=3 a .8S ECG1CG EH= 1(3 a + 1 a ) ·3 a ,22428S ECG3 a23 a2 = 323 a2 .64326411如图，在 ABC中， BCA=90 °，以 BC为直径的 O交 AB于点 P， Q是 AC的中点（ 1）请你判断直线 PQ与 O的位置关系，并说明理由；（ 2）若 A30°， AP= 23 ，求 O半径的长 .BPOCQA11、解：（ 1）直线 PQ与 O相切 .连结 OP、 CP. B

29、C是 O的直径， BPC 90° .又 Q是 AC的中点，PQ=CQ=AQ . 3 4. BCA=90 °，2+ 4=90° . 1 2， 1+ 3=90°.即 OPQ=90° . 直线 PQ与 O相切 .（ 2） A30°， AP= 2 3 ， 在 Rt APC中，可求 AC=4. 在 Rt ABC中，可求 BC= 4 3 .3 BO=23 . O半径的长为 23 .3312如图，已知点 A是 O上一点，直线 MN过点 A，点 B 是 MN上的另一点，点C是 OB的中点， AC1OB，2若点P是O上的一个动点 , 且OBA30,=3

30、时，求的面积的最大值AB 2APCPOC12、解 : 连结 OA.由 是的中点 ,且AC1OB,可证得 =90°.COB2OAB则 =60°. 可求得2.OOA=AC=过点 O作 OE AC于 E，且延长 EO交圆于点 F则 P(F)E 是 PAC的 AC边上的最大的高 .在 OAE中 , OA=2, AOE=30° ,M B N A解得OE3 .所以PE2 3.故S PAC1 ACPE12 (23) .22即S PAC23 .13如图，等腰 ABC中， AB=AC=13， BC=10，以 AC为直径作 G，过点 D作 O 的切线交 AB于点 E，交 AC的延长线

31、与点 F.（ 1）求证： EF AB；（ 2）求 cos F 的值 .13. 证明：（ 1）联结 OD OC=OD ODC= OCD又 AB=AC OCD= B ODC= B ODAB ED是 O 的切线， OD是 O 的半径 ODEF ABEF（ 2）联结 AD、CG AD是 O 的直径 ADC= AGC=90° ABEF DECG F= GCAO 交 BC于点 D，交 AB于点AOGEACBD第13题图FOGEBDC第13 题图FAOGEBDCF= 1=5AB ACDCBC2t中，ADAC2CD212RADC AD BC=AB CG CG= AD BC120AB13Rt CGA中

32、， cos GCA= GC120os = 120AC169cF16914（应用性问题）已知：如图，为了测量一种圆形零件的精度，在加工流水线上设计了用两块大小相同，且含有 30°的直角三角尺按图示的方式测量 .(1) 若 O分别与 AE、 AF交于点 B、C，且 AB=AC,若 O与 AF相切 .求证 : O与 AE相切；(2) 在满足 (1) 的情况下， 当 、分别为 AE、AF的三分之一点时，且 AF=3，求 BC 的弧长 .14. 解 : （ 1）证明：连结 OB、OA、 OC. 根据题意 , OCA=90°.在 ABO与 ACO中 ,AB=AC, OA=OA,OB=O

33、C,所以 ABO ACO.所以 OCA=OBA=90°.则 AE是圆的切线 .(2)因 OCA= OBA=90°,且 EAD= FAG=30°,则 BAC=120°.又1OC3.ACAF 1,=60°,故3OAC所以BC 的长为3.3OEFBCDAG二、圆与相似综合15已知：如图，O的内接 ABC中， BAC=45°， ABC=15°， AD OC并交 BC的延长线于 D，OC交 AB于 E.（ 1）求 D的度数；（ 2）求证： AC2AD CE；（3）求 BC 的值 .CD15（ 1）解：如图 3，连结.OB O的内接 A

34、BC中， BAC=45°， BOC=2BAC =90°. OB=OC， OBC = OCB =45° .O AD OC ， D =OCB=45° .AE（ 2）证明： BAC=45°，45°，D =CDB BAC=D . AD OC ， ACE = DAC .图 3 ACE DAC AC CE AC2 AD CEDA AC（ 3）解法一：如图 4，延长 BO交 DA的延长线于 F，连结 OA . AD OC， F= BOC=90° . ABC=15 °， OBA = OBC ABC=30 ° . OA=O

35、B， FOA= OBA OAB=60 °， OAF=30 ° . OF1OA.2 AD OC， BOC BFD FOAEBCD图 4 BCBO BCBOOA2 ，即BC 的值为 2.BDBFCDOFOFCD解法二： 作 OM BA于 M，设 O的半径为 r ，可得 BM= 3r ，OM= r ， MOE30 ，22ME OM tan303 r ， BE=23 r ， AE=3 r，所以 BCBE2 .633CDEA16如图， O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CEAB，在上取一点D，CB分别作直线 CD、 ED ，交直线 AB 于点 F、 M .求 COA 和 FDM 的度数；求证： FDM COM ；如图，若将垂足G 改取为半径