基本不等式练习

1、全国名校高考数学复习优质专题、课时训练（附详解）第46练基本不等式训练目标（1）熟练掌握基本不等式及应用方法；（2）会用基本不等式解 决最值问题；（3）能将基本不等式与函数、数列、三角函数 等知识结合，解决综合问题.训练题型（1）比较两数（式）的大小；（2）求最大（小）值； 求代数式、 函数式值域；（4）求参数范围；（5）与其他知识交汇综合应用.解题策略（1）直接利用基本不等式（注意应用条件）；（2）将已知条件变 形，以“和”或“积”为定值为目标，构造基本不等式“模 型”（注意积累变形技巧，总结变形突破点）.、选择题1.（优质试题青岛模拟）设a, b R已知命题p： a2+ b2<2ab

2、；命 佃+ b） a2 + b2题q：2丿,则p是q成立的（）2<2A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.若正实数x, y满足x+y + X+ y = 5,则x + y的最大值是（）A.B. 3C.D. 53.（优质试题泰安模拟）若a, b R,且ab>0,则下列不等式中,8恒成立的是（）A. a+ b>2ab1 1 2By b/ObD. a2 + b2>2abb aC.y b，24.1当X>1时，不等式x+ xa恒成立，则实数a的取值范围是A.B. 2 ,+7C.3 ,+-)D. ( -3, 35.若 a>b>0

3、,则 a21+ b（b）的最小值为（A.C.B. 36.已知正项等比数列an满足a7= a6 + 2a5,右存在两项am, an使得1 14阖嘉=4a1，则m+ n的最小值为（）5B-5C.25D.不存在7.若直线 ax + by 1= 0( a>0, b>0)过曲线y = 1+sin n x(0< x<2)1 2的对称中心，则-+ b的最小值为（）aa/2 +1C. 3+ 2128 （优质试题郑州质检）已知a, b是两个互相垂直的单位向量，且D.6a c = b c =二1,则对任意的正实数A. 2B.C. 4D.二、填空题2罷4灵t ,|c + ta + -b|的最

4、小值是（）D. 51 29.已知x>0, y>0,且x+y= 1,则x + y的最小值是2 110.（优质试题长春调研）若两个正实数x, y满足x+ - = 1,且x +x y2y>m2 + 2m恒成立，则实数m的取值范围是311.函数y= 1 2x x( x<0)的最小值为x12.已知正实数x,y满足等式X + y + 8= xy,若对任意满足条件的x,2 y,不等式（X+y） a（x + y） +10恒成立，贝卩实数a的取值范围是答案精析1. B成立,2. C【当p成立的时候，q定成立，但当q成立的时候，P不一定 所以P是q的充分不必要条件.2因为Xy<

5、65;, X>0, y>0,所以丄>宀，也>半,、4'' Xy ? + y?' Xy x + y'442所以 X + y+ X + y< 5.设 x+ y=t ,即卩 t + -< 5,得到 t2 5t + 4W 0,解得1<t <4,所以X + y的最大值是4.十八baErba/ba»一3. C 因为 ab>0,所以 a>0, b>0，即a+ b2、/：£= 2(当且仅 当a= b时等号成立），所以选C.14. D 设 f(X)= X +，因为 x>1,所以 X 1&g

6、t;0,则 f(X)= X- 1X 1+ X 1 + 1/( X 1) X X 1 + 1= 3,所以 f(x)min = 3 ,因此要使不1等式X+ >a恒成立，则a<3,所以实数a的取值范围是（X I3，故选D.2 15. C 原式=(a b) + b2+ bcab【2辰二丽'+b1=4(a b)b+bab寸42 b)b Ma b) = 4(当且仅当a=2, b=¥时取等号).26. A Va7= a6+ 2a5,. asq =a5q+ 2a5,又 an是正项等比数列，二 as0,且 q>0,. q q 2=0, 二 q=2 或 q= 1（舍去）.又寸a

7、m- a=4a1, am - an= 16a2，n2= 16a?,又 a1 M 0 , it+ n2 = 4, it+ n= 6,14114m n= 6（m+ n）（m n）14m n=6（5+4m+m1/4m n 3> 6（5 + 2 A 4T' m = 2 当且仅当4m= m即m= 2, n=4时取等号.7. C 画出 y = 1 + sin n x（0<x<2）的图象（图略）,知此曲线的对称中心为（1,1）,则直线ax+ by 1 = 0过点（1,1）,所以a+ b= 1, 又 a>0, b>0,c1212所以a+ b=（a+ b）（ a+ b）=1

8、 + ° + + 2> 3+ 2応,a bb 2a当且仅当a=評取等号.1 2即(+ Jmin = 3 + 2(2.故选 C.a b8 B Va, b是互相垂直的单位向量, 设 a= (1,0) , b=(0,1) , c=(X, y).由 ac = bc = 1,得 x=y=1,即 c= (1,1), c + ta+ »(1,1) + (t, 0) + (0 , 1) =(1 +1, 1 + 1),2 1 2 (1 + t)2+ (1 + -) 2 + 2( t + f) + t 2 + fl,V t>0,. t +2, t2+2, 当且仅当t = 1时取等号

9、,1 |c + ta+ -b| “2 + 4 + 2 = 2迄,1故|c+ta+ fbl的最小值为212.9. 3+ 22解析 (丄+ 2)( X + y) = 1 + 2 + y+2X>3+ 2寸2.X 丫X y¥10. ( -4,2)4y X4y = X,即X y(2 1、4y X解析 x + 2y = (x + 2y)|- +-=2 + - + 2>8,当且仅当1 y丿X yx= 2y= 4时等号成立.由 x+ 2y>m + 2m恒成立，可知 m + 2n<8, m + 2m-8<0,解得4<n<2.11. 1 + /g解析/X<0,=1 + ( 2X)+ ( X)> 1 + 2、/( 2x)X =1+ 26,当且仅当X=26时取等号，故y的最小值为1+吋6.12. (X,罟解析 因为 x+y+ 8=xy<(X-|-y)2 * * * * * 8,65 所以实数a的取值范围为（一乂，百.82即 4(x + y) + 32<(x + y),解得X+ y