平行四边形辅助线

1、学习必备欢迎下载平行四边形中常用辅助线的添法其常用方法有下列几种，举例简解如下:平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相 同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直， 构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题 处理，连对角线或平移对角线: 过顶点作对边的垂线构造直角三角形 连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。（5 ）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等第一类：连结对角线，把平行四

2、边形转化成两个全等三角形。例1如左下图1,在平行四边形 ABCD中，点E, F在对角线AC上，且AE = CF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线 段相等（只需证明一条线段即可） BF = DE连结BF证明：连结DB,DF ,设DB,AC交于点0四边形 ABCD为平行四边形 A0 =OC,DO =0B/ AE =FC四边形EBFD为平行四边形 A0 -AE =0C -FC BF即 0E =0F=DE图1图2第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例2如右图2,在平行四边形 ABCD中，对角线 AC和BD相交于点0,如果AC =12，

3、BD =10，AB=m，那么m的取值范围是（）AlcmcllB2<m<22C10vm<12D5vmv6解:将线段DB沿DC方向平移，使得DB =CE,DC = BE,则有四边形CDBE为平行四边形， 在 MCE 中，AC =12,CE =BD =10, AE =2AB =2m 12-10c2mc12+10，即 2 c 2m c 22 解得 1<mc11故选 A第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例3已知：如左下图3，四边形ABCD为平行四边形求证:AC2 +BD2 =AB2 +BC2 +CD2 +DA2证明：过A, D分别作AE丄B

4、C于点E , DF丄BC的延长线于点F AC2 = AE2 +CE2=AB2 - BE2 +(BC - BE)2 = AB2 +BC2 -2BE ”BCBD2 = DF 2 +BF2-(CD2 -CF2) +(BC +CF)2 - CD2 +BC2 +2BC QF则 AC2 +BD2 =AB2 +BC2 +CD2 +DA2 +2BC QF -2BC ”BE四边形 ABCD为平行四边形 AB / CD 且 AB =CD , AD = BC:丄 ABCDCF:乙 AEB =NDFC =900也ABE - ADCF- BE =CF2 2 2 2 2 2- AC +BD =AB +BC +CD + D

5、A第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。FABE与CF交例4:已知：如右上图4,在正方形 ABCD中，E,F分别是CD、DA的中点,于P点，求证：AP =AB证明：延长CF交BA的延长线于点 K四边形ABCD为正方形 AB / CD 且 AB =CD, CD = AD , NBAD BCDD = 90。 N1 =ZK又 ND =NDAK = 900, DF =AFA CDF 望也 KAF AK =CD = ABCE =CD,DF =1 AD2 2 CE = DF Z 2 + N3 =90°N CPB =90°,则 NKPB =90° AP =A

6、B第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。例5如左下图5,在平行四边形 ABCD中，点E为边CD上任一点，请你在该图基础上， 适当 添加辅助线找出两对相似三角形。解：延长AE与BC的延长线相交于 F，则有AAEDFEC ,iFAB s fEC jiAED s fABDD=F第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线1例6已知：如右上图6，在平行四边形 ABCD中，AN = BN,BE =BC,NE3交BD于F，求BF : BD解：连结AC交BD于点O，连结ON四边形ABCD为平行四边形 OA = OC,OB = OD =- AN=BN ON / -B

7、C 且 ON =-BC2 2 BEBFBO= 1bc32-5 BE : ON = 2:3 BF : BD =1:5BFFOBEON2-3BDBF "FO综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线、矩形(梯形)等图形，为证明解决问题等，这样可将平行四边形转化为三角形(或特殊三角形) 创造条件。课堂练习1、如图，已知 ABC是等边三角形，D、E分别在BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点 F，使 EF=AE，连结 AF、BE 和 CF。(1) 请在图中找出一对全等三角形，用符号“也”表示，并加以证明；(2) 判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；(3) 若AB=6 , BD=2DC，求四边形 ABEF的面积。学习必备欢迎下载2、如图，在矩形 ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，点G、H在DC边上，且GH= -1 DC。若AB=10 , BC=12，则图中阴影部分的面积为3、如图，E、F分别是平行四边形 ABCD对角线BD所在直线上两点，DE=BF，请你以F为 个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线 段相等。(只需研究一组线段相等即可)。;(3)证明：(