待定系数求方程专题

1、全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编(附详解)专题1待定系数求方程，几何转至代数中求圆锥曲线方程的策略一般有以下几种：几何分析法+方程思想;设而不求+韦达定理；第二定义+数形结合；参数法+方程思 想。几何分析法，利用图形结合圆锥曲线的定义与几何性质，分析图 中已知量与未知量之间的关系，列出关于方程中参数的方程，解出参 数值即可得到圆锥曲线方程，要求平面几何中相似等数学知识必须十 分熟练。设而不求、韦达定理是解圆锥曲线问题的通性通法，缺点是 计算量较大，费时费力，容易出错，通常根据题设条件，设出点的坐标和直线方程，将直线方程代入曲线方程，化为关于x的一元二次方程，利用韦达定理用参数表示出来，根据

2、题中条件列出关于参数的方 程，通过解方程解出参数值，即可得出圆锥曲线的方程。不管是哪种 方法，最终都要列出关于圆锥曲线方程中的参数的方程问题， 通过解 方程解出参数值，即可得到圆锥曲线方程，故将利用平面几何知识和 圆锥曲线的定义与性质是将几何问题转化为代数问题， 简化解析几何 计算的重要途径.【典例指弓门类型一待定系数法求椭圆方程例1【全国课标n,理20】设Fi,F2分别是椭圆弓+a b的左右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF,与C的另一一 个交点为N.(I)若直线MN的斜率为号，求C的离心率;全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编（附详解）（n）若直线 MN在y轴上的截距为2,且|

3、MN|=5|FiN|，求a,b.JL 2T【解祈】（I由题意得；耳a®,就©-）,MN的斜率为-a4又耳+宀 解之：e = -=-或2 （舍） 2c 4£32故直线施N的斜率为3时，C的离心率为丄_42（n > （几何分析法依据题意，原点0为巩血的中点，屈丄兀轴,二 哪与卩轴的交点貝0刀是线段哪 的中点,f2A|Af7|=2|OP|=4, g卩b= &2, ® a丁测=5|耳N|,二阿用=4闪N|» 过N作血丄兀轴于jy,则AA邮S从匹X，设NgT）,则一一孔斗碑|=9芹爲力，44二花=_¥卍=_专J/ _护，2 2（-

4、彳石匸丹” 1二 + p = l,ab®联立解得，a = 7.b = 2（设而不求法依据題S*原点0为FiFt的中点凡与工軸垂直.所以直銭MFi与y轴的 交点pg 2）是线段M尺的中点，故|MFj=?=2|OP|=4,由|册対|=5|尺闻| .得MF,=4尺W,2设11 丫1、* W心* jj） . 口尸I = （E 0） 易得$1 =4$盯由题竞T直线MFi的斜率b = 可 设直线斫 的方程为疋=丹一D与桶岡密十召=1联立消疋福右'十+"卜'一护宀一护=山 则4胪一博 吳十Hi =一3头=4/ 十护匚丫 * y lyi =* 消去16r 36a* 96&#

5、39;r'=tlt 丈&'=4a*c】=ci'护”代人解得u=h b=2灵、KS5UKS5U片法四（相关点法） 依据题竟，原点D为Fl凡的中点凡与jT轴垂直厮rZ言线M尺与，轴的JL33厂I'E代人椭Hl = _1 *兗点F（U. 2、是线段MF,飾中点.故=即护=4八 由|M,V |= 5 | F, ,V |得| FF, | =h 设 g,* >',) r 且 Fi (e u)，易知孙 则 d'(2y I = 3 *1圆方程谒-7十77 = 14« b又 =4a <* =4° b* 代人上式 a = T*

6、 b = ZjT,点评 解析法是求解圆锥曲鏡问题的基本方法之一，其思路清晰、简单但远算S较大如方程的根的 求解消参法相对解析法而言.避免了方程的根的求解，言接利用韦达定理及已知根与根之间的关垂消 去根参数即可！第二定义法是解决圆锥曲线问题的有效方法之一，尤其是过焦点的宜线与圆雜曲线相交的 间题，其还原了圆锥曲线的几何本庶；参戳方程法的合理的使用，可有效的简化簟难的圆锥ffl线的计算.类型2参数法求椭圆方程2 2例2.【2015高考安徽，理20】设椭圆E的方程为笃+当=l（ab>0），a b点0为坐标原点，点A的坐标为（a,0 ），点B的坐标为（0,b），点M在线段AB上，满足|BM| =

7、2|MA|，直线OM的斜率为逅10（I）求E的离心率e;（II）设点C的坐标为（0,-b ），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为7，求2【解析】（I）由题设条件知，点M的坐标为冷”又 %=£，从而2弋,进而得a = y/b 工=-护=”，i jj = = 2 幕a 5（替数法）由题设条件和的计算结果可得，直的方程为扁+戶，点*的坐标为:更 z>+丑 - 5+2斗厂2 +斗4=1屈 b7 I,解得+b4*虬如,设点N关于直线期的对称点S的坐标为仏纺 则线段M的中点r的坐标为、-;b+；）.又点r在直线M上且上砖他 =L，从而有JL 24244所加=3&

8、故椭圆E的方程为冷写J（几何分析法）设N关于期的对称点为S ,/, Z£AS=Z£AC,根將桶圆的对称性知,ZSAO=ZCAO.:.ZSAS =2Z£0A ,由题设条件和（I）知，岳,血如。書a, .44。=字，。如。如,sbZA4S = si<2Z&<0)=爭，ZASB<9Q, .cosZAiS = | ,7二強 Z 政I =沁 ±<5册 +)= <- 丁N为线段 AC 的中点.,AS=-AC=4,/J AS I sin X.SAO = bx= Z 解得心=3,2 18 2.2=45,故椭圆耳的方程为£+

9、£=L459类型3设而不求思想与韦达定理求抛物线方程 例3【2013年高考数学湖南卷】 过抛物线E:x2=2 py（p0）的焦点F作斜率分别为ki,k2的两条不同的直线Ii,l2，且ki+k2=2 ,li与E相交于点A,B, 12与E相交于点C, D.以AB, CD为直径的圆M，圆N （M , N为圆心）的公共弦所在的直线记为I .(I)若 ki>0,k2>0，证明；FM FN V2P2 ；（II）若点M到直线I的距离的最小值为 虫，求抛物线E的方程.5【解析】（1）依题鼠 抛物线E的交点为F©彳）,直线4的方程为y =加+彳,st尸占尤+得壬-SApc-才&q

10、uot;，设A、B两点的坐标分别为则码书是上述方程* = 2/?y的两个实数根，从而蔦;二M闹+/所以点-的坐标孕, 而=32疋、，同理可得N的坐标为g岭令,页=32呛，于是 而'-丽=左2馆焉+好脣H由题设，冏+珞珞：>（耐工焉，所以OC呻E<（£+池尸二故阳 JW<p2Q+F） = 2 小（2）由抛物线的定义得FA =yi +上，FB2=y-p,所以圆M的方程为yi气A A 1护22 P2 1巾从而圆M的半径r, = Pk2 + P，N的方程为(X- pk1)2 +(y- pk：2 =( pk12 + p)2, 化简得 X2 + y2-2 pk1X- p

11、(2k12+1)y-3 p 2= 0 ,同理可得圆4x2+y2-2 pk2X-p(2k22+1)y-3 p 2=0，于是圆M与圆N的公共弦所在直4线l的方程为化2-kjx + h2-kj)y = 0，又k2 -匕HOK+ k2 =2，则直线l的方程为x+2y =0 ,因为P >0 ,所以点M到直线I的距离p > J2（k1 + b2 + 7-L 48，故当宀寸时，d取最小值谨.由题设，翁乎，所以P=8，故所求抛物线E的方程为xjy类型4待定系数法求抛物线方程例4（2012全国课标理20）.设抛物线C : x2=2py （ p >0）的焦点为F，准线为l , A为C上一点，已知

12、以F为圆心，FA为半径的圆F 交l于B , D两点.（I ）若/BFD =900,AABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；（n ）若A , B , F三点在同一条直线m上，直线n与m平行，且n与C 只有一个公共点，求坐标原点到 m , n距离的比值.【解析】设准线l于y轴的焦点为E,圆F的半径为r , 则 |FE| =p , |FAHFB|=|FD|=r , E 是 BD 的中点，,FAFB=FD = y/2p, |BD|=2p,设削, yj,根据拥物线定X得J |FA|=y + joj丁SD的面积为4迈，二仏旷扣0|（片十彳）=卜27冥毎=4血，解得p=2,/FAF2血，二圆 F 的方程

13、为：壬+0-1）8 5或一cm【解析11 '： A, R , F三点在同一条直线观上：/是圆F的直径，厶D着=则 由抛物线定义知AD=FA=AB, .ZASD = 3f, Am的斜率为f或一£,Z_j-5.直线机的方程为：y=±'乂+£ J*原点到直线拠的距离*1=£戸>3 24设直线的方程为：J = ±x+i,代入£=2左得,x±x-2p£ = 0 , /n C只有一个公共点，二 A=fp2 + Rpb = 0，二6 = <36二直线的方程为：y = ±芈兀-£原点

14、到直线E的距离<1=雲7,3612二坐标原点到叫用距离的比值为王2【解析2】由对称性设A（Xo，互）（Xo >0），则F（0,卫）2p2点 A, B 关于点 F 对称得：B（-x0,p-一）= p-一=-卫二 Xo =3p22p2p 2得：A/3p,)，直线 m: y = 22 xdu2J3 p222 OXX =2pyu y =2p,X7373y =X =p=P33切点P(竝，卫)36/3 prr y/3、x-Ty-p=0 336坐标原点到m,n距离的比值为 亘邑=3。2 6【扩展链接】直线 n:y 6 -1.焦点三角形面积公式：圆锥曲线的左右焦点分别为Fi, F2, 点P为曲线上

15、任意一点ZF1PF2 J , ( 1)若P在椭圆上，则椭圆的焦y点角形的面积为F2 = b tan .(2)若P在双曲线上，则双曲线的焦点角形的面积为S西PF2b2-tan-2222.椭圆务+占=1 (a> b> 0)的焦半径公式：a b|MF1|=a +ex0,|MF2|=aeX) ( Fj-c,0) , F2(c,0) M(X0,y0).【同步训练】2 21.设椭圆C:于古=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2，下顶点为B，直线BF2的方程为X-y-b=0.(I)求椭圆C的离心率;(n)设P为椭圆上异于其顶点的一点，P到直线BF2的距离为72b,且三角形PF1

16、F2的面积为1，求椭圆C的方程;3【思路引导】(I)由直线斜率为1可得b = c，从而可得结果;全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编(附详解)(n)先求得P点坐标/-b1，根据三角形面积可得b的值,I 33丿从而可得椭圆方程.【详细解析】C I )由已知耳(及0),贝Ik = b(II)设点尸(孔于是所以斗，一片一站=0或斗,耳,十i=0KJ 36 = 0十S而2宀0无解'合如.由 X -y + b =0 何由x2+2y2=2b2 得 P又因为三角形PF1F2面积，所以b=1 ,2332于是，椭圆的方程为yU.2.已知抛物线C:x2 =2py ( p0)和定点M(0,1)，设过点M的动

17、直线交抛物线C于A,B两点，抛物线C在A,B处的切线交点为N .(I)若N在以AB为直径的圆上，求P的值;(n)若三角形ABN的面积最小值为4,求抛物线C的方程.【思路引导】(I)设出直线方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理，导数的几XiX2何意义，结合A,B处的切线斜率乘积为 答=一1可得结果；(n)根据P弦长公式、点到直线距离公式以及三角形面积公式可以得到=Jp(Pk2 +2 j >2p =4，从而可得结果.1S毋bn =2?ab ?d【详细解析】I)可设= + 找西巩花将如方程代入抛物线C方程得分-引股-2p = 0则対+花=2风，XiX2=-2p又7 = 2py得# =王，则厶目

18、处的切线斜率乘积为 = - = -1PP P则有P = 2(II )由可得&亠苦互=叹AB = J1+At* 血一码二 Ql+fc*+Ep点N到直线血的距禽方二气+1了 I = 鉴身Ms十国H十戾+2 >丽.-2松 =4"=2,故抛物线U的方程为壬=4,3.已知抛物线C : x2=2py ( P>0)的焦点为F，直线2X-y+2 = 0交抛物线C于A、B两点，P是线段AB的中点，过P作X轴的垂线交抛物线C于点Q.(1) D是抛物线C上的动点，点E(-1,3 )，若直线AB过焦点F，求DF +DE的最小值;uir uurULT UU(n)是否存在实数P ,使2QA

19、+ QB = 2QA-QB ?若存在，求出P的值；若不存在，说明理由.全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编（附详解）【思路引导】（I ）由直线AB过焦点F ,求出焦点F的坐标，过设过D作DG丄I于G ,由抛物线定义知DF + DE = DG + DE ,结合图形即可求出DF + DE取ULT UUUuLT uur最小值；（n）由2QA+QB =2QAQB知QA丄QB，设出A,B的坐标，2x -y +2 =0由L =2py消去y化为关于X的一元二次方程'用韦达定理和向量数量积列出关于P的方程，即可解出P.【详细解析】（I ）匚直线2y +2 = 0与卩轴的交点为（0.2）,则抛物线C的方

20、程为壬=8厂准线y = 2.设过D作DG 丄/于 G,则 |nf| + DE = |DG|+|DE| ,当凰、6 G三点共线时,DF + DE（n）假设存在，抛物线x2=2py与直线y=2x+2联立方程组得:取最小值2+3 = 5.2x -4pX-4p =0，设 A(X1,y1 ), B(X2,y2),贝 J x< x 4p ,= Y p，二 Q(2P N P).ult uuuQ 2QA + QBuir uur= 2QA-QB，二QA丄 QBULT UUL则 QA QB =0 得：(Xi -2 p Xx2 -2p )+(% -2 pX y2 -2p ) = 0 ,(捲一2pXx2 -2p

21、 )+(2为+ 2-2p )(2X2 +2-2p) = 0，5xiX2 +(4 -6p X Xi +x2 )+ 8p2-8p +4 =0，代入得 4p2+3p-1=0，解得p =4或P=T （舍去）-4 .设直线I:(I)证明:22 3ka >21 +3k2y=k (X+1)与椭圆 x2+3y2=a2 (a>0)相交于 A、B两个不同的点，与X轴相交于点C, O为坐标原点.KS5UKS5U.KS5U(n)若丘二2爲， OAB的面积取得最大值时椭圆方程.【思路引导】(I)将直线I的方程为y=k (X+1)代入椭圆的方程，消去X得到关于y的一元二次方程，再结合直线I与椭圆相交于两个不同

22、的点得到根的判别式大于0,从而解决问题.(II)设A (xi, yi), B(X2, y2),由(I),得旳+卩三二V，由丘二元5, 得y2二二从而求得 OAB的面积，最后利用基本不等式求得其最大 值，及取值最大值时的k值，从而 OAB的面积取得最大值时椭圆方程即可.【详细解析】得（三+3）y'+y+l-日2二0（1 分）由直线1与楠圆相交于两个不同的点，得=占3） （1-,）0（2 分k 1?化简整理即得/旦二（）（斗分l+3k（11 ） A （xH yi）/ B （xi, y2）j由，得北二任淬（，分1' l+3k因为AC=（-1-XJ1 -yj） 1 CB=（X2+Ii

23、y/'由AC=2CB,得 yi=-2y® （6分）由联立，解得y】-丑 （了分l+3k丨卩严2岭1丫2 I全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编（附详解）（I）依题意，直线1显然不平行于坐标轴，故 Cx+1）可化为 kxy-1代入X龙竹护=护，消去X,kOAB的面积slOC_ 3|k| 匕 3|k| 申上式取等号的条件是3k2=1，即曲士疼（9分）当k誓时，由解得匕二爭； 当kJ学时，由解得选芈.JJ将 禺,込禺及k=芈，匕申这两组值分别代入，均可解出a2=5 （11分）经验证，a2=5, k=±省满足（）式.所以， OAB的面积取得最大值时椭圆方程是 x2+3y2=

24、5 （12分）全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编(附详解)5.已知点F是椭圆C的右焦点，A,B是椭圆短轴的两个端点，且 ABF是正三角形.(I)求椭圆C的离心率;(n)直线I与以AB为直径的圆0相切，并且被椭圆C截得的弦长的最大值为2品，求椭圆C的标准方程.【思路引导】2 2(I)设椭圆的标准方程为 冷，焦距为2c,由 ABF a b是正三角形，得a=2b, b丄"由此能求出椭圆的离心率.2(n)由(I)知a=2b,所以椭圆方程为x2+4y2=4b2,设直线I与椭圆C的交点为M (xi, yi), N (X2, y2),若直线I与x轴垂直，则弦长|MN|= b,当直线I不垂直于x轴

25、时，设其方程为y=kx+m,与 x2+4y2=4b2联立，得：(1+4k2) x2+8kmx+4 (m2 - b2) =0,由此利用韦达定理、直线与圆相切性质，结合已知条件能求出椭圆C的方程.【详细解析】2 _2则巧是方程(J的两个根，1C I )设楠圆的标准方程为企+吟lGbO),焦距为2c, 1/'ABF是正三角形,又：护国用，二乙二椭圆的离心率2=.a 2(II )由t I )知沪26'楠圆方程为x-HyMb,设直线1与椭圆c的交点为m(xh yi). N (xi, m若直线1与X轴垂直，则弦长IMNiWsb, 当直线1不垂直于X轴时，设其方程为y=tx+in, 与 X“

26、护=4b?联立，整理，得：(l-t4k=) x+8fcDix44 CcP-MJ -0, (*)SkmX 1 + X 9=-QI £l+4k4 (in'-b，)X 1 X 2 二亍】£1+4,MN|2=(耐 S)2(SkSl+k? )2代入得|MN| 2=16护/以(雪；)<6?b2=4b2,(l+4k)(1+4 宀 2当且仅当3k2=i+k2, k二士字时，等号成立.二此时|MN| max=2b，于是弦长|MN|的最大值为2b二朋,=( 1+k2)(-器)2 - 4?皤=卅520, 直线I与圆O相切，二b十叫，解得m2二b2 (1+k2),Vl+k2 2二椭圆

27、C的方程为务+?二1.1232 26.如图，椭圆C:务七=1 (a>b>0)的右焦点为顶点分别为点A、B,且|AB|=匹|BF| .£(I)求椭圆C的离心率；F,右顶点、上的直线I交椭圆(n)若点M(C于P、Q两点,M为线段PQ的中点，且OP 丄 OQ求直线I的方程及椭圆C的方程.【思路引导】(I)由已知得V77?=a,由此能求出(n)由(I)知a2=4b2，设椭圆C:C Vs2冷二 1.设 P (Xi, yi), Q2 2 gy2),由示+計'一I-2 2-2y - b+2b432 f/B4得4+讦(y 1 兀)=0，Xi -X直线I的方程为2x- y+2=0.

28、由2x-y+2=0/ /n/+4(2x+2)2-4严二0,由怜，A)在椭圆C内部，过点M此能求出椭圆C的方程.【详细解析】由已知吨BF|»即V石込乎已，钿+4印=5昭,4护+4 （皿-专=知, :虽（5分）a 2（II）由（I知 aMlP,2 2二稱圆C:七+兰亍二设 P（3U，yi）, Q 咒片2 2,卩1 由7+气=1,41/ L2 2 2 2X1-X271-¥2+2-641/ t/即（兀1 + 七）a 1-七）（71 + 72）（71-72）即市:厂巾）+鲁（旳_冗）=0,从而k -f空二2, g X J-2进而直线1的方程为y寻2丘-（普）， 即 2x- y+2=0

29、.(9 分)2x-y+2=0/_ =x4(2x+2)-4b=C,一32_16-4b2_r7， 12-17即 17x2+32x+16- 4b2=0.A=32H6X17(b-4)>0<b>-.Xi + xV OP丄OQ,.*M=0,即 XiX2+yiy2=0, X1X2+ (2xi+2) (2x2+2) =0, 5xiX2+4 (xi +X2)+4=0. 从而5(16-4谀)128 解得b=1,17172椭圆C的方程为 计+/二.( 12分)2 27.已知A、B分别为曲线C: b+y2=1 (a>0)与x轴的左、右两个a交点，直线I过点B且与x轴垂直，P为I上异于点B的点，

30、连结AP 与曲线C交于点M .(I)若曲线C为圆，且|BP|=型，求弦AM的长；3(n)设N是以BP为直径的圆与线段BM的交点，若0、N、P三点共线，求曲线C的方程.【思路引导】(I)先求出A、B、P的坐标，从而求出直线 AP的方程，进而求出弦AM的长;(H)设出直线AP的方程，联立方程组，求出 M点的坐标，结合BM丄0P,求出a的值，从而求出曲线C的方程.【详细解析】全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编（附详解）（I J T曲线C为圆，则曲线C为対yT,二直线AP的方程为:省（x+l>,二圆心到直线AP的距离为<1=£2弦 am叫 F -d 叫二1="；(H)

31、由已知得 A (- a, 0), B (a, 0),由于点N在以BP为直径的圆上，且O、N、P三点中线，故BM丄0P, 显然，直线AP的斜率k存在且kM,可设直线AP的方程为y=k（x+a）,z, J/ " 得：(1+a2k2) x2+2a3k2x+a4k2 - a2=0,尸k(x+a)耳/- 2 设点 M (XM , yM ) , XM? (- a) J,l+,k3 2挤a-a k故 XM=72 ,l+H3 2 a-a k_ 2ak )2 , ),l+/k-2Jk2 2， 1+屏k-2ak + 4a*k从而 yM=k (XM+a)=2ak M (L+akT B (a, 0),.冋二

32、（由BM丄0P,可得祈?可=2ak ),1 +且K=02 2 0 ,1+a k即-2a4k2+4a2k2=0,N、P三点共线,-k a> 0,. aYs,经检验，当aW2时，0、2c曲线C的方程是：牛+y2=1.乙全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编(附详解)全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编（附详解）8若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，且| AB| =2在，又M为AB的中点，若0为坐标原点，直线OM的斜率为¥，求该椭圆£的方程.KS5UKS5U【思路引导】设 A（Xi，yi）, B（X2，目2，AB 的中点 M（x。，y。）.联立f 52ax

33、 +by =1c+y=l化为（a+b） X2-2bx+b-1=0,利用根与系数的关系和中点坐标公式可得0M的斜率弋=考，再利用弦长公式可得2V二lABl寸l+）g + Q J切心，联立解得即可.【详细解析】设 A （xlj yi）j B （紀，yj）, AB 的中点 M （血，yo>.联立2 2ax +by -1,化为（3+bx-2bx+b- 1=0 g+y=l:'直线勻桶圆相交于不同的两点,UM-4 3b） （b-1） >0, C*）. 2bb-1"严0石匸rg二石T厂 ，yo=l - 310= 1二 口 a+b a+b二OIU的斜率丄Epba.工0 b 2又

34、22= |AB吋（1+1）（" + 芨2）2-4引七= 2 备）2 °（防'化为（z+bj =a+b- ab.联立号&=L(a+b ) -a+b-ab 丄d满足(二该椭圆的方程为:2 29.已知直线X+y- 1=o与椭圆+l(a>b>0)相交于A, B两点, a t/线段AB中点M在直线l：y上.2(I)求椭圆的离心率;(n)若椭圆右焦点关于直线I的对称点在单位圆X2+y2=1上，求椭圆的方程.【思路引导】(I)设出A、B两点的坐标，联立直线与椭圆的方程得关于 X的一元二次方程；由根与系数的关系，可得 X1+X2, yi+y2;从而得线段AB的中

35、点坐标，代入直线I的方程，得出a、c的关系，从而求得椭圆的 离心率.(n)设椭圆的右焦点坐标为F(b, 0), F关于直线I的对称点为(Xo, yo),则由互为对称点的连线被对称轴垂直平分，可得方程组，解得Xo、yo；代入圆的方程Xo2+yo2=1，得出b的值，从而得椭圆的方程.【详细解析】全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编（附详解）S'(1)设A, B两点的坐标分别为(XH yi). yJ, +y-l=0K， y 彳导：(a+b)- 2ax+a - atP=O. . (1 分p+护二 1.la bA=-（加工）3 -行耳护）>0,即审十b2>l.（2分2 2 xl+xj

36、-, yi+y3=- ( X1+X2)+2= 铲2 12二点M的坐标为（谆r，人（4分） 又点M在直线1上,a2=2b2=2 (a2 c2),二 a2=2c,£=£&!.(6 分)a 2(H)由(I)知b=c,设椭圆的右焦点F (b, 0)关于直线I:尸知£的对称点为（xo, yo）, %° 1 一由Xft -b 2解得%1 S+b二2 2 2吟10 分）0希bT xo2+yo2=l, (|-b)+(|；b)=i二 b2=1，显然有 a2+b2=3> 12 所求的椭圆的方程为 号+/二1. （ 12分）10.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦

37、点在x轴上， ABC的三个顶点都在抛物线上，且 ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线I的方程为4x+ y 20=0.(I)求抛物线C的方程;(n)若0是坐标原点，P, Q是抛物线C上的两动点，且满足P0丄0Q,证明：直线PQ过定点.KS5UKS5U【思路引导】(I)联立直线与椭圆的方程得关于X的一元二次方程，由根与系数的关系，可得Xi+X2, yi +y2，设出C点坐标，利用三角形重心公式， 求出C点坐标，代入抛物线方程，即可列出关于 P的方程，解出P,即可写出抛物线方程.(n)设出P Q的坐标及直线PQ的方程，与抛物线方程联立消去X,得到关于y的一元二次方程，利用设而不求思想和向量垂直的充要条件列出关于P