微分方程数值解(学生复习题)

1、一.填空1Euler法的一般递推公式为,整体误差为局部截断误差为:，改进Euler的一般递推公式整体误差为,局部截断误差为:2线性多步法绝对稳定的充要条件是T,则单步法"加=冷+力心丿小 = 0丄2,一稳定。h4. 一个相容，稳定的多步法若绝对稳定，则绝对稳定域在5.若.，则多步法是相容的。6.所有内点，界点的差分方程组成一个封闭的线性代数方程组，其系数矩阵7刚性方程是:8. Runge-Kutta法的特征值为相容的充要条件为:,d-li£r&二阶常微分方程边值问题：Li( =+(fii = J< X < bdx'tt(a) = a. u(h)

2、= 0的中心差分格式为:9若内点P,的四个相邻点均属于q,则称P,为10. 逼近泊松方程的五点差分格式的截断误差的阶为逼近泊松方程的九点差分格式的截断误差的阶为11. 线性多步法A稳定的充要条件是12. SOR收敛当且仅当松弛因子0)©力，且Jacobi迭代收敛。最佳松弛因子二-判断1-当时间步长犷和空间步长力无限缩小时，差分格式的解是否逼近到微分方程问题的解，这就是差分格式的收敛性问题。2. 单参数的PR迭代格式的收敛速度与SOR最佳超松弛法的收敛速度同阶。3、对称矩阵的普条件数与条件数相同。4、一级Runge-Kutta法的绝对稳定域(2, 0)5、若差分方程满足相容条件，且按右

3、端稳定，则差分解收敛至波动方程的解。6、Euler法非A稳定。7.对任恿:网比r>0,六点对称格式的解有收敛阶O(”+/，)&对任意网比rM-,向前差分格式的解有收敛阶O(r + /?)o 9、相容，稳定的多步法一定绝对稳定。三选择1.抛物型方程的加权隐式差分格式的稳定性为()A绝对稳定B无条件稳定C条件稳定D非条件稳定2. von Neumann条件是差分格式稳定的()A充分条件 B必要条件C充要条件 D既非充分也非必要条件3. 实系数二次方程= 0的根按模小于或者等于1的充要条件是()D ci + b2A 0|M1-cM2 B ”|s1+cS2 C |c|Sl-bS2 4若线

4、性多步法A稳定，则有()，其中人(心1,2,加为“仇)-石bU) = 0的根。Re/i <0=>> 1,1 =A XlnRe万AO人 <l=>Re/j <0 5个相容，稳定的多步法若绝对稳定，则绝对稳定域在()A下半平面B上半平面 C左半平面D右半平面6. 线性多步法稳定的充要条件是()A第一特征式02)满足根条件B第一特征式KQ严格满足根条件C />(%) Zi<r(A) = 0 满足根条件D /7(Z) /(<r(Z) = O严格满足根条件7. P阶K步法的局部截断误差的阶为(A O(/ED 0(/严)&线性多步法绝对稳定的充要

5、条件是()A第一特征式02)满足根条件B第一特征式Q仇)严格满足根条件C yO(A) /(<t(A) = 0 满足根条件D p(2)/(a(A) = 0严格满足根条件9. Euler法的整体误差为()A O(A) BO(心CO(/r) DOO)四-计算1试求差分方程初值问题:+2一2冷+厂3冷=2如=Wj = 0的解。2己知显式方法口卄 2卄 I +兔"” ="A/田 +AA,(1)取a】为参数，确定a(p 00, A，使方法至少是二阶的;(2)当4取何值时，方法满足根条件;3. k步线性法：%火=叫+ "2 L-n+k -At,证明其A稳定。4. 证明色汁

6、1 =凤八+饥由对所有的门(Yo,0)都绝对稳定。5. 山待定系数法构造边值问题：if = fa <x<bua) = u(h) = 0的中心差分格式。6求正三角网上的差分格式。7用有限体积法推导五点格式。&写出扩散方程牛鲁的向前，向后差分方程（中心差分格式，用第n层计 算第n+l层），并把有限差分方程改写成便于汁算的迭代格式（矩阵形式=器 为网比。9.计算差分格式（其中r = ,«>0）的增长因子，并根据von Neumann条件给出差分格式稳定性条件。10. 已知线性多步法：41 2h £/r+2£+2 _ -冷+1 + 3= 丁力试求

7、它的阶及误差常数。例2,试求差分方程初值问題h - 5冷_2 - 4w_,4i/ = 4I 地=5, I/, = 0,= -4, ih =-12的通解.良由于方程的右端为常数，当1不是特征方程根时，可试 出它的一个常数解令冷以之代入方程，得到C 一4c + 5c - 4c + 4c = 4 => c = 2即为一个特解-对应齐方程的特征方程为（，亠Ou-廿=0 它的根分别是；2 （二重）和 士j? （ = >7 = coey（siny, -/ = COfiy-（Siny= 故通解为：ii = g2” 十十。3<2加¥十4sin号十 2在由初始条件，可以定出常数:Wy

8、 二 C十 Qs + 2 = 5“=2ci 十 ICy + C4 + 2 = 0“2 = 4(7, + 8c, -q +2 = -4气=8q + 24g - q + 2 = 12n C = 1= -15 = 2 q = -2所以，此问题的定解为：气= (1-«2" + 2冷号-血号J+211计算向前，向后等差分格式的增长因子，并给出稳定性条件。12. Adams二步外插法：妁曲一知+i,试求其绝对稳定域。=h五证明题1将三层差分格式改写为改写成等价的二层差分格式，写出其增长矩阵，并III von Neumann条件证明该格式是否稳定。其他例子关于证明差分格式稳定或者不稳定（参考书上的课后习题及例题）。2.求N阶三角阵：Q 1-1 1 1 0 11 -1