可化为一元二次方程的分式方程

1、学习必备欢迎下载sxc3dja0005.doc数学初三文件科目年级漳节关键词一元二次方程/分式方程 标题可化为一元二次方程的分式方程内容 教学目标（一）使学生理解把分式方程转化为整式方程是解方程的一个原则；（二）使学生会解可化为一元二次方程的分式方程；（三）使学生理解在方程两边乘以整式有可能增根，从而知道验根是解分式方程的必要步 骤；（四）使学生进一步掌握换元法的技巧 .教学重点和难点重点：会解可化为一元二次方程的分式方程，知道解分式方程必须验根.难点：理解方程的同解原理，会运用换元思想方法等计算技巧.教学过程设计（一）复习前一阶段，我们对于一元二次方程已作了较完整的研究：研究了一元二次方程的

2、各 种解法、一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的根与系数关系以及归结为列出一元二 次方程的应用题.今后三课进我们要研究可化为一元二次方程的分式方程的解法与有关的应用题.我们在初中代数第二册第九章已经学过了可化为一元一次方程的分式方程.所以今后的三课时，只是在方程形式上不同，解法与算理是和初二代数里的分式方程一样的 请全就冋学解下列分式方程号空-豈=七.一；T 芒 J _ 1解：方程两边都乘以x（x-1）,去分母得（x+5）-3（x-1）=6x,x=1.把x=1代入x（-1）,它等于零，所以x=1是原方程的增根，原方程无解 另解：把方程的各个分式都移到等号左边，并化简j(j - 1) J -

3、r ' 1'J+5-3(h 1) 6nCr-1)7T ( X - 1 )叫0x-1是方程的分母的因式，必须x-1工0,所以分子、分母约去x-1,得工 ,因为二工厲分子不为零，所以工，即原方程无解.请同学回答以下问题：1. 什么是分式方程？2. 解分式方程的一般方法与步骤是什么？3. 为什么解分式方程必须验根 ？应当怎样验根？(分母里含有未知数的方程叫做分式方程，解分式方程的一般方法是去分母化分式方程为整式方程.解分式方程有三步：第一步：去分母，化分式方程为整式方程.第二步：解整式方程.第三步：验根.把整式方程的根中不适合分式方程的舍去.验根的方法是把变形后求得的形式方程的根代入

4、去分母时所乘的整式，如果使这个整式等于0，就是增根)去分母的关键是找出各分母的最简公分母.由于去分母过程是在方程两边乘以含未知数的整式(最简公分母)，当此乘式为零时，就破坏了方程的同解原理，因此从第二步解出的整 式方程的根就不一定是原分式方程的根，所以必须验根.(二) 新课例1解分式方程:七+化+严=1 一J十£ 工一4 2-工解舟把第三个分式的分母2-X变形为工-2、得14工2_ 二h+2(+ 2) C 文一2)工一2方程两边都乘以(x+2)(x-2),约去分母，得x-2+4x-2(x+2)=(x+2)(x-2)，整理后，得x一-4- 1 亠=门+ 1 )(2x 3)(2J -3)

5、(2jr - 1)(2j; + 1)(2t - 1)"方程两边都乘以最简公分母(2x+1)(2x-1)(2x-3), 整理，得 4x 2-14x+12=0,2x 2-7x+6=0,x i=2,x 2= 2-3x+2=0,解这个方程，得 xi=1,x 2=2.0，所以x=1是原方程的根；把 x=2代入最简检验：把x=1化入最简公分母，它不等于公分母，它等于0，所以x=2是增根.例£解分式方程：口 _.4工2 - 4 J E 34工* - 8j; + 31 - 4才解：把各个分母分解因式，并求出最简公分母2得 2(2x-1)-(2x+1)+(2x-5)(2x-3)=0,把x=2

6、代入最简公分母，所得的值不为零；把3x=-代入最简公分母，所得的值为零，所2因此原方程的根是x=1.3以x=是增根.2答：原方程的根是 x=2.例3解分式方2工2 + 16(工 + 1) _ 7(x+1)(x2+1),所得到的+1 宀1 J分析：(1)这个分式方程如果用去分母法解，方程两边要同乘以将是一个难题的四次方程.所以，要考虑别的解法.宀1(2) 观察方程的特点，可见含未知数的两部分式子严吟则青吕=丄约+ 7"(3) 由于具有倒数关系，如果设! 工+1 y,原方程就可变形为y，此方程去分母可化为一元二次方程2x2-7y+6=0.从中解出y，再解出x.因此，原分式方程可用换元法来

7、解.2解:设十讦=和那么吩+ = 土于是原方程变形为2丫十盘=7.工+1 yy方程的两边都乘以y,约去分母，得2y2-7y+6=0.解这个方程，得yi =占卅=y 当厂2时,三计=2,去分母，整理得工広-加-1二Cb 所lil x = 2±厂=1± /I当 y-1时t:; = "1，去分母,整理得 2j-3x -1 = 0* 所以工=3 士厂.护-1 += 3 土一检验：把忙工=1 - J K =4 :分别原方程的分母，各分母都不等于0,所以它们3- 717 冲=4.它的基本思想都是原方程的根.鉄原方程的根是x, = l + /I,X£=l- /I, b

8、 ； i，换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的方程的特殊方法 是用换元的方法把某些式子的形式简化，从而把原方程的形式简化.例4解分式方程:(2x - + 12工= - 5.分析先别忙着把(2工-r展开.把等号右边各式都移到等号左边，得(加-7尸+ 工迅12x-+5 = 0,可变形为(2-)' + 6C2x-) + 5 = 0,J工工换元;设2才-占=卅方程可化为+ 6工+岭二0.所以$1= 11*2= - 5.(1)由 2工= - 1,得 2工盼 K - 3 = 0,得 j：i= - y,x3 = 1.Xw由2工-3 = - 5得2/ + 5工一 3 = 0,得帀=一 3宀

9、=寺3 1 经过检验，这四个根都适合.所以原分式方程的解是22丄十丄+ 2例5解关于x的方程：4»芒解：方程两边都乘以最简公分母abx(a+b+c)去分母，得bx(a+b+x)+ax(a+b+x)+ab(a+b+x)=abx.整理得 (a+b)x2+(a+b)2x+ab(a+b)=0.(1) 当 a+bM 0 时，x2+(a+b)x+ab=0,x1=-a,x2=-b.(2) 当a+b=0时，方程中的xM 0.(否则a+b+x=0,使原方程等号右边的分式母为零)经检验可知，当 a+bM 0时，原方程的解是 X仁-a,x2=-b;当a+b=O时，原方程的解是 切非零实数.左边*+ +计二

10、宁计说明：当a+b=0时，检验的方法是 x=t(t工0)，代入原方程t t右边= rrh7= r所以边=右边土卫十2=霁的根的亍数是(解字母系数的方程应注意对字母的取值予以讨论方程一(A) 0分析：说，分式方程不计次数，应算一个根个 (B) 1 个(C)2 个(D)无数多个2 2去分母，得 4+2(x+3) =(x-1)(x+3), 整理得 x+10x+25=0,得 Xi=X2=-5.对朱方程业 .所以选(B).例7判断下面的解分式方程过程是否正确解方程解：方程两边通分，得因为分子相等，所以宀 a s.解得"号分析：上面的解法错误地认为：“相等的两个分式，如果分子相等，则分母必相等”

11、事实上，3 - 5时分子相等，但分母 3与5并不相等.正确的解法是：两边通分碍=乙5工 ”X - 7j- + 12 .r - 3乂 + 2公分母，得(5-.OCr-3.7- +2) = t5-j)(.t-7x+12). 移顶，得(5-.丁)匕2-£丫 十2) -5-7工 +=0, 提联公因式，得(5-)：忑-3才斗2-才2 + 7才一12) = 0.(5-.r)(4.r - 10) =0. 所以工严5七諾.经检验心= 7都是原方程的根.靳原方程的根是,=5,心二_|.肌解分式方程：mt二十盘二r分析：若用最简公分母(X 2+11x-8)(x 2+2x-8)(x 2-13x-8)乘方程

12、两边，得(x2+2x-8)(x 2-2 2 2 213x-8)+(x +11x-8)(x-13x-8)+(x+11x-8)(x +2x-8)=0.式中每项的两个括号之积都是 4次式，运算起来很复杂.我们发现每个括号里都含用 X2-8,如果令y=x2-8,即把2次式降为1次式，于是式中每项的两个括号之积都降为2次式，可使运算简便些.解令y=x2-8，则原方程转化为】 +一斗1=0v + llT y + 2jc 3?-13J去分母，得(y+2x)(y-13x)+(y+11x)(y-13x)+(y+11x)(y+2x)=0._ 2 2去括号，整理得 y -49x =0,(y+7x)(y-7x)=0.

13、 所以 yi=-7x,y 2=7x.(1) 当 yi=-7x 时，得 x2-8=-7x.即 x 2+7x-8=0,x i=-8,x 2=1；2 2(2) 当 y2=7x 时，得 x -8=7x.即 x -7x-8=0.x 3=8,x 4=-1.经过检验，可知这四个根都是适合原方程.答：原方程的根是 xi=-8,x 2=1,x 3=8,x 4=-1.(三) 课堂练习解方程2十吉之3 +丄）.iria須才如土= （ f +丄尸肛丄（+丄人设工+丄=恥则原方程化为y-3y = y. '工工工工rPfvz 护-g$ = 0, yO - 3）（$ + g） = A当J + 0,得丄+1 = 0此

14、方程尢解：工/-刍工十丄=N得丁2 3工+ 1匚0*丄二3#至；当工+丄=一3,掙工£卡3空+ 1 = 0, jr -水2'誥过验粮,_r =吐#瓦与疋=' 5都是原分式方程的根-（四）小结在初中代数第二册第九章分式中，我们已学过用去分母法解可化为一元一次方程的分式方程.与此相仿，我们也可以用去分母法解可化为一元二次方程的分式方程.解题步骤有三步第一步：去分母；第二步：解所得的整式方程； 第三步：验根.注意不解题关键是找到各分母的最简公分母.在去分母时，要用最简公分母乘方程两边， 要漏掉右边.验根的方法有两种：一是把求得的根代入原方程的分母，使分母为零的值是增根，应舍

15、 去；二是代入所乘的最简公分母，使最简公分母的值为零的值是增根，应舍去.（五）作业1. 解下列方程：门工+ 1_ _ - 2- 3 J - 3口7 J - 2 3工2-何X - 512 - JT - 17,T + 606工2. 用换元法解下列方程:笔冲+冶"3. 解下列关于x的方程:(1) j+一 = f + ；Xc3 bl a - y£ +十1二 “24. 解方程.H + .r作业的答案或提示=£1 + !- 1込笃二(GET = 1C增根） J - -3, jg = -|-2. (1) 3'! = - P J2 - y； (2)(4) X1 =2. J2 = 9.+ 2j;锂3亠3*云-1，得阳=厂】.由力=工1二-= 7曲旳=1,碍工=-*.(1) JT = -4, J = 1(舍去，增銀);3. （1）工=门工2 =丄；C工严号，乜二导星4. 学丈-"恥原亦捱为b +次-2丸小八2皿"-由加=-2