导数中繁分式化简问题

1、最新高中数学导数培优拔高专题(附经典解析)导数中繁分式化简问题【探究拓展】 探究1:函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐 标为 ak+1 ,k 为正整数，ai=16，贝U ai+a3+a5=2ak(x ak),当y 0时，解得x号,解析考查函数的切线方程、数列的通项 在点(ak,ak2)处的切线方程为：y a/所以 ak 1 ,316 4 1 212x轴的交点的横坐变式1：设曲线y xn1(n N*)在点(1, 1 )处的切线与标为Xn ,则log 2012 x1log 2012 x2L log 2012 x2011 的值为-1变式2：在平面直角坐标系

2、xOy中，已知点P是函数f(x)ex(x 0)的图象上的动点，该图象在 P处的切线I交y轴于点M，过点P作I的垂线交y轴于点N，设线段 MN的中点的纵坐标为 t，则的最大值是【解析】设 P(X0,ex0),则 I :y ex0ex0(x x。)，M (0,(1过点P作I的垂线,x0y e0ex0(x x。)，N(0,exot 如 X0)ex01t 2® e x0)(1 xO ,1 1x 1,tmax -(e -).2 e变式3: (2020年)x0e x0),e* 心ex0 1X0(ex0 ex0)所以，t在(0,1)上单调增，在(1,)单调减，*max设点P是曲线y= x2上的一个

3、动点，曲线 y= x2在点P处的切线为I，过点P且与直线I垂直的直线与曲线 y= x2的另一交点为 Q,贝y PQ的最小值变式4:已知曲线动点P，C : f(X)x + -(a 0)，直线I : y X，在曲线C上有一个 x过点P分别作直线l和y轴的垂线，垂足分别为 A,B.再过点P作曲线C的切线，分别与直线1和y轴相交于点M，N，0是坐标原点若"BP的面积为，则OMN的面积探究2:设函数f(x)2ax In x (a 2)x,(a R)(1)当a 0时，求函数f(x)的单调区间;(2)若存在x 0, f(x) 0,求实数a的取值范围对于第二问的研究：可直接参数分离1 2E2x ln

4、x(2 -)(xx) (Inx2x)(2x1)得：a g(x),所以g (x) x22而后对分子x x(x x)提取公因式;变式1：已知函数f(x) a In X ax 3(a R, a 0)(1)求函数f(x)的单调区间; 若函数yf(x)的图像在点(2, f(2)处的切线的斜率为1,且对于任意的t 1,2，函数 g(x) x3 x22【m f (x)在区间t,3上总存在极值，求实数 m的取值范围；(3)当a 2时，设函数h(x) (p 2)x P 2e 3，若在区间1,e上至少存x在一个xo,使得h(Xo) f(Xo)成立，求实数p的取值范围.在第2问的解决中：注重对含参曲直线问题的定的特

5、征的分析，导函数图象过定点0,-2，且开口向上，充要条件为g(3)0，根据下一个不等式解得的参数的取值范围易得g (t)max g (2)(3)问：分子负项较多，可猜想恒为负值变式2：设a 0,b3,函数f(x) (x2ax b)e3x，g(x) (a225)ex，且 x 3是函数f(x)的一个极值点.(1)求a,b间满足的等式;(2)证明：对任意的实数x 0,4，f(x) g(x)；(3)若存在X1，X20,4，使f(Xi) g(x2)| 1成立，求实数a的取值范围.提醒注意的一个非定向问题:探究3：设函数f(x) ex 12x ax(1)当a 0时，求函数f(x)的单调区间;(2)当x 0

6、时，f(x) 0，求实数a的取值范围.变式1 :设函数f(x)axxb c(a 0)的图像在点1, f(1)处的切线方程为用a表示出 b, c ；若 f (x) In x 在 1,上恒成立，求a的取值范围.变式成立，则实数a的取值范围为 变式3:若 a1x< sinxw a2x对任意的x 0, n都成立，则a2印的最小值为a2 a1拓展1：设函数f X 1 ex(1)证明：当x>-1时,设当x 0时x axX .x 1，,求a的取值范围.拓展2： f(x)设函数 f(x)2:设函数 f(x)= (x+ 1)ln(x + 1),若对所有的 x>0,都有 f(x)>ax证明

7、：f(X)2 ；若对所有x 0都有f(x)ax，求a的取值范围.拓展3:设函数f(x)2 COSX如果对任何x > 0，都有f(x) < ax，求a的取值范围.求f(x)的单调区间；拓展4：设f(X) ax ln x(a R)是定义在区间0,e上的函数，其导函数为f(X2)f (x)，且存在实数 X1, X20,e， X1 X2,满足 f(X1)(1)证明：f(x) 0 ；(2)设 X0Xi(1 )x2,01,f(X0)0,求实数的取值范围.参数分离可行，但中间需要对分子进行因式分解(平方差公式的应用)最后借助洛必达法则完成洛必达法则简介:法则1若函数f X和g X满足下列条件：l

8、im f XX a及 lim g X 0 :X a在点a的去心邻域内，X与g X可导且g科 fZ/f Xf X那么 lim=lim l。x a g X x a g X法则2若函数f X和g X满足下列条件:(1) lim f XX及 lim g X 0 ；X那么(2) A 0， f X 和 g X 在 ,A 与 A, liml，x g Xf Xf Xlim= lim l。x g X x g X法则3若函数f X和g X满足下列条件:在点a的去心邻域内，上可导，且(1) lim f XX a可导且g' X及 |Xmag X最新高中数学导数培优拔高专题（附经典解析）那么 limLA=lim= l。X a g X x a g x在解题中应利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，注意:将上面公式中的 则也成立。x a,x换成x ,x ,x洛必达法则可处理00 ， 1 ， 0 ,00 ,型。0在着手求极限以前，首先要检查是否满足 000,型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条应从另外途件时，就不能用洛必达法则， 这时称洛必达法则不适用，径求极限。 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。洛必达法则一般和分离参数法联用