学而思春季素质123班难题汇总(共15讲)教案资料

1、6学而思 2013 年春季素质 123 班难题汇总第一讲勾股定理题型一：a1 2+b2=c2，小学阶段看到平方要想到：正方形面积、平方差公式题型二：毕达哥拉斯定理，毕达哥拉斯树。题型三：立体图形的勾股。题型四：折纸。两步解法：设一个未知数、利用平方差求解。题型五：圆中的勾股，寻找由弦的端点、弦的中点、圆心构成的直角11、【第二单元，折纸，补充题】将 B 点折到 AD 边上的 E 点,E 是五等分点，AE= 1,求三角形 BCF 的面积。【难度级别】【解题思路】此题充分体现了“设一个未知数、利用平方差求解”的良好解题思路。AE= 1, DE= 4, AD= 5, BC= 5, EC= 5。在直角

2、三角形 EDC 中, DE= 4, EC= 5,所以 DC= 3。设 FB= x，则在直角三角形 AEF 中，EF= x, AF= 3-x ,5x-(3 x)2= 1,应用平方差公式，3(2x-3) = 1, x =-31525三角形 BCF 的面积：x5x5=236,2 2 21+(3 x) =x,【答25612、【第三单元 3.天圆地方】在如下图的圆中，正方形 ABCD 勺边长为 8,圆心O 到 AB 的距离为 5,求正方形 EFGH 勺面积。X2+42= (8 x)2,利用平方差公式求解，(8 x)2-x2=42, 8(8-2x)=16 , x = 3【难度级别】【解题思路】看到圆，找弦

3、，找直角三角形。设 HG= 2x,圆的半径为 R。看弦 HG 找直角三角形 ONH HN= x, NO= 2x-5,X2+(2X5)2=R2。如果能求出R2就可以求出 x。再看弦 DC 找直角三角形 OMD OMk5+8= 13, DM =4,R2=132+42= 185。所以，X2+ (2X5)2= 185。到此，这个方程小学生不会解，可以尝试，也可以通过枚举进行筛选。113 的平方分别是：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169,从中找出 2 个相加=185 的，有:16+169 64+121。对于 16+169, x = 4, 2x-5 =3 不满足

4、，对于 64+121, x = 8, 2x-5 = 11 满足。 因此，x = &正方形 EFG 啲面积：(2x)2=162= 256。【答案】256。13、【学案 3】下图是一个长为 16,宽为 10 的长方形，沿着图中虚线的位置将这个长方形折叠成一个等腰梯形，则这个梯形的面积是 _ 【难度级别】【解题思路】正下方的一个直角三角形，斜 边是10,底边的直角边是 8,所以另一条直 角边是 6。设梯形的上底为 2x,看正上方的一个直角 三角形， 一条直角边是 x， 另一条直角边是： 10 6= 4,斜边是 8-x，所以:梯形的面积：(6+16)X10-2= 110。【答案】110。14、

5、 【学案 1】如图所示，直角三角形 PQR 的 直角边为 5 厘米和 9 厘米，问图中 3 个正方 形面积之和比 4 个三角形面积之和大多少？【难度级别】【解题思路】将斜的大正方形做弦图分割。图中所有三角形面积均相等，那么图中 3 个正方形与 4 个三角形的面积之差为 X、Y、Z 三个正方形的面积和：52+92+(9 5)2= 122cm2。【答案】122cm2。15、【每日一题 2】如图，直角三角形 ABC 中，两直角边长分别为 7、24,三角形内一点 P 到各边的距离相等，则这个距离是 _ 1, n 个 1)的完全平方数有 _个;(2)形如 14444(n 1, n 个 4)的完全平方数有

6、 _ 个；【难度级别【解题思路余数判断法，第(1)题用+ 4 的余数，第 题用+ 16 的余数。(1) 11 + 4 余 3, 111-4 余 3,后面每再增加 1 个 1,和前面的余数 3 可以构 成 31, 31-4= 73,- 4 都余 3。但是，完全平方数+ 4 的余数不能是 3(只能是：0、1),所以，形如 111 的数都不是完全平方数。(2) 2 个 4: 144=122, 3 个 4: 1444=382。4 个及 4 个以上的 4: 14444 宁 16 余 12,后面每再增加 1 个 4,和前面的余 数 12可以构成 124, 124- 16= 7-12,所以 4 个以上 4

7、时，-16 余数都是 12, 余数尾数都是 2。但是，完全平方数+ 16 的余数尾数不能是 2 (只能是 0、1、 4、9), 4 的个数大于 3 个时就没有完全平方数了。所以，形如 14444 的完全平方数有 2 个：144=122, 1444=382。【答案0, 2。227、【三单元(例 5)】3m+3n+ 1 (m n 为自然数)能否为平方数？【难度级别】【解题思路】用余数判断法，+8 的余数来判断。3 的偶数次方：32k=9k, 9 -8 余 1,若干个 1 相乘还是 1,32k- 8 余 1;3的奇数次方：32k1=9kX3, 9 + 8 余 1,32k1+ 8 余 3。根据 m n

8、 的奇偶性，有 4 种组合情况：1m 奇 n 奇，3m- 8 余 3,3n-8 余 3,(3m+3n+ 1) -8 余7;2m 奇 n 偶，3 8 余 3,3 8 余 1,(3“+3“ + 1) 8 余5;3m 偶 n 奇，3 8 余 1,3 8 余 3,(3“+3“ + 1) 8 余5;4m 偶 n 偶，3 8 余 1,3 8 余 1,(3“+3“ + 1) 8 余3。(3m+3n+1) -8 的余数是 3、5 或 7,但是，完全平方数+ 8 的余数是 0、1、4,所以3m+3n+1 不是完全平方数。【答案】不能。28、【学案 1】称能表示成 1+2+3+k 的形式的自然数为三角数。有一个四

9、位数 N,它既是三角数，又是完全平方数，则 N=_。【难度级别】【解题思路】题目较难，慢慢消化。2 2、 ,1+2+3+k=a, k(k+1) 2=a。因为 k 和 k+1 是两个连续的自然数必2有一个奇数，所以有：六翳相邻偶数2奇数Xa2。2相邻自然数互质，相邻偶数“奇数”与“相邻偶数”也互质，于是：“奇数” m2,2“相邻偶数”n, a nxn。到这里，没有更好的办法了，只能从“N= a2是一个四位数”入手，缩小取值 范围。32 N99,即：32 m nW99。又因为m2与 2n2差 1 (相邻)，有：7 me 12 (得出这个范围有点难度，我最后采用估算的方法：m22n2, m2 21.

10、4n , nmr1.4 , 32x1.4eme99x1.4 , 45me140, 773_21 73_21 731_213丄r5x 8x 41_213心_玉，5x 817x 3273，5x 821 5x 821 ,17x 327343、 【2013 年华杯赛初试,第 1题】2013 20132014 20142012（是化简后的）m m11【难度级别】【解题思路】有 2013、2014、2012,往一个数 2013 上凑，想到可能会约分2013 2013_2013 20132014 201420122014 2013 20142012_2013 2013_2013 2013_2013_6712

11、014 2013 2013 22013 20162016672m+n= 672+671 _ 1343。【答案】1343数(十分位和百分位)是多少?【难度级别】【解题思路】放缩法。oo-，即：3.14VAV3.1 42857,故 A 的前两位小数是 1、47【答案】1、4第五讲带余除法(1)a b= qr (rVb),化除为乘：a = bq+r。aar(2)高思记号、 , x = x+x，= q, _=bb b51、 【补充 1】1979 年，诺贝尔奖获得者李政道教授到中国科技大学讲学，他给 少年班的同学出了这样一道算术题：有 5 只猴子在海边发现一堆桃子，决定第 二天来平分.第二天清晨，第一只

12、猴子最早来到，它吃掉一个，恰好可以分成 5 份，它拿上自己的一份走了。第 2,3,4,5 只猴子也遇到同样的问题，采用了同样 的方法，都是吃掉 1 个,恰好可以分成 5 份，自己拿走一份，剩余 4 份，第 5 个猴子拿走后剩余 4 堆。问这堆桃子至少有多少个。【难度级别】44、【学案 4.(5)】若 A= 3 -7117 .1.7(100 个 7),那么 A 的前两位小VAV3【解题思路】N= 5a+1, 4a= 5b+1, 4b= 5c+1, 4c= 5d+1, 4d = 5e+1，求 A。554d= 5e+1 = 5e+5-4 = 5(e+1)-4 , d= (e+1)-1 , d+1 =

13、 (e+1)，其它类推。44555a+1= (b+1) , b+1 = (c+1) , c+1 = (d+1)。444555N= 5a+1= 5(a+1)-4 = 5X(b+1)-4 = 5X X(c+1)-444 45555 55 5=5X X X (d+1)-4 =5XX XX(e+1) 44444 44 45555(e+1)至少是 256,N 的最小值为：5X X X X X256-4 =55-4 = 3121。4444【答案】3121。52、 【第二单元 6】一个数除以 8 得到的商和余数的和为 13,求所有满足条件 的自然数。【难度级别】【解题思路】令 N= 8q+r，根据题目条件，

14、q+r = 13。N= 8X(13-r)+r = 104 7r。由于 OWr b。根据题目条件，a+r2= 13。如果不会做，大不了对 r2从 08 进行枚举，枚举过程中发现总是 n= 4。r2= 13-a , 8a+r1= 9b+(13-a) , n = 13 9(a-b)，因为 07,所以 a-b=1, ri= 13 9X1 = 4。从 a+2= 13 和 OWr2 8 得到，5 a 1, 3xW7, xW2。222当x = 1 时，3+6x=乙乙x =, x = x+x = 1+- = 1 -;3331000100010001000-+ = 1000-200-142+28 = 686。5

15、7351当x = 2 时，3X2+6x = 7, x =-, x= x+x621【答案】1-, 2361“ 2011 2011 2011 2011 “B=(+ 卩+),请判断 A B 的大小。20111232011【难度级别】【解题思路】注意到 2011 是质数。20102011对于 2 k0,有 kr 1 0,得到：令竺竺+ + 竺竺 =M则 竺竺+ 竺竺+竺竺 =M232010232010+M) = (2010+M) = 1+2010 2010= (2011+M+1)= 1 +M 12011 20112010 与 2011 互质，同时乘以(2010X2011),变56、1【学案 3】A=(

16、201020103+ +2010)20102010kq,2011kq,r2010r2011 =-,k2 k 2010 ,所以也 M1。这与“糖水浓度原理”判2010 2011断的结果相反，原因是：“糖水浓度原理”适用的条件是“分子小于分母”(糖 水浓度一定小于 100%。本题分子明显大于分母，从上面的比较过程中也可以 看出，如果 MK2010,则左V右，“糖水浓度原理”就成立了。MM 1口”所以，1+ 1+，即：AB。20102011X解释一下“糖水浓度原理”，原糖水浓度为：一(XKY)，往水里加 a 份的Y糖，浓度变为：，因为糖水变甜了，浓度肯定变大了，所以：V 。YaY Y a【答案】A

17、B。57、【作业 1】有三个自然数 a、b、c,已知 b 除以 a 得商 3 余 3; c 除以 a 得商 9 余 11;则 c 除以 b,得到的余数是_ 。【难度级别】【解题思路】b= 3a+3 (a 3), c = 9a+11 (a 11)。c=9a+11=3X(3a)+11=3X(b-3)+11=3b-9+11=3b+2所以，c 除以 b 商 3 余 2 (b= 3a+332)。【答案】2。58、【作业 3】一个两位数除 351，余数是 21,这个两位数最小是多少？【难度级别】【解题思路】设这个两位数为 b、商为 q,则 351 = bq+21(b21)。bq= 351-21 = 330

18、= 2X3X5X11,因为 b21，所以 b 最小为 2X11 = 22。 【答案】22。59、【作业 4】在算式 2013 宁口 = 11 填上合适的除法算式，一共可以组成个正确的除法算式。【难度级别】【解题思路】2013= bq+11 (b 11), bq= 2013-11 = 2002= 2X7X11X13。2002 有 2X2X2X2= 16 个约数，b 为 2002 大于 11 的约数。其中：1、2、7、11 四个不大于 11,其它 16-4 = 12 个约数都11,所以 b有 12 个取值，对应的 q 唯一确定(q = 2002- b)。【答案】12。互不相同的数?【难度级别】【解

19、题思路】先要寻找“分子增加”的规律。从n2变到(n 1)2，增加了：(n 1)2-n2= 2n+1 = n+(n+1)，增加的就是 n与(n+1)的和。孩子不会，可以采用找规律，从12到22、从22到32。再找“分子增加”与分母相同这个分界点。从10052到10062增加 1005+1006=2011。可见，从10052到20112依次增加不小于 2011,则商依次增加不小于 1。2 2 2因此型,空乞,迎匸的整数部分均不相同，共有 2011-2005+120112011 2011=1007 个。综上，合计 1007+502= 1509 个【答案】15095A、【作业 5】在丄丄、2011丄丄

20、2011= =、2011201122011中共出现多少个从12到10052依次增加不大于 2011，则商依次增加不大于1。1210042=501,2011100522011=502,可见从 0 到 501 均会出现，共 502 个5B、【作业 6】用x表示不大于x 的最大整数，记x = x-x，则算式勻勻+ +13+ +匕匕+ + +竺竺的值为_。5555【难度级别】【解题思路】眇眇=3, 2010 = 402,贝 S55404 399原式=2X3+(3+4+5+401)X5+402X3= 6+X5+12062=1212+202X399X5=404202。【答案】404202。第六讲同余本讲要

21、学会用数学语言表示同余，“a 和 b 除以 m 余数相同”表示为：a-b(mod m),0。重要知识点如下：(1)“和的余数”与“余数的和”同余；“差的余数”与“余数的差”同余；“积的余数”与“余数的积”同余；(2) 同余方程常用“同余做差能整除”，a b(mod m), m0, m|(a-b)，对(a-b)进行分解，一般就可以得到需要求解的结果。(3) 一个数与其数字和(mod 9)同余2013 年华杯赛决赛最后一题，考的就是这个知识点。(4) 剩余系剩余系就是按照除以 n 的余数从 0 到 n-1 分成 n 类，利用抽屉原理。601、【第一单元 1】【答案】7557(mod 9) , 9|

22、75-57602、【第一单元 2】【答案】(1)2 , (2)3。603、【第一单元 3】【答案】(1)3 , (2)1 或 7。604、【第一单元 4】(1)求(5412X852) -9 的余数。求22013-9的余数；(3) 有一只猴子摘了一大堆香蕉，他把香蕉平分成 3 小堆，不多不少。又把其 中一小堆再平分成 5 份，发现多了一根。如果他一开始就把香蕉平分成 5 堆, 会多出几根？(4) 有一只猴子摘了一大堆香蕉，他把香蕉平分成 6 小堆，多了 2 根。又把其 中一小堆再平分成 5 份，发现多了 4 根。如果他一开始就把香蕉平分成 5 堆, 会多出几根？【难度级别】【解题思路】(1) “

23、积的余数”与“余数的积”同余5412 三 5+4+1+吝 1+2 三 3(mod 9) , 852 三 8+5+2 三 15 三 6(mod 9),5412X852 三 3X6 三 0(mod 9)。(2) 找规律x1234562的x次方*9余248751x7891011122的x次方*9余248751可见，2x- 9 的余数以“ 2、4、& 7、5、1” 6 个为一周期循环的，2013 宁 6 =3353,22013+ 9 的余数为周期内的第 3 个数，余数是 8。(3) 3a = 3(5b+1) = 15b+3, 3a 三 15b+3(mod 5)三 3(mod 5)，多出 3 根

24、。【答案】(1)0 , (2)8 , (3)3 , (4)1 605、【第一单元 5】(1)小明按顺序写出了从 1开始的完全平方数 1、4、9、 除以 7 的余数，请猜测20132除以 7 的余数是多少？(2) 求482013(mod 5)。【难度级别】【解题思路】“和的余数”与“余数的和”同余。(1) 除以 7,三位一段差系，2013 三 13-2 三 11 三 4 (mod 7)。20132相当于 2 个 2013 的和，20132三42三 16 三 2 (mod 7)。方法二、找规律x1234567x平方*7余1422410 x891011121314x平方*7余1422410可见，x2

25、- 7 的余数以“ 1、4、2、2、4、1、0” 7 个一周期循环，2013+7 = 2874,20132+ 7 的余数为周期内的第 4 个数，余数是 2。(2) 48 三 3(mod 5) ,482013相当于 2013 个 48 的和，482013三32013(mod 5)。x12343的x次方*5余3421x56783的x次方*5余3421可见，3x- 5 的余数以“3、4、2、1”4 个为一周期循环，2013- 4 = 503-1,32013+ 5 的余数为周期内的第 1 个数，余数是 3,即：32013(mod 5) = 3,所以482013(mod 5)= 3。【答案】(1)2 ,

26、 (2)3。(4)6a+2 = 6(5b+4)+2 = 30b+26, 6a 三 30b+2N26 三 1(mod 5)，多出 1 根。606、【第一单元 6】(1)求3031x3130(mod 13);已知 A= 201320132013 (2013 个 2013),求 A 除以 13 的余数。【难度级别】【解题思路】 (1) “和的余数”与“余数的和”同余， “积的余数”与“余数的 积”同余。31313130 三 4(mod13) ,30相当于 31 个 30 的和，4相当于 31 个 4 的和，30三431(mod13)。x1234564的x次方*13余43129101x78910111

27、24的x次方*13余43129101可见，4x-13 的余数以“ 4、3、12、9、10、1” 6 个为一周期循环的，31 6= 5T,431 13的余数为周期内的第1个数， 余数是4,即:431(mod 13) =4,所以3031(mod 13) = 4。31 三 5(mod13) ,3130相当于 30 个 31 的和，530相当于 30 个 5 的和，3130三305(mod 13)。x12345的x次方*13余51281x56785的x次方*13余51281可见，5x- 13 的余数以“5、12、8、1”4 个为一周期循环的，30-4= 72,530 13的余数为周期内的第 2 个数，

28、余数是 12,即：530(mod 13) = 12,所30以31(mod 13) = 12。3031X3130三 4X12 三 48 三 9(mod 13)。根据 13 的整除特性，三位一段差系，2013 四位，3X4= 12,取 3 个 2013 即 12位为一个周期， 201320132013,按三位一段做差， 13+320-(132+201)= 333-333 = 0,所以每 12 位都可以整除 13。2013-3= 671,引 2013，正好是整周期，都可以整除， A 除以 13 余 0 如果 B 有2014 个 2013,求 B 除以 13 的余数：2014+ 3= 671-1，就会

29、剩余 1 个 2013,B= 2013X1012 671+201320132013(2013 个 2013)=2013X1012 671+A1012 671有 12X671 个 0,三位一段，12X671 = 3X4X671，有偶数段，就剩 余那个 1,所以1012 671+ 13 余 1。甘 2013X1012 671+A 三 11X1+0= 11 (mod 13)，其实就是剩余的那一个 2013+ 13 的余数， 上面只是验证了一下： 1 后面一堆 0 除以 13 的余数是 1。 【答案】(1)9 ,(2)0 。607、 【第二单元 1 】【答案】 (1)1 或 5, (2)7 。608、

30、 【第二单元 2】(1) 用 412、133、257 除以一个相同的自然数,所得余数 相同,这个数最大是几？(2) 有三个吉利数 888、518、666,用他们分别除以同一个自然数,所得的余 数分别是 a、a+7、a+10,则这个自然数是多少？(3) 有一个整数去除 70、 110、 160 所得的 3 个余数之和为 50,那么这个整数 是多少？(4)有一个自然数,分别去除 63、 90、 130 都有余数,并且 3 个余数之和为 25,求最大那个余数是多少？【难度级别】【解题思路】同余做差能整除。(1) m|412-133=279,m|257-133=124,mmax=(279,124)=(

31、279-124,124)=(155,124)=(5X31,2X2X31)=31。(2) 先变成同余, 888、 518-7=511、 666-10=656 除以这个自然数都余 am|888-656 = 232, m|656-511 = 145, 232= 8X29, 145= 5X29, 232 和 145的公因数有 1、29,显然 1 舍弃，所求自然数为 29。(3) 70 三 a (mod m) avm,110 三 b (mod m),bvm 160 三 c (mod m),cvm50a+b+c= 50, 3m a+b+c= 50, no=16。370+110+160 a+b+c (mod

32、 m), 340 三 50 (mod m), m|340-50, m|290,分解290 , 290= 2X5X29 , m|2X5X29。因为 m 16 ,所以 m= 29、58、145、290，但是需要保证 a+b+c= 50。m= 58 时，110 三 52 (mod 58) , b= 52 50 ,舍弃；m= 145 时，70 三 70(mod 145) , a= 70 50 ,舍弃；m= 290 时，70 三 70(mod 290) , a= 70 50 ,舍弃；m= 29 时，70 三 12(mod29), 110 三 23(mod 29), 160 三 15(mod29), a+

33、b+c=12+23+15= 50 ,满足。所以，这个整数只有唯一解，29。(4) 63 三 a (mod m) avm 90= b (mod m) , bvm 130 三 c (mod m) , cvm25a+b+c= 25 , 3m a+b+c= 25 , rr = 8。363+90+132a+b+c (mod m) , 283= 25 (mod m) , m|283-25 , m|258,分解258 , 258= 2X3X43 , m|2X3X43。因为 m8,所以 m= 43、86、129、258，但是需要保证 a+b+c=25。m= 86 时，63= 63 (mod 86) , a=

34、63 25 ,舍弃；m= 129 时，63= 63 (mod 129) , a = 63 25 ,舍弃；m= 258 时，63= 63 (mod 258) , a = 63 25 ,舍弃；m= 43 时，63 = 20(mod 43) , 90= 4(mod 43) , 130= 1(mod 43) , a+b+c=20+4+1 = 25,满足。此时，最大那个余数是 20。【答案】 (1)31 ， (2)29 ， (3)29 ， (4)20 。609、【第二单元 3】(1) 求20132013的末位数字； (2) 求证：10|a2013a1989。【难度级别】【解题思路】末位数字就是 (mod

35、 10) 。(1)2013 三 3 (mod 10)，根据“和的余数”与“余数的和”同余，有：20132013-32013(mod 10) (20132013表示 2013 个 2013 相加，32013表示 2013个 3 相加)。31三 3(mod 10) ,32三 9(mod 10) ,33三 7(mod 10) ,34三 1(mod 10) ,3i除以 10 的余数以“ 3、9、7、1” 4 个为一周期循环。2013宁4= 504-1， 所以32013除以10的余数为周期内的第1个数“ 3”，20132013三32013三 3(mod 10)。设 a 的个位数字为 x (0 x 1,所

36、以 K a+b+c+d+e b）, a 有 i 个 1, b 有 j 个 1, i j , 则 2013|a-b 。a-b = 11 1000= 11- 1x1000 （有 j 个 0,有 i-j 个 1）2013|11 1X1000,但是（2013, 1000）= 1,所以 2013|11 1 （i-j 个 1） ,111 （i-j 个 1）就是 2014 个数中能整除 2013 的那个数，存在性证 明完毕。证明：(2013,10k) = 110k=2k5k, 2013= 3X11X61,没有公因数，所以最大公因数是 1。 【答案】一定有，见上。615、【第三单元 4】求证：20、2020、

37、202020里面一定有 2012 的倍数。【难度级别】【解题思路】剩余系。2012= 4X503,除以 503 最多有 0、1、2、502 共 503种不同的余数。从 20 到 202020 取 504 个数，必有两数除以 503 的余数相同，差是 503 的倍数，假设这个两个数为 a 和 b (a b), a 有 i 个 20, b 有 j 个 20, i j , 则 503|a-b 。a-b = 202020 00 0= 202020X1000 (1000 有 2j 个 0, 202020 有i-j 个 20)503|202020X1000,但是(503, 1000) = 1,所以 503

38、|202020(i-j 个 20),202020 (i-j 个 20)就是 504 个数中能整除 503 的那个数。又因为202020末两位是20,所以202020能整除4,所以202020( i-j 个 20)能整除 503X4= 2012。证明：(503,10k) = 110k=2k5k, 503 是质数，没有公因数，所以最大公因数是1。【答案】一定有，见上。616、 【第三单元 5】 M N 均为非零自然数， 且(2007M+2008N)能被 7 整除，求(M+N)的最小值。【难度级别】【解题思路】根据 7 的整除特性，三位一段差系，007-2 = 5, 008-2 = 6, 2007三

39、 5(mod 7) , 2008 三 6(mod 7)。根据“和的余数”与“余数的和”同余，有：2007M三5M(mod 7) ,2008N三6N(mod 7)。M1234562007的M次方*7余546231N1234562008的N次方*7余6161612007M除以 7 的余数以“ 5、4、6、2、3、1”为周期，周期为 6。2008“除 以 7的余数以“ 6、1”为周期，周期为 2。若取2008N- 7 的余数 6 (N 最小=1),则2007M- 7 的余数需要取 1 ( M 最小= 6),才能保证2007M+2008N整除 7, M+N 最小值为：6+1 = 7。若取2008N-

40、7 的余数 1 (N 最小=2),则2007M- 7 的余数需要取 6 ( M 最小=3),才能保证2007M+2008N整除 7 , M+N 最小值为：3+2= 5。【答案】5。617、【第三单元 6】求 12013 的所有自然数中，有多少个整数 x 使得2x和x2被7 除的余数相同。【难度级别】【解题思路】提供两种方法：一、根据除以 3 的余数分三类情况推导计算，二、列表找规律。方法一、理论推导计算先分析2x除以 7。2x除以 7 的余数是：2、4、1、2、,说明余数以“ 2、 4、T 三个为一周期循环，将 x 分为 3 类：g = 3k, k 1 ,2x除以 7 余数为 1;劭=3k+1

41、, k0,2x除以 7 余数为 2;= 3k+2, k0,2x除以 7 余数为 4。1x = 3k, k 1,2x除以 7 余数为 1要求x2同余，x2= 7m+1(详 1) ,9k2= 7m+1, 9|(7m+1)，但是(7m+1)除以9 的余数为：8、6、4、2、0、7、5、3、1、&，9 个一循环，m= 9a+5 (a 0)时，9|(7m+1)，9k2= 7m+仁 7 (9a+5) +1 = 63a+36,k2= 7a+4。7a=k2-4 = (k+2)(k-2)， 得到： 7|(k+2)或 7|(k-2) , k+2 = 7b(b 1)或 k-2 =7c(c 0) ,k= 7b

42、-2(b 1)或 k = 7c+2(c 0)。1 x 2013, x = 3k = 3(7b-2) = 21b-6 , 1 21b-6 2013, 1 b 96,有96 个；x = 3k= 3(7c+2) = 21c+6, 1 21c+6 2013, 0 c 95,有 96 个。验证几个看看：x= 21b-6 , 1 b 96:b= 1,x = 15,3|15,215除以 7 余 1,152除以 7 余 1X1 = 1,满足；b= 2,x = 36,引 36,236除以 7 余 1,362除以 7 余 1X1 = 1,满足；b= 96, x = 2010,引 2010 ,22010除以 7 余

43、 1,20102除以 7 余 1X1= 1,满足。x= 21c+6, 0 c0,2x除以 7 余数为 2要求x2同余，x2= 7m+2(n 0) , (3k 1)2= 7m+2 7m=(3k 1)2-2=9k2+6k-1=7k2+7k+2k2-k-1 =7(k2+k)+(2k2-k-1)7|(2k2-k-1) =(2k+1)(k-1) 得1到：7|(2k+1)或 7|(k-1) , 2k+1 = 7b(b 1)或 k-1 = 7c(c 0), k =-(7b-1)(b21)或 k =7c+1(c0)。321211 x 2013, x = 3k+1=(7b-1)+1 =(b-1)+10 , 1

44、(b-1)+10 2222013, 0b-1 190, 1b 191,且 b 为奇数(因为需要 b-1 为偶数)，有 96 个；x = 3k+1= 3(7c+1)+1 = 21c+4, 121c+4 2013, 0 c 95,有 96 个。验证几个看看：21x= (b-1)+10 , 1 b 191,且 b 为奇数：2b= 1, x = 10,210三21三 2(mod 7) ,102除以 7 余 2,满足；31122i ib= 3, x = 31,2三2三 2(mod 7) ,31三3三 2(mod 7)，满足；2005122b= 191, x = 2005,2三2三 2(mod 7) ,2

45、005三3三 2(mod 7)，满足。x= 21c+4, 0 c0,2x除以 7 余数为 4要求x2同余，x2= 7m+4(n0) , (3k 2)2= 7m+4 7m=(3k 2)2-4=9k2+12k=7(k2+k)+(2k2+5k) , 7|(2k2-k) = k(2k+5),得到：7|k 或 7|(2k+5) , k= 7b(b1 0)或 2k+5= 7c(c 1) , k=(7c-5)(c 1)或 k= 7b(b 0)。2321211 x 2013 , x = 3k+2= (7c-5)+2 =(c-1)+5 , 1(c-1)+5 2013 ,=3k+2= 3X7b+2= 21b+2,

46、 1 21b+22013, 0b 95,有 96 个。2220 c-1 191, 1 c 192 ,且 c 为奇数（因为需要 c-1 为偶数），有 96 个；x验证几个看看：x=(c-1)+5 , 1c 192,且 c 为奇数：2c= 1, x = 5,25三 4(mod 7) ,52除以 7 余 4,满足；c= 3, x = 26,2三2三 4(mod 7) ,26三5三 4(mod 7)，满足；2000222i ic= 191, x = 2000,2三2三 4(mod 7) ,2000三5三 4(mod 7)，满足。x= 21b+2, 0 b 1 x = 21b-6 , 1 b 96； x

47、 = 21c+6 , 0 c 021x =(b-1)+10 , 1 b 191 ,且 b 为奇数;2x = 21c+4 , 0 c 0 x =(c-1)+5 , 1 c 192 ,且 c 为奇数;2x = 21b+2, 0 b 95。=3k+2= 3X7b+2= 21b+2, 1 21b+22013, 0bj，则它们的差是 n 的倍数，n|X-Y，而 X-Y= aaaOO0（j 组 0,每 组 0 的位数=a 的位数，i-j 个 a），因为每个 a 是十全数，所以 X-Y 也是十全 数（有 i-j 个 a） ,存在性得以证明。【答案】见上。620、【学案 3】任取 n 个数，求证里面一定能选出

48、若干个数之和是 n 的倍数。【难度级别】【解题思路】抽屉原理的构造。 “若干个数之和”肯定要用和来构造。此题与上题的不同是：上题 n 个抽屉构造 n+1 个苹果，本题 n 个抽屉只能 构造 n个苹果。(1)n 个抽屉 n+1 个苹果，好求解，有 2 个苹果放一个抽屉里；(2) n 个抽屉 n 个苹果，也是可求解的， “花开两朵各表一枝”，“一枝”有一 个抽屉是要求解的结果，恰有 1 个苹果满足，结论得证， “另一枝”否则剩余 n-1 个抽屉，还是 n 个苹果，必有 2 个苹果放一个抽屉里。设 n 个数为：ai、a2、 、an,则构造 n 个和：Si = ai、S2= ai+比、S3= ai+a

49、2+a3、.、S = ai+a2+an。(1) 若有 S 是 n 的倍数，则结论成立。(2) 若没有任意一个 S 能整除 n,则必有 2 个 S 除以 n 同余。原因是：除以 n 有 1、2、 3、 、 n-1 共 n-1 种余数(余数为 0 即整除那种情况在上一个假 设中,已经去掉了) ,有 n 个数,所以必有 2 个数同余。同余做差能整除，n|Sj-Si= 1+92+aj)-(a1+&+a) = a：+1+aj，而 a+1+a是满足题目要求的“若干个数之和”。【答案】见上。621、【作业 1】20132013的末两位数是多少？【难度级别】【解题思路】末两位就是除以 100 的余数。

50、201320133 671671671671只671z2013三13三13三2197三97三(3) 三3(mod 100)的余数为周期内的第 11 个数，余数是 47。2013671112013三3三3三-47(mod 100) , 100-47 = 53。【答案】53。622、【作业 2】【答案】3。623、【作业 3】请证明不存在三个完全平方数之和为 641607。【难度级别】【解题思路】观察x2+ y2+z2，641607,考察+ 8 的余数。完全平方数+ 8 的余数只有 0、1、4, “和的余数”与“余数的和”同余， 三个余数都只能是“ 0、1、4”，三个余数之和可能是：0、1、2、3

51、、4、5、6、 & 9、12, (mod 8)后只能是：0、1、2、3、4、5、6。但是，641607 三 7 (mod 8)，所以x2+ y2+z2和 641607 除以 8 的余数不可能 相同，故x2+ y2+z2工 641607。【答案】见上。624、【作业 4】请说明任意 6 个正整数中必然可以选出 4 个，用这四个数进行 四则运算后(各用一次)可以得到 15 的倍数。【难度级别】【解题思路】15= 5X3。选 4 个数，可以分拆成：先选 2 个，再选 2 个。选 2 个？ ？考虑到：两数做差能整除，必然是同余， 6 个数(mod 5)有 2个同余，剩余 4 个数，4 个数(m

52、od 3)有 2 个同余，正好是 5X3= 15根据抽屉原理，6 个数中一定可以找到 2 个数(mod 5)同余，这两个数的差 是 5 的倍数，剩下 4 个数，4 个数中一定可以找到 2 个数(mod 3)同余，这两 个数的差是 3的倍数，两个差相乘是 15 的倍数。【答案】见上。625、 【作业 5】【答案】 4。626、 【作业 6】黑板上写有 2000 个 5、2001 个 7、2002 个 8 和 2003 个 9。现 在可以进行如下操作：擦去某 3 个不同的数，再把没有擦掉的那个数多写 2 个。比如擦掉一个 5、1 个 7、1 个 8，然后写上 2 个 9。最后黑板上剩下少于 3 种

53、数时便无法继续操作。已知黑板最后只剩下 3 个数字，求这 3 个数字的积。【难度级别】【解题思路】两个不同的数字，要么同时 (-1) ，要么一个(-1) 另一个(+2) ，说 明不同数字的数量除以 3 的余数，差值不会发生变化。5 的数量：2000 三 2 (mod 3) , 7 的数量：2001 三 0 (mod 3),8 的数量：2002 三 1 (mod 3) , 9 的数量：2003 三 2 (mod 3)。说明：剩余 8 的个数比 7 多 1 个，剩余 5 的个数与 9 的个数一样多， 5 和 9 可能同时没有了，也可能都比 8 多 1 个。如果 7 是 0 个， 8 就是 1 个，

54、 5 和 9 就是各 2 个，与“只剩 3 个”不符；如果 7 是 1 个，8 就是 2 个，5 和 9 同时没有了【2+1 = 3, mod3 为 0】，正 好剩3 个，3 个数的乘积为：7X8X8 = 448;如果 7 是 2 个，8 就是 0 个【2+1 = 3, mod3 为 0】，5 和 9 都是 1 个，总数4个与“只剩 3 个”不符。答案】 448627、【补充 1,2013 年华杯赛决赛最后一题第 14 题】不为零的自然数 n 既是 2010个数字和相同的自然数之和，也是 2012 个数字和相同的自然数之和，还 是 2013 个数字和相同的自然数之和，那么 n 最小是多少？【难

55、度级别】【解题思路】首先题目读着有点绕嘴，要好好理解一下， n 是 2010 个自然数 之和，每个自然数的数字和相同， 其它 2 个也是这样理解； 其次看到了数字和 应该想到是 9 的同余问题。 此题难度较大，第一，从 mod9 同余思考是一个难 点，第二，求三个数字和从 3 的整除性考虑也是难点，第三，构造也是难点。假设题目中给出的三个数字和分别是 a、b、c,则根据“和的余数”与“余数的和”同余，有：“n 除以 9 的余数”与“ 2010 个自然数除以 9 的余数之和”同余，而“每个自然数除以 9 的余数”=“这个 自然数的数字和除以 9 的余数” =“a 除以 9 的余数”，所以“n 除

56、以 9 的余数” 与“ a 除以 9的余数”X2010 同余。同样因为“余数的和”与“和的余数”同余，有：“a 除以 9 的余数”X2010 与“ 2010a 除以 9 的余数”同余， 所以“n 除以 9 的余数”与“ 2010a 除以 9 的余数”同余，即：n 三 2010a (mod 9)。同理，n 三 2012b (mod 9) , n 三 2013c (mod 9)。所以，2010a 三 2012b 三 2013c (mod 9)。由于 2010、2013 都是 3 的倍数，2012 不是 3 的倍数，所以 b 一定是 3 的 倍数，可得 b 最小值为 3, n 的最小值为 2012X

57、3= 6036,此时，2010a 三 2013c 三 6036 三6 (mod 9) , 2010-9 余 3, a 最小为 2, 2013- 9 余 6, c 最小为 1, 即： a=2，b=3，c=1。bmin= 3,这样证明：9|(2010a-2012b3|(2010a-2012b),因为 引 2010a ,所以 3|2012b，而(3,2012)=1，故 3|b。amin= 2 , Cmin= 1,这样证明：根据“除以 9 的余数”=“数字和除以 9 的余数”有：2010a 三 6036 三 6+0+3+6(mod 9) , 2010a 三 15 (mod 9) , 2010a 三 6

58、(mod9) ；2010 三 3 (mod 9)， 再根据“积的余数”与“余数的积”同余，2010a 三 3a (mod9), 3a 三 6 (mod 9) , a = 2。同理，2013c 三 6036 三 6+0+3+6(mod 9), 2013c三 15 (mod 9) , 2013c 三 6 (mod 9) ; 2013 三 6 (mod 9) , 2013c 三 6c (mod 9), 6c三 6 (mod 9) , c= 1。对 n 最小值 6036 构造如下：2010 个数字和为 2 的数是： 2000、20 和 2008 个 2；2012 个数字和为 3 的数是： 2012 个 3；2013 个数字和为 1 的数是： 4 个 1000、3 个 10 和 2006 个 1。构造思路： 构造只是找到一个例子即可，不是找全部，所以可以考虑一些 容易构造的数， 例如 20 也可以有 11(看数字和)，200 也可以有 110、101(看 数字和)等等，但是这些数构造起来就复杂一些。2010 个数的和=6036,每个数数字和为 2,数字和为 2 的数有 2、20、200、2000,应该大都是 2 这个数，估算：2000X2= 4000, 6036- 4000=2036，所 以需要有 1 个 200